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\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité :  devoir sur feuille \no 1\\(à rendre sur copie double)}}\end{center}

\emph{\og{}Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c'est uniquement parce qu'ils ne réalisent pas à quel point la vie est compliquée.\fg (Von Neumann)
}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Simplifier, sans utiliser la calculatrice et en expliquant : \[A=\dfrac{8\times 10^{15}\times 15\times 10^{-5}}{20\times \left(10^2\right)^5}.\]

%\subsection{}
%$n$ est un entier naturel quelconque.\\
%Soit $A=\dfrac{4^{n+1}-4^n}{4^n}$.
%\begin{enumerate}[a)]
%\item Calculer $A$ pour $n=0$, $n=2$ et $n=5$
%
%\item En factorisant le numérateur, simplifier au maximum l'écriture de $A$ et vérifier alors les résultats de la question a).
%\end{enumerate}

\subsection{}
$x$ et $y$ étant des réels quelconques ($x$ non nul), donner l’expression algébrique :

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item du produit de la somme de $x$ et de $y$ par leur différence.

\item du carré du produit de $x$ et de $y$.

\item de la différence des carrés de $x$ et $y$

\item du produit des carrés de $x$ et de $y$.

\item du carré de l’inverse de $x$.

\item de l’inverse du carré de $x$.
\end{enumerate}

\item Certaines de ces expressions sont-elles égales, quelles que soient les valeurs de $x$ et $y$ ?\\
Expliquer.\\
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : l’ordre des mots est important.
\subsection{}
Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul et différent de -1, on a l’égalité : \[\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x^2+x}.\]

\subsection{}
On donne l’expression $A(x) = (2x-3)^2-1$.
\begin{enumerate}
\item Développer et réduire $A(x)$.

\item Factoriser $A(x)$.

\item Résoudre dans l’ensemble des réels $\mathbb{R}$ :
\begin{enumerate}
\item $A(x) = 0$

\item $A(x) = 8$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère l'expression algébrique \[A(x)=(2x+1)(-3x+7).\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $A(x)=0$.

\item Étudier le signe de $A(x)$ en dressant le tableau de signes de cette expression.

\item En déduire les solutions de l'inéquation \[A(x)\leqslant 0.\]
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère un carré $ABCD$ de côté 10 cm et $E$ un point \textbf{variable} sur le côté $[AB]$.\\
On construit le polygone EBFGDH, noté $\mathscr{P}$, inscrit dans le carré tel que $AE = BF = CG = DH$ et colorié ci-dessous.\\
On pose $AE = x$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Exprimer $EB$ en fonction de $x$.

\item Exprimer l’aire $\mathscr{A}(x)$ du polygone $\mathscr{P}$ en fonction de $x$.
\end{enumerate}

\item Résoudre l’équation $A(x) = 75$. \\
Pour quelle(s) position(s) du point $E$ sur le côté $[AB]$ l’aire $\mathscr{A}(x)$ est-elle égale aux trois quarts de l’aire du carré $ABCD$	?

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=5,yunit=5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.2,1.2)
\psframe[fillcolor=blue!20,fillstyle=solid](0,0)(1,1)
\psline(0,0.8)(0.8,1)
\psline(0.2,0)(1,0.2)
\pspolygon[fillcolor=white,fillstyle=solid](0,1)(0.8,1)(0,0.8)
\pspolygon[fillcolor=white,fillstyle=solid](0.2,0)(1,0)(1,0.2)
\uput[l](0,1){$A$}
\uput[r](1,1){$B$}\uput[r](1,0){$C$}\uput[l](0,0){$D$}
\uput[d](0.8,1){E}
\uput[r](1,0.2){F}
\uput[d](0.2,0){G}
\uput[l](0,0.8){H}
\uput[u](0.4,1.1){$x$}
\psline{<->}(0,1.1)(0.8,1.1)
\uput[u](0.5,0.4){$\mathscr{P}$}
\end{pspicture}
\end{center}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  
