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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac sur la fonction $\ln$}}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2019}}
Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J).

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~1] par :\[f(x) = x(1 - \ln x)^2.\]\index{fonction logarithme népérien}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une expression de la fonction dérivée de $f$ et vérifier que pour tout \\
		$x \in ]0~;~1]$, $f'(x) = (\ln x + 1)(\ln x - 1)$.\index{dérivée} 
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur l'intervalle ]0~;~1] (on admettra que la limite de la fonction $f$ en 0 est nulle). 
\end{enumerate}
	\end{enumerate}

On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur l'intervalle ]0~;~1]  par $g(x) = \ln x$. 

Soit $a$ un réel de l'intervalle ]0~;~1]. On note $M_a$ le point de la courbe $\Gamma$ d'abscisse $a$ et $d_a$ la tangente à la courbe $\Gamma$ au point $M_a$. Cette droite $d_a$ coupe l'axe des abscisses au point $N_a$ et l'axe des ordonnées au point $P_a$ . 

On s'intéresse à l'aire du triangle O$N_aP_a$ quand le réel $a$ varie dans l'intervalle ]0~;~1]. 

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on étudie le cas particulier où $a = 0,2$ et on donne la figure ci-dessous. 

\begin{center}
\scalebox{0.8}{
\psset{xunit=10cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-3)(1.1,1.5)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](-1,-6)(11,3)
\psaxes[linewidth=2pt,labels=none]{->}(0,0)(-0.1,-3)(1.1,1.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.5pt]{-0.1}{0.8}{ x 5 mul 2.609 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.05}{1}{ x ln}
\psdots(0.2,-1.6)(0.5218,0)(1,0)(0,-2.609)(0,1)
\uput[dr](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](0.6,-0.5){\blue $\Gamma$}\uput[dr](0.7,0.9){$d_{0,2}$}
\uput[dr](0.2,-1.6){$M_{0,2}$}\uput[ul](0.5218,0){$N_{0,2}$}
\uput[ul](0,-2.609){$P_{0,2}$}
\end{pspicture*}
}%%% fin du scalebox
\end{center}    

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ en unités d'aire. 
		\item Déterminer une équation de la tangente $d_{0,2}$.\index{equation de la tangente@équation de la tangente} 
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ . 

Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel $a$ de l'intervalle ]0~;~1], l'aire du triangle O$N_aP_a$ en unités d'aire est donnée par $\mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2}a (1 - \ln a)^2$.
	\end{enumerate}
\item  À l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de $a$ l'aire 
$\mathcal{A}(a)$ est maximale. Déterminer cette aire maximale. 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie novembre 2019}}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \ln \left(\dfrac{3x+ 1}{x + 1}\right).\]\index{fonction logarithme népérien}

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(5.2,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(5.2,1.1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.1}{3 x mul 1 add x 1 add div ln}
\uput[u](5,0.95){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)$ et en donner une interprétation graphique.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ positif ou nul, 
		
		\[f'(x) = \dfrac{2}{(x + 1)(3x + 1)}\]
		
		\item En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par\index{suite}

\[u_0 = 3\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n, \: u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, \:~$\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.\index{récurrence}
\item  Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite strictement positive.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On admet que $f(\ell) = \ell$.

\smallskip

L'objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de $\ell$.

On introduit pour cela la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = f(x) - x$.

\smallskip

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$ où 

$x_0 = \dfrac{- 2+ \sqrt{7}}{3} \approx 0,215$  et $g\left(x_0\right) \approx  0,088$, en arrondissant à $10^{-3}$.

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&x_0&&\pI\\
\hline
\m{\text{Variations de la fonction}~g}&0&\c&\h{g\left(x_0\right)}&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive. On la note $\alpha$.
\item ~

\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que la dernière valeur prise par la variable $x$ soit une valeur approchée de $\alpha$ par excès à $0,01$ près.
		\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$x \gets  0,22$\\
Tant que \ldots \ldots \ldots faire\\
\hspace{1.25cm}$x \gets x + 0,01$\\
Fin de Tant que\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}
		\item Donner alors la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l'exécution de l'algorithme.
	\end{enumerate}
\item  En déduire une valeur approchée à 0,01 près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  