\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Équations et inéquations du second degré}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Quelques exemples préliminaires}}

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $x^2-36=0$.\\
$x^2-36=0$ s'écrit $x^2-6^2=0$ soit $(x+6)(x-6)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul. L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-6~;~6\}}}$.

\item Résoudre l'équation $x^2-7=0$.\\
$x^2-36=0$ s'écrit $x^2-\sqrt{7}^2=0$ soit $(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})=0$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-\sqrt{7}~;~\sqrt{7}\}}}$.

\item Résoudre l'équation : $x^2+5=0$.\\
Pour tout $x$, $x^2\geqslant 0$ donc $x^2+5\geqslant 5$ et ne peut s'annuler : l'équation n'a pas de solution. $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.

\item Soit l'équation $x^2+5x+6=0$.\\
On a vu en début d'année la \textbf{\textcolor{blue}{forme canonique}} d'un trinôme du second degré :\\
$ax^2+bx+c=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ avec $f(x)=ax^2+bx+c$.\\
Ici : $a=1$, $b=5$ et $c=6$ donc $\alpha=-\dfrac{5}{2}$ et $\beta=\left(-\dfrac{5}{2}\right)^2+5\times \left(-\dfrac{5}{2}\right)+6=\dfrac{25}{4}-\dfrac{25}{2}+6=-\dfrac{1}{4}$.\\
Par conséquent : $x^2+5x+6=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}$.\\
On peut alors résoudre l'équation :\\
$x^2+5x+6=0\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=0$ et on factorise avec la troisième identité remarquable :\\
On en déduit : $\left[\left(x+\dfrac{5}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right]\left[\left(x+\dfrac{5}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right]=0\Leftrightarrow (x+3)(x+2)=0$.\\
L'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~-2\}}}$.

\item Soit l'équation $x^2+6x+9=0$.\\
$x^2=6x+9=x^2+1\times x\times 3+3^2$ donc on reconnaît une identité remarquable : $x^2=6x+9=(x+3)^2$.\\
L'équation s'écrit : $(x+3)^2=0$ qui a pour solution $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3\}}}$.

\newpage
\item Soit l'équation $x^2-3x+11=0$.\\
On utilise le même procédé :\\
En utilisant la forme canonique, l'équation s'écrit :\\
$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{35}{4}=0$
Cette équation n'a pas de solution, car $\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{35}{4}>0$ (somme d'un nombre supérieur ou égal à 0 avec un nombre strictement positif).\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$
\end{enumerate}

\noindent On constate sur quelques exemples qu'une équation du type $ax^2+bx+c=0$ peut avoir deux solutions, une solution ou aucune.\\

\noindent On va voir dans la suite comment savoir le nombre de solutions et comment les calculer directement, sans passer par la forme canonique à chaque fois.

\subsection{\textcolor{red}{Résolution de l'équation $\mathbf{ax^2+bx+c=0}$}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Résolution}}


\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle équation du second degré toute équation du type $ax^2+bx+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels donnés, avec $a\neq 0$
\end{bclogo}

\bigskip

Pour étudier cette équation, on transforme l'expression $ax^2+bx+c$ en utilisant la forme canonique vue en seconde.

\noindent $ax^2+bx+c=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ avec $f(x)=ax^2+bx+c$.\\
On trouve  : $f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)=a\left(-\dfrac{b}{2a}\right)^2+b\times \left(-\dfrac{b}{2a}\right)+c=a\times \dfrac{b^2}{4a}-\dfrac{b^2}{2a}+c=\dfrac{-b^2+4ac}{4a}$.\\

 On en déduit :\\
 $ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a}=\boxed{\textcolor{red}{a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]}}$.\\
 
\bigskip

 On pose $\boxed{\textcolor{red}{\Delta=b^2-4ac}}$. (qu'on apelle discriminant).\\
 
 L'équation s'écrit : $\boxed{\textcolor{red}{a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]=0}}$.
 
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : puisque $a\neq 0$, on peut simplifier par $a$.

\bigskip

\noindent L'équation devient : $\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}}=0}}$

\bigskip
\newpage



\noindent \textbf{Tout dépend alors du signe de $\mathbf{\Delta}$ }:\\

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textcolor{blue}{\textbf{Premier cas } $\mathbf{\Delta <0}$ :}\\
Alors : $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(\dfrac{-\Delta}{4a^2}\right)>0$ (car le premier terme étant le carré d'un nombre réel, il est positif ou nul et le second terme est strictement positif) donc \textbf{\textcolor{red}{l'équation n'a pas de solution}.}\\\\


\item \textcolor{blue}{\textbf{Second cas } $\mathbf{\Delta=0} :$}\\
L'équation devient : $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ qui a pour solution : $x=-\dfrac{b}{2a}$.
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{x=-\dfrac{b}{2a}\right\}}}$


\item \textcolor{blue}{\textbf{Troisième cas}  $\mathbf{\Delta >0}$ :} \\
On a la différence de deux carrés donc on utilise la troisième identité remarquable : \\
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2=0 \Leftrightarrow \left[(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]\left[(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0\\
\Leftrightarrow \left[(x-\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right]\left[(x-\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0$.\\\\
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : 
L'équation admet alors deux solutions : $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~;~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}}}$
\end{enumerate}

\textcolor{red}{{\bf Résumé :}} \\
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{yellow!50}\text{Signe de }\Delta&\text{Nombre de solutions}&\text{Solutions}\\
\hline
\cellcolor{red!30}\Delta <0&\text{pas de solution}&\mathscr{S}=\emptyset\\
\hline
\cellcolor{red!30}\Delta =0&\text{une solution}&\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{b}{2a}\right\}\\
\hline
\cellcolor{red!30}\Delta>0&\text{deux solutions}&\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~;~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples d'application}}
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $3x^2+5x-2=0$.\\
C'est une équation du type $ax^2+bx+c=0$ avec $a=3$, $b=5$ et $c=-2$.\\
$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times 3\times (-2)=25+24=49>0$.\\
L'équation a donc deux solutions : $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-7}{6}=-2$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+7}{6}=\dfrac{1}{3}$\\
\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-2~;~\dfrac{1}{3}\right\}}}$

\end{center}
\item Résoudre l'équation : $5x^2+x-3$.\\
$\Delta=1^2-4\times 5\times (-3)=61>0$.\\
Comme $\Delta>0$, l'équation a deux solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{61}}{10}~;~\dfrac{-1+\sqrt{61}}{10}\right\}}}$

\item Résoudre l'équation : $x^2+10x+25=0$.\\
$\Delta=10^2-4\times 1\times 25=0$ donc l'expression est en fait une identité remarquable.\\
L'équation s'écrit : $\left(x+5\right)^2=0$ donc il n'y a qu'une solution : $\boxed{\mathscr{S}=\{-5\}}$

\item Soit l'équation : $x^2+x+1=0$.\\
$\Delta=1^2-4\times 1\times 1=-3<0$.\\
L'équation n'a pas de solution : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$
\end{enumerate}
\vspace{1cm}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Factorisation de $ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$)}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $f(x)=ax^2+bx+c$.\\
On pose $\Delta=b^2-4ac$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $\Delta<0$, $f(x)=ax^2+bx+c$ ne se factorise pas.

\item Si $\Delta=0$, $f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x-\alpha\right)^2$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ (en fait, on commence par mettre $a$ en facteur et on reconnaît alors une identité remarquable)

\item Si $\Delta>0$, $f(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ avec $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}}

\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=3x^2-5x+7$ ; $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=3\\b=-5\\c=7\end{cases}$.\\
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 3\times 7=25-84<0$ donc $f(x)$ ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.

\item Soit $f(x)=3 x^{2}-42 x+147$ .\\
On voit que les trois coefficients sont des multiples de 3.\\
Alors $f(x)=3\left(x^2-14x+49\right)=3\left(x^2-2\times x\times 7+7^2\right)=\boxed{\textcolor{red}{3(x-7)^2}}$.

\item Soit $f(x)=4x^2-8x-140=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=4\\b=-8\\c=-140\end{cases}$.\\
$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\times 4\times (140)=64+2240=\numprint{2304}>0$.\\
Le polynôme a deux racines :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{8-\sqrt{\numprint{2304}}}{2\times 4}=\dfrac{8-48}{8}=-5$

\item $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{8+\sqrt{\numprint{2304}}}{2\times 4}=\dfrac{8+48}{8}=7$
\end{enumerate}
On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=4x^2-8x-140=4(x+5)(x-7)}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} :  il valait mieux factoriser avant !\\
$4x^2-8x-140=4\left(x^2-2x-35\right)$ et calculer le discriminant et les racines de $x^2-2x-35$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{red}{Signe de l'expression $\mathbf{ax^2+bx+c}$}}
On cherche le signe de $ax^2+bx+c$ en fonction de $x$.\\
Pour cela, on va utiliser les résultats obtenus précédemment.

\bigskip

Trois cas se présentent :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \fbox{\textbf{\textcolor{red}{$\Delta <0$}}}\\
La forme canonique est : $ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$.\\
Comme $\Delta<0$, $-\dfrac{\Delta}{4a^2}>0$ ; $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\geqslant 0$ donc $\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]>0$.\\
L'expression $ax^2+bx=c$ est donc du \textcolor{red}{signe de $a$} pour tout $x$.

\item \fbox{\textbf{\textcolor{red}{$\Delta =0$}}}\\
Alors : $ax^2+bx+c=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2$.\\
Pour tout $x$, $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2\geqslant 0$ (nulle seulement pour $x=-\dfrac{b}{2a}$).\\
L'expression est donc du signe de $a$, sauf en $-\dfrac{b}{2a}$, valeur pour laquelle l'expression s'annule.

\item \fbox{\textbf{\textcolor{red}{$\Delta >0$}}}\\
On a vu que $ax^2+bx+c$ s'annule pour deux valeurs $x_{1}$ et $x_{2}$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{ax^2+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}}$.\\
Supposons que $x_{1}<x_{2}$ et renseignons un tableau de signes :

\bigskip

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&x_{1}&&x_{2}&&\pI\\
\hline
\text{Signe de }x-x_{1}&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
\text{Signe de }x-x_{2}&&-&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }a\left(x-x_1\right)\left(x-x_{2}\right)&&+&\l&-&\z&+&\\
\hline
\text{Signe de }a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)&&\textcolor{red}{\text{Signe de }a}&\z&
\textcolor{red}{\text{Signe de }-a}&\z&\textcolor{red}{\text{Signe de }a}&\\
\end{variations}

\end{center}

On aurait les mêmes résultats avec $x_{2}<x_{1}$.


\textbf{\textcolor{red}{Conclusion :}}\\
$ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et du signe opposé à celui de $a$ entre les racines.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Résumé}}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$\Delta <0$&\begin{minipage}{14cm}
$ax^2+bx+c$ est du signe de $a$.
\end{minipage}\\
\hline
 $\Delta =0$&\begin{minipage}{14cm}
$ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ sauf en $x=-\dfrac{b}{2a}$ où l'expression s'annule.
\end{minipage}\\
\hline
 $\Delta >0$&\begin{minipage}{14cm}
$ax^2+bx+c$ est du signe de $a$ en dehors de l'intervalle formé par les racines et du signe opposé à celui de $a$ entre les racines.
\end{minipage}\\
\hline

\end{tabularx} 

\end{bclogo}



\newpage



\textbf{\textcolor{red}{Interprétation graphique :}}.\\
On a vu  que la courbe représentative de la fonction $f:x\mapsto ax^2+bx+c$ était une parabole.\\
Pour $a>0$ elle est tournée vers le haut.\\
Pour $a<0$ elle est tournée vers le bas.

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\hline
$\textbf{\textcolor{red}{a>0}}$&$\Delta<0$&$\Delta=0$&$\Delta>0$\\
\hline
&\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3,5)
\psaxes[linewidth=2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-3)(3,5)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-1.5}{3.0}{(x-1)^2+2}
\end{pspicture*}
&
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3,5)
\psaxes[linewidth=2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-3)(3,5)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-8.46}{19.92}{(x-1)^2}
\end{pspicture*}
&
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3,5)
\psaxes[linewidth=2pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-3)(3,5)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-8.46}{19.92}{(x-1)^2-2}
\end{pspicture*}\\
\hline
$\textbf{\textcolor{red}{a<0}}$&$\Delta<0$&$\Delta=0$&$\Delta>0$\\
\hline
&\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(2,3)
\psaxes[linewidth=2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-5)(2,3)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-8.46}{19.92}{-(x+1)^2-1}
\end{pspicture*}
&
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(2,3)
\psaxes[linewidth=2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-5)(2,3)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-8.46}{19.92}{-(x+1)^2}\end{pspicture*}
&
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(2,3)
\psaxes[linewidth=2pt,labels=none]{->}(0,0)(-3,-5)(2,3)
\psplot[plotpoints=200,linewidth=2pt,linecolor=red]{-8.46}{19.92}{-(x+1)^2+2}
\end{pspicture*}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

On retrouve les signes que l'on a trouvés en renseignant un tableau de signes.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}}


\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $3x^2-5x+12$.\\
$3x^2-5x+12=ax^2+bx+c$ avec $a=3$~;~$b=-5$ et $c=12$.
$\Delta=(-5)^2-4\times 3\times 12=25-144=-119<0$.\\
L'expression est du signe de $a=3$, donc positive, pour tout $x$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
3x^2-5x+12&&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Étudier le signe de $4 x^{2}-\frac{24}{7} x+\frac{36}{49}$ :\\
$4 x^{2}-\frac{24}{7} x+\frac{36}{49}=ax^2+bx+c$ avec $a=4$~;~$b=-\dfrac{24}{7}$ et $c=\dfrac{36}{49}$.\\
$\Delta=\left(-\dfrac{24}{7}\right)^2-4\times 4\times \left(\dfrac{36}{49}\right)=\dfrac{576}{49}-\dfrac{576}{49}=0$.\\
L'expression a une racine : $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-\frac{24}7}{8}=\dfrac{3}{7}$.\\
Elle s'annule pour $x=\dfrac{3}{7}$ et est du signe de $a=4$, donc positive, pour toutes les autres valeurs de $x$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{3}{7}&&\pI\\
\hline
4 x^{2}-\frac{24}{7} x+\frac{36}{49}&&+&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on sait d'après le cours que : $4 x^{2}-\frac{24}{7} x+\frac{36}{49}=a\left(x-x_0\right)^2=\boxed{\textcolor{red}{4\left(x-\dfrac{3}{7}\right)^2}}$.\\
On aurait pu factoriser ds le début :\\
$4 x^{2}-\frac{24}{7} x+\frac{36}{49}=4\left(x^2-\dfrac{6}{7}+\dfrac{9}{49}\right)=4\left[x^2-2\times x\times \dfrac{3}{7}+\left(\dfrac{3}{7}\right)^2\right]=4\left(x-\dfrac{3}{7}\right)^2$

\item Étudier le signe de $-5x^2+20x+105$\\
$-5x^2+20x+105=ax^2+bc+c$ avec $\begin{cases}a=-5\\b=20\\c=105\end{cases}$\\
$\Delta=20^2-4\times (-5)\times 105=400+\numprint{2100}=\numprint{2500}>0$.\\
L'expression a deux racines :\\
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-20-\sqrt{\numprint{2500}}}{-10}=\dfrac{-20-50}{-10}=7$\\
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-20+\sqrt{\numprint{2500}}}{-10}=\dfrac{-20+50}{-10}=-3$\\
L'expression est du signe de $-a=5>0$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et du signe de $a=-5<0$ entre les racines.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&7&&\pI\\
\hline
-5x^2+20x+105&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Résoudre l'inéquation $3x^2-8x+2>0$.\\
$3x^2-8x+2=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=3\\b=-8\\c=2\end{cases}$\\
$\Delta=(-8)^2-4\times 3\times 2=64-24=40>0$.\\
L'expression a deux racines :\\
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-8)-\sqrt{40}}{6}=\dfrac{8-2\sqrt{10}}{6}=\dfrac{\cancel{2}\left(4-\sqrt{10}\right)}{\cancel{2}\times 3}=\dfrac{4-\sqrt{10}}{3}$\\
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-8)+sqrt{40}}{6}=\dfrac{8+2\sqrt{10}}{6}=\dfrac{\cancel{2}\left(4+\sqrt{10}\right)}{\cancel{2}\times 3}=\dfrac{4+\sqrt{10}}{3}$.

\bigskip

On en déduit le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{4-\sqrt{10}}{3}&&\dfrac{4+\sqrt{10}}{3}&&\pI\\
\hline
3x^2-8x+2&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On veut que $3x^2-8x+2>0$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~\dfrac{4-\sqrt{10}}{3}\right[ \cup \left]\dfrac{4+\sqrt{10}}{3}~;~+\infty\right[}}$

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  