\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,alterqcm,enumerate,tabularx,variations, systeme}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les matrices}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
%Correction : http://yallouz.arie.free.fr/terminale_controles/2016-2017_c2/cont2_2016_2017.php?page=exo1sc

\medskip

On considère les matrices   $A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1  \\ 5 & z & 3  \end{pmatrix}$ et  $B = \begin{pmatrix} x & -1  \\ -3 & y \\ -14 & -1 \end{pmatrix}$
 
\begin{enumerate}
 \item Déterminer les réels $x$, $y$ et $z$ pour que le produit des deux matrices $A B= \begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1  \end{pmatrix}$.
 \item Peut-on conclure que la matrice $B$ est l'inverse de la matrice $A$ ? 
 \end{enumerate} 
\subsection{}
On considère les matrices $A = {\begin{pmatrix} 7 & 5  \\
-4 & -3 \\ \end{pmatrix} }$ et $I = {\begin{pmatrix}1 & 0  \\
0 & 1 \\ \end{pmatrix} }$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice  $A^2$.
	\item \begin{enumerate}
	\item Vérifier que $A^2-4A=I$.
	\item En déduire la matrice $A^{-1}$, inverse de la matrice $A$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}





\subsection{}
%Correction : http://yallouz.arie.free.fr/terminale_controles/2016-2017_c2/cont2_2016_2017.php?page=exo3sc

\medskip

On considère la matrice   $M = \begin{pmatrix}1 & -1 & 2  \\ -3 & \dfrac{1}{2} & -3 \\ -2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$.\\
On note  $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ la matrice identité d'ordre 3.
 
\begin{enumerate}
 \item Calculer la matrice $M^2$.
 \item \begin{enumerate}
 \item Calculer la matrice $M+2M^2$.
 \item En déduire que $M$ est inversible et exprimer $M^{-1}$ en fonction des matrices $I$ et $M$.
 \item Calculer $M^{-1}$.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate} 
 
 
\subsection{}
%correction http://yallouz.arie.free.fr/terminale_controles/2016-2017_c2/cont2_2016_2017.php?page=exo2sc

Un artisan fabrique trois articles $A$, $B$ et $C$. 

Chacun de ces trois articles est obtenu  à partir de trois matières premières différentes $m_1$, $m_2$ et $m_3$.

Le tableau suivant présente les quantités, exprimées dans la même unité, de  matières premières nécessaires à la fabrication de chaque article $A$, $B$ ou $C$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{.5\linewidth}{|m{1cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
 \multicolumn{1}{l|}{} & $A$ & $B$ & $C$ \\ \hline
 $m_1$ & 1 & 3 & 5 \\ \hline
 $m_2$ & 4 & 5 & 2 \\ \hline
 $m_3$ & 3 & 4 & 2 \\ \hline
\end{tabularx}
 \end{center}

On considère la matrice de production $P=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 2 \\ 3 & 4 & 2  \end{pmatrix}$ et on donne $P^{-1}=\begin{pmatrix}2 & 14 & -19 \\ -2 & -13 & 18 \\ 1 & 5 & -7 \end{pmatrix}$ sa matrice inverse. 
 
\begin{enumerate}
\item L'artisan reçoit une commande de 10 articles $A$, 12 articles $B$ et 8 articles $C$. 

Calculer à l'aide d'un produit de deux matrices, la matrice $M$ indiquant les quantités de matières premières nécessaires à la réalisation de cette commande.
 \item Au début du mois cet artisan reçoit une livraison de \np{2000} unités de matière première $m_1$, \np{2300} unités de matière première $m_2$ et \np{1900} unités de matière première $m_3$.
 
 Déterminer le nombre de chaque article que l'artisan peut  produire avec les quantités des matières premières qu'il reçoit.
 \end{enumerate} 

\subsection{}
%Correction : http://nm.maths-lfb.fr/spetes/spetes-15-16/DS01-Correction.pdf
Soit le système \systeme{3x+4y=10,x+2y=8}\\
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}$

\begin{enumerate}
\item Montrer que la matrice $A$ est inversible.

\item Écrire sous forme matricielle ce système.

\item Résoudre ce système.
\end{enumerate}


\subsection{}
On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 1 \\1 & 0 & 1 \\1 & 1 & 0\end{pmatrix}$ 
\begin{enumerate}
\item Calculer, \textbf{à l'aide de la calculatrice}, la matrice $A^{2}$.

\item Calculer $\dfrac{1}{2}(A^2-A)$.

\item En déduire, à l'aide d'une factorisation, que $A$ est inversible et donner une expression de $A^{-1}$ (sans calculatrice).
 \end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Bac Réunion septembre 2007}}
\noindent \textbf{Partie I}\\
Le graphe suivant représente le plan d'une ville. Les arêtes du graphe représentent ses avenues commerçantes et les sommets du graphe les carrefours de ces avenues.

\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture}(8,3.25)
\pspolygon(0,0)(8,0)(3.9,2.9)(1.6,2.9)(3.9,1.2)(1.6,1.2)(1.6,2.9)%EFBACDAE
\psline(1.6,1.2)(0,0)%ED
\psline(3.9,2.9)(3.9,1.2)(8,0)%BCF
\uput[u](1.6,2.9){A} \uput[u](3.9,2.9){B} \uput[d](3.9,1.2){C} \uput[d](1.6,1.2){D} 
\uput[dl](0,0){E} \uput[dr](8,0){F}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Donner l'ordre de ce graphe, puis le degré de chacun de ses sommets.
\item 	Un piéton peut-il parcourir toutes ces avenues sans emprunter plusieurs fois la même avenue ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\medskip

\noindent \textbf{Partie  II}\\
Dans le graphe suivant, on a indiqué le sens de circulation dans les différentes avenues.

\begin{center}
\psset{unit=0.5,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(8,3.25)
\pnode(1.6,2.9){A} \pnode(3.9,2.9){B} \pnode(3.9,1.2){C} 
\pnode(1.6,1.2){D} \pnode(0,0){E} \pnode(8,0){F}
\pnode(2.75,2.9){G}\ncline{->}{A}{G}\ncline{G}{B}
\pnode(5.95,1.45){H}\ncline{->}{B}{H}\ncline{H}{F}
\pnode(5.95,0.6){I}\ncline{->}{F}{I}\ncline{I}{C}
\pnode(3.9,2.05){J} \ncline{->}{C}{J}\ncline{J}{B}
\pnode(2.75,2.05){K}\ncline{->}{C}{K}\ncline{K}{A}
\pnode(1.6,2.05){L}\ncline{->}{D}{L}\ncline{L}{A}
\pnode(2.75,1.2){M}\ncline{->}{D}{M}\ncline{M}{C}
\pnode(0.8,0.6){N}\ncline{->}{E}{N}  \ncline{N}{D}
\pnode(0.8,1.45){O}\ncline{->}{A}{O}\ncline{O}{E}
\pnode(4,0){P}\ncline{->}{F}{P}\ncline{P}{E}
%\pspolygon(0,0)(8,0)(3.9,2.9)(1.6,2.9)(3.9,1.2)(1.6,1.2)(1.6,2.9)%EFBACDAE

\uput[u](1.6,2.9){A} \uput[u](3.9,2.9){B} \uput[d](3.9,1.2){C} \uput[d](1.6,1.2){D} \uput[dl](0,0){E} \uput[dr](8,0){F}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Écrire la matrice M associée à ce graphe.\\
(On rangera les sommets dans l'ordre alphabétique).
\item \begin{enumerate}
\item Quel est le nombre de trajets de longueur 2 reliant D à B ?
\item  Comment pourrait-on obtenir ce résultat uniquement par le calcul à partir de la matrice M ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  