\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\subsection*{\textcolor{red}{Fonctions de référence}}\end{center}

\subsection{\textcolor{red}{Rappels sur les fonctions vues en seconde}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Fonctions affines }}
\textbf{\textcolor{red}{Rappel}} : une fonction $f$ est affine s'il existe deux nombres $m$ et $p$ tels que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=ax+b$.\\
L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$.\\
$am$ est le coefficient directeur et $b$ est l'ordonnée à l'origine.\\
La représentation graphique $\mathscr{C}_f$ est une droite (passant notamment par le point de coordonnées $(0~;~b)$).

\bigskip

\begin{minipage}{9cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est croissante si, et seulement si, $a>0$

\item $f$ est décroissante si, et seulement si, $a<0$

\item $f$ est constante si, et seulement si, $a=0$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}

\textcolor{blue}{\textbf{Remarque}} : si $p=0$, la droite $\mathscr{C}_f$ passe par l'origine du repère et on dit que $f$ est linéaire.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Tableaux de variation :}}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{0pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}
\fbox{\textcolor{red}{Pour $a>0$}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\cb&\m{0}&\ch&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\columnbreak
\fbox{\textcolor{red}{Pour $a<0$}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{a}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\dh&\m{0}&\db&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{multicols}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Fonction carré}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La fonction carré est la fonction $f$, définie sur $\mathbb{R}$, par $f : x\mapsto x^2$.
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction carré est paire, c'est-à-dire qu pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(-x)=f(x)$.\\
La courbe représentative de $f$ $\mathscr{C}_f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\end{bclogo}

\textcolor{red}{\textbf{Tableau de variation}} : 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
\m{f(x)=x^2}&\h{\pI}&\d&0&\c&\h{pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\newpage


\textbf{\textcolor{red}{Courbe représentative (parabole) :}}
\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3.5,-1)(3.5,10)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt,linecolor=blue]{->}(0,0)(-3.2,-1)(3.2,10)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-3.2,-1)(3.2,10)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.1}{3.1}{x^2}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,0)(0.5,0.25)(1,1)(2,4)(3,9)(-0.5,0.25)(-1,1)(-2,4)(-3,9)
\end{pspicture*}
\end{center}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Fonction cube}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction cube la fonction $f:x\mapsto x^3$
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cette fonction est définie sur $\mathbb{R}$

\item Elle est impaire (f(-x)=-f(x) pour tout $x$) (donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine O)

\item Elle est croissante sur $\mathbb{R}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

Le tableau de variation est 
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&0&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\cb&\m{0}&\ch&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2,-10.5)(2,9)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-2.2,-9)(2.2,9)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-2.2,-9)(2.2,9)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2}{2}{x^3}
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}_f$}
\uput[d](0,-9){Courbe représentative de la fonction $x\mapsto x^3$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Fonction inverse}}

\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction inverse la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\vspace{1cm}

\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}

\begin{enumerate}[a)]
\item La fonction inverse $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est définie sur $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}=]-\infty~;~0[\cup]0~;~+\infty[$.

\item La fonction inverse $f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est impaire, c'est-à-dire $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\neq 0$.\\
La courbe représentative de $f$ est donc symétrique par rapport à O.

\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}


\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est définie sur $\mathbb{R^*}$ et $\mathbb{R^*}$ est symétrique par rapport à $O$.

\item Pour tout $x\in\mathbb{R^*}$, $f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$
\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$f:x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroissante sur $]-\infty~;~0]$ et décroissante sur $[0~;~+\infty[$.

\danger : attention, on ne peut parler de variation que sur un intervalle ; il est faux de dire que $f$ est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ : par exemple : $-2<2$ ~;~ $f(-2)=-\dfrac{1}{2}$, $f(2)=\dfrac{1}{2}$ donc $f(-2)<(2)$
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\noindent \textcolor{red}{Démonstration :}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Sur $[0~;~+\infty[$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]0~;~+\infty[$ avec $0< x_1<x_2$.\\
Il s'agit de comparer les nombres $f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_{1}}$ et $f\left(x_2\right)=\dfrac{1}{x_{2}}$.\\
$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}$.\\
$x_1-x_2<0$ car $x_1<x_2$ ; $x_1x_2>0$ comme produit de nombres positifs.
Les images sont classées dans l'ordre inverse des antécédents, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur $]0~;~+\infty[$.\\

\item Sur $]-\infty~;~0[$ : soient deux réels $x_1$ et $x_2$ quelconques de $]-\infty~;~0[$ avec $\leqslant x_1<x_2<0$.\\
On a le même calcul : $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\dfrac{1}{x_2}-\dfrac{1}{x_1}=\dfrac{x_1-x_2}{x_1x_2}$.\\
$x_1-x_2<0$ car $x_1<x_2$ ; $x_1x_2>0$ comme produit de nombres négatifs.
Les images sont classées dans l'ordre inverse des antécédents, donc $f$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} sur $]-\infty~;~0[$.\\


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : sur $]-\infty~;~0]$, on aurait pu utiliser la  symétrie de la courbe par rapport à $O$.
\end{enumerate}


\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}\\
0 est une valeur interdite, donc il faut mettre une double-barre en dessous de 0.

\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&0&&&\pI\\
\filet
\m{f(x)}&\h{0}&\d&\mI&\bb&\h{\pI}&\d&0\\
\end{variations}
\end{center}


\newpage


\subsubsection*{\textcolor{blue}{Courbe représentative}}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Pour tracer la courbe, on  trace la partie correspondant à des abscisses positives en calculant les coordonnées de quelques points.
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$x$&$\dfrac{1}{4}$&$\dfrac{1}{2}$&1&2&4\\
\hline
$f(x)=\dfrac{1}{x}$&4&2&1&$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{4}$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

La courbe représentative de la fonction inverse est appelée \textbf{\textcolor{red}{hyperbole}}. Elle est constituée de deux branches (\textbf{\textcolor{red}{symétriques}} par rapport à l'origine O).


\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-3,-5)(3,5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-3,-5)(3,5)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-3,-5)(3,5)%grille
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-3.0}{-0.1}{1/x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0.1}{3}{1/x}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](.25,4)(.5,2)(1,1)(2,.5)(4,.25)(-.25,-4)(-.5,-2)(-1,-1)(-2,-.5)(-4,-.25)
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}
\end{center}




\end{multicols}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Fonction racine carrée}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction racine carrée la fonction $f:x\mapsto \sqrt{x}$
\end{bclogo}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Cette fonction est définie sur $[0~;~+\infty[$ (car on ne peut calculer la racine carrée que d'un nombre positif)

\item Elle est croissante sur $[0~;~+\infty[$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

Le tableau de variation est 
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&0&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration de la croissance }}:
Soient deux nombfres $x_1$ et $x_2$ quelconques, vérifiant $0\leqslant x_1<x_2$ (donc $x_2-x_1>0$)\\
On doit comparer $f\left(x_1\right)$ et $f\left(x_2\right)$ en étudiant le signe de la différence $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)$.\\
$f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}=\dfrac{\left(\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}\right)\times \textcolor{red}{\left(\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}\right)}}{\textcolor{red}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}}=\dfrac{\sqrt{x_2}^2-\sqrt{x_1}^2}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}=\dfrac{x_2-x_1}{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}$.\\
Le numérateur est positif car $x_1<x_2$.\\
Le dénominateur $\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}$ est positif comme somme de deux nombres positifs.\\
Par conséquent : $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)>0$ d'où $f\left(x_1\right)<f\left(x_1\right)$.\\
$f$ respecte l'ordre donc $f$ est croissante.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Courbe représentative}} :

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.8cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(17,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-1,-1)(17,4)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0,gridwidth=1pt](-1,-1)(17,4)
\uput[dl](0,0){$O$}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{16}{sqrt(x)}
\uput[u](1,1){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Fonction valeur absolue}}
Rappel : Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on appelle valeur absolue de $x$ le nombre noté $\left\vert  x\right\vert$, qui est la distance de $x$ à 0, donc toujours un nombre positif.\\
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : $\left\vert x \right\vert=\begin{cases}x\textbf{ si }x\geqslant 0\\-x\textbf{ si }x\leqslant 0\end{cases}$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La fonction valeur absolue est la fonction $x : x\mapsto \left\vert x \right\vert$.
\end{bclogo}

Courbe représentative : elle est constituée de deux demi-droites :

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-4,-1)(4,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-4,-1)(4,5)
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-4}{0}{-x}
\psplot[plotpoints=200,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{0}{4}{x}
\uput[u](3,3){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}

\end{center}


\subsection{\textcolor{red}{Fonctions polynômes du second degré}}
\subsubsection*{\textcolor{blue}{Activités A et B page 46}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définitions}} 

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle fonction \textbf{\textcolor{red}{polynôme du second degré}} toute fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ de la forme $$f(x)=ax^2+bx+c$$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels appelés coefficients avec $a\neq0$.
\end{bclogo}

\bigskip

	
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} :
   Exemples de fonctions polynômes du second degré \\
   
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\rowcolor{yellow!60}fonctions polynôme de degré 2& coefficients \\
      \hline
      $f(x) =2x^2-5x+3$ & $a=2$, $b=-5$, $c=3$ \\
\hline
      $f(x) =-x^2+3$ & $a=-1$, $b=0$, $c=3$  \\
\hline
      $f(x) =-7x^2+3x$ &$a=-7$, $b=3$, $c=0$  \\
\hline
\end{tabularx}


\bigskip


\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L'expression $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$  avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$. Cette forme est appelée \textbf{forme canonique}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration  :}}\\
$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c=a\left[ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right]+c=a\left(x-\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c=\boxed{\textcolor{red}{a(x-\alpha)^2+\beta}}$ en  posant $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ ; on a alors  $\beta=-\dfrac{b^2}{4a}+c=f(\alpha)$, car en remplaçant $x$ par $\alpha$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, on trouve  $\beta$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}} :\\

\begin{enumerate}
\item Soit $P(x) =2x^2-4x+5=ax^2+bx+c$ avec $a=2$, $b=-4$ et $c=5$.

On a $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\times 2}=1$

$\beta=P\left(\alpha\right)=P(1)=3$

Par conséquent $P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta=2(x-1)^2+3$.

\item $P(x)=-5x^2+2x-7=ax^2+bx+c$ avec $a=-5$, $b=2$ et $c=-7$.

$\alpha=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2\times (-5)}=\dfrac{1}{5}$

$\beta=P(\alpha)=P\left(\dfrac{1}{5}\right)=-5\times \left(\dfrac{1}{5}\right)^2+2\times \dfrac{1}{5}-7=-\dfrac{34}{5}$.

On en déduit $P(x)=-5\left(x-\dfrac{1}{5}\right)^2-\dfrac{34}{5}$

\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations et représentation graphique}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
   La fonction polynôme de degré $2$ définie sur $\mathbb{R}$ est :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
      \item strictement décroissante sur $]-\infty~;~\alpha]$ puis strictement croissante sur $[\alpha~;~+\infty[$ \textbf{si $a>0$},
      
      \item strictement croissante sur $]-\infty~;~\alpha]$puis strictement décroissante $[\alpha~;~+\infty[$ \textbf{si $a<0$},
\end{enumerate}

\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration  dans le cas $a>0$:}}
Sur $[\alpha~;~+\infty[$ :

On prend deux nombres $x_1$ et $x_2$ avec $\alpha\leqslant x_1\leqslant x_2$.\\
$\alpha\leqslant x_1\leqslant x_2\Rightarrow 0\leqslant x_1-\alpha\leqslant x_2-\alpha\Rightarrow0\leqslant \left(x_1-\alpha\right)^2\leqslant \left(x_2-\alpha\right)^2$ (car la fonction carré est croisante sur $[0~;~+\infty[$)

On en déduit $0\leqslant 0\leqslant a\left(x_1-\alpha\right)^2\leqslant a\left(x_2-\alpha\right)^2$ puis  $\beta\leqslant a\left(x_1-\alpha\right)^2+\beta\leqslant a\left(x_2-\alpha\right)^2\beta$.

Les images sont classées sdan sel même ordre que les antécédents, donc la fonction $f$ est croissante sur $[\alpha+\infty[$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration analogue}} sur $]-\infty~;~\alpha]$ et dans le cas où $a<0$

\newpage

\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Tableau de variations  et représentation graphique :}}
\end{center}

\parbox{8cm}{\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{a>0}}}$
\end{center}

\bigskip

\begin{variations}
x&-\infty&&-\dfrac{b}{2a}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\h{\pI}&\d&\beta&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}}\hfill
\parbox{8cm}{

   \begin{pspicture}(-1,-2.5)(5,6.5)
      \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-1,-1.5)(5,5.25)
      \psplot[linecolor=red]{-0.5}{4.5}{x -2 add x -2 add mul -1 add}
      \rput(1.9,5.5){\textcolor{blue}{$x=-\frac{b}{2a}$}}
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=0.07](2,5.25)(2,-1)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](0,-1)(4,-1)
      \psdot[dotstyle=x,dotscale=2](2,-1)
      \uput[ul](0,0){O}
      \rput(2,-1.4){minimum}
      \uput[l](0,-1){$\beta$}
            \uput[dr](2,0){$\alpha$}
   \end{pspicture}}
   
   \parbox{8cm}{\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{a<0}}}$

\bigskip

\end{center}   
   \begin{variations}
x&-\infty&&-\dfrac{b}{2a}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{\beta}&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}}\hfill
\parbox{8cm}{
 \begin{pspicture}(-4,-3.5)(2,5.5)
      \psaxes[ticks=none,labels=none]{->}(0,0)(-4,-2.25)(2,4.5)
      \psplot[linecolor=red]{-3.5}{1.5}{x 1 add x 1 add mul -4 add -1 mul}
      \rput(-1,-2.5){\textcolor{blue}{$x=-\frac{b}{2a}$}}
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=0.07](-1,-2.25)(-1,4)
      \psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-3,4)(1,4)
      \psdot[dotstyle=x,dotscale=2](-1,4)
            \uput[ul](0,0){O}
      \rput(-1,4.4){Maximum}
            \uput[l](0,4){$\beta$}
            \uput[dr](-1,0){$\alpha$}

   \end{pspicture}}


Dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, la courbe représentative d'une fonction polynôme de degré $2$ est une \textbf{\textcolor{red}{parabole}}

Cette parabole admet un \textbf{\textcolor{red}{axe de symétrie}} parallèle à l'axe des ordonnées.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : pour calculer $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, on effectue plusieurs transformations successives :

\noindent $x\mapsto (x-\alpha)^2\mapsto a(x-\alpha)^2\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta$.

\noindent La première transformation correspond à une translation parallèlement à l'axe des abscisses de $\alpha$ unités~;~la deuxième, multiplication par $a$, correspond à une dilatation (et un renversement si $a<0$) et la troisième à une translation parallèlement à l'axe des ordonnées de $\beta$ unités.











\label{fin}
\end{document}  