\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Dérivation locale}}
\date{}
\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{}}\end{center}

\subsection*{\textcolor{blue}{Activité préliminaire page 111}}

\begin{enumerate}
\item $f$ est affine avec $f(2)=3$ et $f(4)=-1$.\\
$f(x)=mx+p$.\\
$m=\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{-1-3}{2}=-2$.\\
$f(x)=-2x+p$ ; $f(2)=2\Leftrightarrow -2\times 2+p=3$ donc $p=7$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{f(x)=-2x+7}}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item $\mathscr{D}_1$ passe par $A(5~;~2)$ et $B(-3~;~1)$ ; le coefficient directeur est $m_1=\dfrac{1-2}{-3-5}=\dfrac{1}{8}$. $\boxed{\textcolor{red}{m_1\dfrac{1}{8}}}$.

\item $\mathscr{D}_2$ passe par $A\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{4}\right)$ et $B\left(-1~;~\dfrac{1}{2}\right)$ ;  le coefficient directeur est $m_2=\dfrac{\frac12-\frac34}{-1-\frac12}=\dfrac{-\frac14}{-\frac32}=\dfrac{1}{6}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{m_2=\dfrac{1}{6}}}$.

\item $\mathscr{D}_3$ passe par $A\left(-\sqrt{7}~;~\dfrac{1}{3}\right)$ et $B\left(1+\sqrt{3}~;~\dfrac{1}{3}\right)$ ;  le coefficient directeur est $m_3=0$ puisque les deux points ont la même ordonnées, donc $\mathscr{D}_3$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{enumerate}

\item 
\parbox{8cm}{\begin{center}
\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-7)(6,4)
\psaxes[linewidth=2pt,linecolor=red,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-7)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-7)(6,4)
\psplot[linewidth=2pt]{-1}{2.5}{-3*x+1}
\psplot[linewidth=2pt]{-4}{6}{2}
\psplot[linewidth=2pt]{-4}{6}{x/2-1}
\psplot[linewidth=2pt]{-4}{6}{-4*x/5-1}
\uput[d](-1,3){$d_1$}
\uput[u](4,2){$d_2$}
\uput[d](-2,-2){$d_3$}
\uput[d](5,-5){$d_4$}
\end{pspicture}
\end{center}}\hfill
\parbox{8cm}{\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $d_1$ a pour équation $y=-3x+1$

\item $d_2$ a pour équation $y=2$

\item $d_3$ a pour équation $y=\dfrac{1}{2}x-2$

\item $d_4$ a pour équation $y=-\dfrac{4}{5}x-1$
\end{enumerate}}

\item Soit $h$ un réel.
\begin{enumerate}
\item Si $f(x)=2x^2-5x+1$, $f(1+h)=2(1+h)^2-5(1+h)+1=2\left(1+h+h^2\right)-5-5h+1=\boxed{\textcolor{red}{2h^2-3h-3}}$

\item Si $f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}$, $\boxed{\textcolor{red}{f(1+h)=\dfrac{h}{3+h}}}$

\item Si $f(x)=\sqrt{5x-2}$, $\boxed{\textcolor{red}{f(1+h)=3+5h}}$

\item Si $f(x)=\dfrac{3}{5x^2+1}$, $\boxed{\textcolor{red}{f(1+h)=\dfrac{3}{6+10h=5h^2}}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

7. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est $\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{2-3}{2-1}=\boxed{\textcolor{red}{-1}}$

\subsection*{\textcolor{blue}{Situation 1 page 112}}
Le coup de fabrication est $C(x)=100\sqrt{x}+500$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $\boxed{\textcolor{red}{C(0)=500}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{C(400)=\numprint{2500}}}$.

\item Le taux de variation du cout de fabrication entre 0 et 400 pièces fabriquées est :
\[\dfrac{C(400)-C(0)}{400-0}=\dfrac{2000}{400}=\boxed{\textcolor{red}{5}}\]

\item $\dfrac{C(900)-C(400)}{900-400}=\dfrac{\numprint{3500}-\numprint{2500}}{500}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$.
\end{enumerate}

\item On définit le coût marginal $C_m$ par $C_m(x)=C(x+1)-C(x)$.
\begin{enumerate}
\item $C_m(200)=C(201)-C(200)=\boxed{\textcolor{red}{100\left(\sqrt{201}-\sqrt{200}\right)\approx 3,53}}$

\item $C_m(800)=C(801)-C(800)=\boxed{\textcolor{red}{100\left(\sqrt{801}-\sqrt{500}\right)\approx 1,77}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{C_m (200) \approx 2C_m (800)}}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Taux de variation}}
\parbox{10cm}{\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition }}
Soient $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et deux nombres $a$ et $b$ distincts appartenant à $I$.\\
On appelle taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ le nombre $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.\\
Graphiquement, cela correspond sur la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ de $f$ à la pente ou au coefficient directeur de la droite sécante $(AB)$.
\end{bclogo}}\hfill
\parbox{8cm}
{\begin{center}
\psset{xunit=0.7,yunit=0.7,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-3)(9,5)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-3)(9,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-3)(9,5)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{9}{0.0598*x^3-0.5227*x^2+0.0337*x+3.4208}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](4,-0.9789)(8,0.8694)
\uput[l](4,-0.9789){A}
\uput[r](8,0.8684){B}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0}{9}{(1.8482*x-11.3084)/4}
\end{pspicture}
\end{center}}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple} : }\\
Soit la fonction cube $f : x\mapsto x^3$.\\
Le taux de variation entre 1 et 3 est $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{27-1}{2}=13$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : en physique, on utilise souvent la notation $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ qu'il faut comprendre comme \\
$\dfrac{\text{différence des ordonnées}}{\text{différence des bascisses}}$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour une fonction affine $f : x\mapsto mx+p$, le taux de variation de $f$ entre deux nombres distincts est $m$ (coefficient directeur).
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, et $a$ et $b$ deux nombres réels distincts appartenant à $I$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $f$ est croissante sur $I$, alors le taux de variation de $f$ entre a et $b$ est positif.

\item Si $f$ est décroissante sur $I$, alors le taux de variation de $f$ entre $a$ et $B$b est négatif.

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}
Soient $a<b$ avec $a\in I$ et $b\in I$. Si $f$ est croissante sur $I$, $f(a)\leqslant f(b)$ donc la taux de variation $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\geqslant 0$ (quotient de nombres positifs).\\
Si $f$ est décroissante, $f(a)\geqslant  f(b)$ donc $f(b)-f(a)\leqslant 0$ et le taux de variation est négatif.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : les réciproques sont fausses.\\
Par exemple : considérons la fonction carré $x : x\mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$.\\
Le taux de variation entre -1 et 2 est $\dfrac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)}=\dfrac{4-1}{3}=1>0$ mais la fonction $f$ n'est pas croissante sur l'intervalle $[-1~;~2]$.

\subsection{\textcolor{red}{Nombre dérivé d'une fonction en un point}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Tangente à une courbe}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $a$ un nombre appartenant à $I$ et $h$ un nombre réel non  nul tel que $a+h$ appartient à $I$.\\
Soit $A$ le point de la courbe représentative de $f$ d'abscisse $a$et $H$ le point de la courbe représentative de $f$ d'abscisse $a+h$.\\
Lorsque $h$ tend vers 0, le point $H$ se rapproche de $A$ et la sécante $(AH)$ de coefficient directeur $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ se rapproche d'une \og{}droite limite\fg{}.


\begin{multicols}{3}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-2)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-2)(4,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-0.3}{4}{3-(x-2)^2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,2)(1.8558,2.9792)
\uput[ur](3,2){$\mathscr{C}$}
\uput[l](1,2){A}
\uput[u](1.8558,2.9792){H}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1}{2.5}{(0.7323+0.9792*x)/0.8558}
\end{pspicture}

\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-2)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-2)(4,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-0.3}{4}{3-(x-2)^2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,2)(1.5313,2.7803)
\uput[ur](3,2){$\mathscr{C}$}
\uput[l](1,2){A}
\uput[u](1.5313,2.7803){H}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1}{2.5}{(0.2822+0.7803*x)/0.5313}
\end{pspicture}

\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-2,-2)(4,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-2)(4,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-2)(4,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-0.3}{4}{3-(x-2)^2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](1,2)
\uput[ur](3,2){$\mathscr{C}$}
\uput[l](1,2){A}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{-1}{2}{2*x}
\uput[d](2,-2){Tangente à la courbe en A}
\end{pspicture}
\end{multicols}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition }}

Si le quotient $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ a une limite qui est un nombre réel quand $h$ tend vers 0, on appelle $f'(a)$ ce nombre limite qu'on appelle nombre dérivé de $f$ en $a$.\\
On dit que $f$ est dérivable en $a$.
On écrit $f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$.\\
La tangente à la courbe $\mathscr{C_f}$ au point d'abscisse $a$ est la droite qui passé par $A(a~;~f(a))$ et de coefficient directeur $f'(a)$.
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : soit $f : x\mapsto x^2$ définie sur $\mathbb{R}$.\\
Soit $a=3$.\\
$\dfrac{f(a+h-f(a)}{h}=\dfrac{(3+h)^2-3^2}{h}=\dfrac{9+6h+h^2-9}{h}=\dfrac{6h+h^2}{h}=\dfrac{h(6+h)}{h}=6+h$.\\
Lorsque $h$ tend vers 0, $6+h$ tend vers 6.\\
$f$ est dérivable en 3 et $f'(3)=6$.


\newpage



\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : il existe des fonctions n'admettant pas de nombre dérivé.\\
Exemple : soit $f$ la fonction valeur absolue $x : x\mapsto \left\vert x \right\vert $.\\
\parbox{10cm}{\textbf{\textcolor{blue}{Rappel}} : $\left\vert x \right\vert=\begin{cases}x\text{ si }x\geqslant 0\\-x\text{ si }x\leqslant 0\end{cases}$.\\
Étudions si $f$ a un nombre dérivé en 0.\\
$\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{\left\vert h \right\vert-\left\vert 0 \right\vert}{h}=\dfrac{\left\vert h \right\vert}{h}$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $h>0$, $\dfrac{\left\vert h \right\vert}{h}=\dfrac{h}{h}=1$ donc $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}\dfrac{\left\vert h \right\vert}{h}=-1$.

\item Si $h<0$, $\dfrac{\left\vert h \right\vert}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1$ $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\dfrac{\left\vert h \right\vert}{h}=1$
\end{enumerate}
L'expression n'a donc \textbf{\textcolor{red}{pas de limite}} en 0, la courbe représentative de $f$ n'a pas de tangente en 0.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : cette expression a une limite à gauche et une limite à droite, on dit que la courbe admet deux demi-tangentes.}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-1)(3,3)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-3,-1)(3,3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-3,-1)(3,3)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{3}{abs(x)}
\end{pspicture}
\end{center}
Courbe représentative de $x\mapsto \left\vert x \right\vert$
}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Équation de la tangente}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a\in I$.\\
On suppose que $f$ est dérivable en $a$, donc que $f$ admet un nombre dérivé $f'(a)$ en $a$.\\
Alors l'équation de la tangente en $a$ est $\boxed{\textcolor{red}{y=f'(a)(x-a)+f(a)}}$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}} :
$f'(a)$ est le coefficient directeur de la tangente, donc l'équation de cette tangente est de la forme $y=f'(a)x+p$.\\
Calcul de $p$ : par définition, la tangente passe par le point $A(a~;~f(a))$.\\
Par conséquent : $f(a)=f'(a)a+p$ d'où $p=f(a)-f'(a)a$.\\
Alors : $y=f'(a)x+f(a)-f'(a)a=f'(a)x-f'(a)a+f(a)=f'(a)(x-a)+f(a)$.

\bigskip

Exemple : $f(x)=x^2$ et $a=3$. On a trouvé précédemment $f'(3)=6$.\\
L'équation de la tangente à $\mathscr{C}$ en 3 est : $y=f'(3)(x-3)+f(3)$ donc $y=6(x-3)+9$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{y=6x-9}}$

\subsection{\textcolor{red}{Exercices d'application}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Calcul d'un nombre dérivé}}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=4+\dfrac{5}{x}$.\\
Montrons que $f$ est dérivable en 3 et calculons $f'(3)$.\\
$\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{\left(4+\frac{5}{3+h}\right)-\left(4+\frac53\right)}{h}=\dfrac{\frac5{3+h}-\frac53}{h}=\dfrac{\frac{15-15-5h}{3(3+h)}}{h}=-\dfrac{5h}{3(3+h)}\times \dfrac{1}{h}=-\dfrac{5}{3(3+h)}$.\\
Lorsque $h$ tend vers 0, $3+h$ tend vers 3, donc $3(3+h)$ tend vers $3\times 3=9$ et le quotient tend vers $-\dfrac{5}{9}$.\\
$f$ est dérivable en 3 et $\boxed{\textcolor{red}{f'(3)=-\dfrac{5}{9}}}$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Dérivabilité de la fonction carré}}
Soit $f: x : x\mapsto x^2$ définie sur $\mathbb{R}$.\\
Soit  $a$ quelconque.\\
$\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\dfrac{2ah+h^2}{h}=\dfrac{h(2a+h)}{h}=2a+h$.\\
Lorsque $h$ tend vers 0, $2a+h$ tend vers $2a$ donc $f$ est dérivable en $a$ et $f\boxed{\textcolor{red}{'(a)=2a}}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque : }} on retrouve $f'(3)=6$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Détermination d'une tangente}}
Soit $f(x)=x^2+5x-3$ définie sur $\mathbb{R}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f$ est dérivable en 3.

\item En déduire l'équation de la tangente à $\mathscr{C}_f$ en 3.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Réponses : }}

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{f(3+h)-f(3)}{h}=\dfrac{\left[(3+h)^2+5(3+h)-3\right]-\left[3^2+5\times 3-3\right]}{h}=\dfrac{9+6h+h^2+15+5h-3-9-15+3}{h}\\
=\dfrac{h^2+11h}{h}=h+11$ qui tend vers 11 lorsque $h$ tend vers 0.

\item L'équation de la tangente en 3 est : \\
$y=f'(3)x+f(3)$ donc $y=11(x-3)+21$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{y=11x-12}}$

\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Montrer que la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0}}
Soit $f:x : x\mapsto \sqrt{x}$ définie sur $[0~;~+\infty[$.\\
$\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}=\dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$.\\
Lorsque $h$ tend vers 0 (en étant positif), $\sqrt{h}$ tend vers 0 en étant positif, donc $\dfrac{1}{\sqrt{h}}$ tend vers $+\infty$ qui n'est pas un nombre réel.\\
La fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque : }} la limite du taux de variation en 0 est $+\infty$ : la courbe représentative de cette fonction admet une tangente \og{}verticale\fg{} en 0 qui est l'axe des ordonnées.
\begin{center}
\psset{unit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(10,4)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-1)(10,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-1)(10,4)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red,plotpoints=500]{0}{10}{sqrt(x)}
\uput[u](9,3){$y=\sqrt{x}$}
\end{pspicture}

\end{center}

\label{fin}
\end{document}  