\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\arabic{subsubsection})}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Devoir sur feuille \no 3 (à rendre sur copie double)}}\end{center}

\begin{center}
\emph{\og{} L'essence des mathématiques, c'est la liberté.\fg{} [Georg Cantor]}
\end{center}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Démonstrations des formules de croissances comparées pour la fonction exponentielle}}

\bigskip


\subsubsection{\textcolor{red}{Partie I}}
On considère la fonction. $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x)=\mathrm{e}^{x}-x.\]
\begin{enumerate}
\item Calculer l'expression de $f'(x)$, étudier son signe et en déduire le tableau de variation de $f$ (les limites à l'infini ne sont pas demandées).

\item En déduire, que pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)>0$.

\item En déduire que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^{x}=+\infty$.

\item En effectuant le changement de variable $X=-x$, en déduire $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}$. 
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{red}{Partie II : étude de $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}$}}
Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=\mathrm{e}^{x}-\dfrac{x^2}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $g'(x)$.

\item En déduire le tableau de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$ (utiliser la partie I).

\item En déduire que pour tout $x>0$, $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}>\dfrac{x}{2}$.

\item En déduire que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty$

\item On veut calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^{x}$.\\
Pour cela, on pose $X=-x$.
\begin{enumerate}
\item Exprimer alors $x$ en fonction de $-X$.

\item Montrer que $x\mathrm{e}^{x}=-\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}$.

\item Si $x$ tend vers $-\infty$, vers quoi tend $X$ ?

\item En déduire que $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^{x}=0$
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{red}{Partie III : étude de $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}$ pour $n\in\mathbb{N}^*$}}

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x>0$ et pour tout entier $n>0$ : \[\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{\frac{x}{n}}}{\frac{x}{n}}\right)^n\left(\dfrac{1}{n}\right)^n.\]

\item On pose $X=\dfrac{x}{n}$ ; on a alors $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=\left(\dfrac{\mathrm{e}^{X}}{X}\right)^n\times \left(\dfrac{1}{n}\right)^n$.

On admet le théorème suivant :
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
\og{}Soient $f$ et $g$ deux fonctions, $a$, $b$ et $c$ sont des réels ou $+\infty$ ou $-\infty$.\\
Si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ et si $\lim_{x\rightarrow b}g(x)=c$, alors \\
$\lim_{x\rightarrow a}g\left(f(x)\right)=\lim_{x\rightarrow a}g\circ f(x)$=c\fg{}.
\end{bclogo}

Démontrer alors que $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=+\infty$. On remarquera que $\left(\dfrac{1}{n}\right)^n$ est constant, la variable étant $x$.

\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{red}{Étude de la limite de $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n\mathrm{e}^{x}$ ($n\in\mathbb{N}^*$)}}
On pose $X=-x$.\\

\begin{enumerate}
\item Montrer que calculer $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n\mathrm{e}^{x}$ revient à calculer $\lim_{X\rightarrow =\infty}\dfrac{(-1)^n(X^n)}{\mathrm{e}^{X}}$.

\item Que vaut $\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{X^n}{\mathrm{e}^{X}}$ ? Justifier.

\item Conclure
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Résumé}} : on a montré les quatre formules de croissances comparées :
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{7cm}
$\begin{array}{*2{l}}
\text{a) } \lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}=+\infty&\text{b) }\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^{x}=0\\
\text{c) }\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x^n}=+\infty&\text{d) }\lim_{x\rightarrow -\infty}x^n\mathrm{e}^{x}=0\\
\end{array}$
\end{minipage}}
\end{center}
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : a) et b) découlent de c) et d)
\subsection{}
On a étudié révolution du taux d'alcoolémie dans le sang d'un homme majeur de 70 kg pendant les cinq heures suivant l'absorption de deux verres de vin au cours d'un repas.\\
On suppose que le taux d'alcoolémie (exprimé en grammes d'alcool par litre de sang) est modélisé en fonction du temps écoulé depuis la consommation (exprimé en heures) par la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~7]$ par $f(t)=2\mathrm{e}^{-\frac{t}2}-2\mathrm{e}^{-t}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.05)(7,0.6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-1,-0.05)(7,0.6)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{0}{7}{2*EXP(-x/2)-2*EXP(-x)}
\multido{\r=0+0.5}{15}{\psline[linewidth=0.5pt](\r,0)(\r,0.6)}
\multido{\r=0+0.1}{6}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\r)(7,\r)}
\uput[r](0,0.6){Taux d'alcoolémie}
\uput[u](5,0){Temps en heures}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer par le calcul au bout de combien de temps, approximativement, le taux d'alcoolémie est maximal.

\item Étudier la convexité de $f$ sur $[0~;~7]$.

\item Déterminer au bout de combien de temps, approximativement, la diminution du taux d'alcool dans le sang s'accélère.
\end{enumerate}

\subsection{}%Bac Asie juin 019

La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux d'évolution de la température d'un corps est proportionnel à la différence entre la température de ce corps et celle du milieu environnant. 

\smallskip

Une tasse de café est servie à une température initiale de 80~\degres C dans un milieu dont la température, exprimée en degré Celsius, supposée constante, est notée $M$. 

Le but de cet exercice est d'étudier le refroidissement du café en appliquant la loi de Newton suivant deux modèles. L'un, dans la partie A, utilise une suite; l'autre, dans la partie B, utilise une fonction. 

\medskip

\emph{Les parties \emph{A} et \emph{B} sont indépendantes.} 

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}

\medskip 

Dans cette partie, pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ la température du café à l'instant $n$, avec $T_n$ 
exprimé en degré Celsius et $n$ en minute. On a ainsi $T_0 = 80$. 

On modélise la loi de Newton entre deux minutes consécutives quelconques $n$ et $n + 1$ par l'égalité: 
\[T_{n+1} - T_n = k\left(T_n - M\right)\] 
où $k$ est une constante réelle. 

Dans la suite de la partie A, on choisit $M = 10$ et \\
$k = - 0,2$. 

Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : \[T_{n+1} - T_n = - 0,2 \left(T_n   -10\right).\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le contexte, peut-on conjecturer le sens de variations de la suite 
$\left(T_n\right)$ ? 
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ :\: \\
$T_{n+1} = 0,8 T_n + 2$. 
\item  On pose, pour tout entier naturel $n$:\: $u_n = T_n - 10$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme $u_0$.\index{suite géométrique}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $T_n = 70 \times 0,8^n + 10$. 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(T_n\right)$. 
	\end{enumerate}
	
\columnbreak

\item  On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme} 

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
Tant que $T \geqslant 40$\\ 
\hspace{0.8cm}$T\gets 0,8T+2$\\
\hspace{0.8cm}$ n \gets n+1$\\ 
Fin Tant que \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Au début, on affecte la valeur $80$ à la variable $T$ et la valeur $0$ à la variable $n$. 

Quelle valeur numérique contient la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ? 
		\item Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\medskip 

Dans cette partie, pour tout réel $t$ positif ou nul, on note $\theta(t)$ la température du café à l'instant $t$, 
avec $\theta(t)$ exprimé en degré Celsius et $t$ en minute. On a ainsi $\theta(0) = 80$. 

\medskip

Dans ce modèle, plus précis que celui de la partie A, on suppose que $\theta$ est une fonction dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, la loi de Newton se modélise par 
l'égalité : 
\[\theta'(t)= - 0,2(\theta(t) - M).\] 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item  Dans cette question, on choisit $M = 0$. On cherche alors une fonction $\theta$ dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ vérifiant $\theta(0) = 80$ et, pour tout réel $t$ de cet intervalle : $\theta'(t) = - 0,2\theta(t)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Si $\theta$ est une telle fonction, on pose pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$, \:$f(t) = \dfrac{\theta(t)}{\text{e}^{- 0,2t}}$. 

Montrer que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et que, pour tout réel $t$ de cet intervalle, $f'(t) = 0$. 
		\item En conservant l'hypothèse du \textbf{a.}, calculer $f(0)$. 

En déduire, pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ , une expression de $f(t)$, puis de $\theta(t)$. 
		\item Vérifier que la fonction $\theta$ trouvée en \textbf{b.} est solution du problème. 
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on choisit $M = 10$. On admet qu'il existe une unique fonction $g$ dérivable sur $[0~;~+\infty[$, modélisant la température du café à tout instant positif $t$, et que, pour tout $t$ de 
l'intervalle $[0~;~+\infty[$ : 
$g(t)=10 + 70\text{e}^{-0,2t}$, où $t$ est exprimé en minute et $g(t)$ en degré Celsius.

Une personne aime boire son café à $40$~\degres C. 

Montrer qu'il existe un unique réel $t_0$ dans $[0~;~+\infty[$ tel que $g\left(t_0\right) = 40$. 

Donner la valeur de $t_0$ arrondie à la seconde. 
\end{enumerate}


\end{multicols}






\label{fin}
\end{document}  