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% pour le pied de page central
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\title{\textbf{\textcolor{red}{Suites numériques}}}
\date{}
\begin{document}


\maketitle

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Suites numériques}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Généralités}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{\textcolor{red}{Définition :}}}
Une suite numérique $u$ est une fonction numérique, définie sur $\mathbb{N}$ ou sur une partie de $\mathbb{N}$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$.\\
$u:\begin{array}{l}\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}\\
n\mapsto u(n)\end{array}.$\\
\textcolor{red}{Notation : } Le terme général $u(n)$ se note $u_{n}$.\\
L'ensemble des termes de la suite se note $\left(u_{n}\right)_{{n\in\mathbb{N}}}$.\\
\end{bclogo}


\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = red!20, arrondi = 0.1,logo=\bcdanger]{\textcolor{blue}{Attention}}
Attention à ne pas confondre les deux notations :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_{n}$ est le terme de rang $n$.

\item $\left(u_{n}\right)_{{n\in\mathbb{N}}}$ est l'ensemble des termes de la suite.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}\\
\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{n}=2^n-1$ pour tout $n$

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par $u_{n}=\sqrt{n-4}$ pour tout $n\geqslant 4$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
Nous allons voir qu'il y a deux fa\c cons de définir une suite :


\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition explicite}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{}
Une suite est définie de fa\c con explicite lorsque le terme général $u_{n}$ est exprimé en fonction de $n$.
\end{bclogo}

\textcolor{blue}{Exemples :}

\begin{enumerate}
\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n}=n^2+5n+3$.

\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n}=\sqrt{n^2+5}$.

\item Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n}$ est la $n$\ieme{} décimale de $\pi$.\\
Même si l'on ne connaît pas encore toutes les décimales de $\pi$, cette suite est explicite, car les décimales de $\pi$ sont bien définies.
\end{enumerate}
Quand une suite est définie de fa\c on explicite, on peut calculer directement le terme de n'importe quel rang.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition par récurrence :}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{}
Une suite  $\left(u_{n}\right)$ est définie par récurrence lorsque chaque terme est défini en fonction du terme précédent ou des termes précédents, et par la donnée du ou des premiers termes.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=1\\u_{n+1}=\dfrac{1}{1+u_{n}}\text{ pour tout }n\end{array}\right.$

\item suite de Fibonacci : \\
$\left\{\begin{array}{l}u_{0}=u_{1}=1\\
u_{n+2}=u_{n}+u_{n+1}\end{array}\right.$.

\item $\begin{cases}u_{0}=2\\u_{n+1}=\dfrac{2}{3+u_{n}}\end{cases}$
%$\left\{\begin{array}{l}u_{0}=2\\u_{n+1}=\dfrac{2}{3+u_{n}}\end{array}\right.$\\
Calculer les trois premiers termes.\\
Est-il facile de calculer le terme $u_{25}$ ? $u_{100}$ ?
\end{enumerate}
Le problème des suites définies par récurrence est que pour calculer le terme de rang $p$, il faut connaître tous les termes précédents !\\
Pour certaines suites définies par récurrence, on essaye de se ramener à une définition explicite, mais ce n'est pas toujours facile ou possible !\\

%\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}
%$\left\{\begin{array}{l}u_{0}=6\\
%u_{n+1}=2u_{n}-5\end{array}\right.$.\\
%Soit $(v_{n})$ définie par : $v_{n}=5+2^n$.\\
%En calculant les premiers termes de chacune de ces deux suites, on constate que l'on trouve les mêmes termes.\\
%Peut-on en déduire que tous les termes coïncident ? Bien évidemment, non ! Ce qui se passe sur quelques termes ne permet pas de généraliser.\\



\subsection{\textcolor{red}{Représentation graphique des termes d'une suite}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Suite définie de fa\c con explicite}}
On a $u_{n}=f(n)$ où $f$ est une fonction.\\
On représente les points de coordonnées $(n~;~f(n))$.

\subsubsection{\textcolor{blue}{Suites définies par récurrence}}
Soit une suite définie par $u_{0}$ et la relation $u_{n+1}=f(u_{n})$, où $f$ est une fonction.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On trace un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$, puis la droite $\mathscr{D}$, d'équation $y=x$ (première bissectrice).

\item On trace la représentation graphique de la fonction $f$ dans le même repère.

\item On place $u_{0}$ sur l'axe des abscisses et le point $M_{0}(u_{0}~;~0)$ sur l'axe des abscisses.

\item On veut représenter $u_{1}$ ; par définition, $u_{1}=f(u_{0})$. On trace en pointillés le segment parallèle à l'axe des ordonnées, joignant $M_{0}$ au point de la courbr $\mathscr{C}_{f}$ de même abscisse, puis en pointillés le segment joignant ce point au point de même ordonnée de la droite $\mathscr{D}$. Ces deux points ont pour ordonnée $u_{1}$.\\
Comme $\mathscr{D}$  a pour équation $y=x$, ce dernier point a pour abscisse $u_{1}$, que l'on place sur l'axe des abscisses et on note $M_{1}$ le point de coordonnées $\left(M_{1}~;~0\right)$.

\item On recommence la construction précédente avec $u_{1}$, puis $u_{2}$, etc.
\end{enumerate}

\newpage


\textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=-1\\u_{n+1}=2\sqrt{u_{n}+4}\end{array}\right.$\\
On a $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$ avec $f(x)=2\sqrt{x+4}$.\\
On représente la courbe $\mathscr{C}_{f}$ et la droite d'équation $y=x$ (première bissectrice).\\
Sur l'axe des abscisses, on place $u_{0}=-1$.\\
$u_{1}=f\left(u_{0}\right)$ ; à partir de $u_{0}$, on trace la droite parallèle à l'axe des abscisses jusqu'à la courbe $\mathscr{C}_{f}$. L'ordonnée du point d'intersection est $u_{1}$.\\
On trace alors la droite parallèle à l'axe des abscisses à partir du point d'intersection précédent jusqu'à la bissectrice ; ce point a pour coordonnées $\left(u_{1~;~u_{1}}\right)$ ; on place alors sur l'axe des abscisses le nombre $u_{1}$.\\
On recommence à partir de $u_{1}$ \dots

\begin{center}
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\def\F{2 x 4 add sqrt mul}
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\uput[180](0,5.4641){ $u_2$}
\uput[-90](5.4641,0){ $u_2$}
\uput[180](0,6.15275){ $u_3$}
\uput[-90](6.15275,0){ $u_3$}
\uput[180](0,6.37267){ $u_4$}
\uput[-90](6.37267,0){ $u_4$}
\uput[180](0,6.44132){ $u_5$}
\uput[-90](6.44132,0){ $u_5$}
\uput[180](0,6.4626){ $u_6$}
\uput[-90](6.4626,0){ $u_6$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\textbf{\textcolor{red}{Autre exemple }}: $\left\{\begin{array}{l}u_0=1\\u_{n+1}=\dfrac{u_n+8}{2u_n+1}\end{array}\right.$
\begin{center}
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\begin{pspicture*}(-0.1,-0.1)(4.1,4.1)
\def\xmin{0} \def\xmax{4} \def\ymin{0} \def\ymax{4}
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\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
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\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.93874,1.93874)(1.93874,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.93874,1.93874)(1.93874,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.93874,0)(1.93874,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.93874,0)(1.93874,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(1.93874,2.03767)(0,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(1.93874,2.03767)(0,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(0,2.03767)(2.03767,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(0,2.03767)(2.03767,2.03767)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white,linestyle=solid]{-}(2.03767,2.03767)(2.03767,0)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red,linestyle=solid]{-}(2.03767,2.03767)(2.03767,0)
\def\F{x 8 add 2 x mul 1 add div}
\psplot[linecolor=gray,linewidth=0.5pt,linestyle=solid]{0}{6}{x}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{6}{\F}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](0,0){ O}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,0) \uput[d](0.5,0){ $\vec{\imath}$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(0,1) \uput[l](0,0.5){ $\vec{\jmath}$}
\uput[-90](1,0){ $u_0$}
\uput[180](0,3){ $u_1$}
\uput[-90](3,0){ $u_1$}
\uput[180](0,1.57142){ $u_2$}
\uput[-90](1.57142,0){ $u_2$}
\uput[180](0,2.31034){ $u_3$}
\uput[-90](2.31034,0){ $u_3$}
\uput[180](0,1.83435){ $u_4$}
\uput[-90](1.83435,0){ $u_4$}
\uput[180](0,2.10643){ $u_5$}
\uput[-90](2.10643,0){ $u_5$}
\uput[180](0,1.93874){ $u_6$}
\uput[-90](1.93874,0){ $u_6$}
\uput[180](0,2.03767){ $u_7$}
\uput[-90](2.03767,0){ $u_7$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On peut consulter la vidéo suivante : cliquer \href{https://www.youtube.com/watch?v=6tzomETT2OM}{ici}



\subsection{\textcolor{red}{Variations et bornes}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ Définitions}}
Soit $\left(u_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{Suite croissante :} $\left(u_{n}\right)$ est croissante si, pour tout $n$, $u_{n+1}\geqslant u_{n}$.

\item \textbf{Suite décroissante :} $\left(u_{n}\right)$ est décroissante si, pour tout $n$, $u_{n+1}\leqslant u_{n}$.

\item \textbf{Suite constante :} $\left(u_{n}\right)$ est constante si, pour tout $n$, $u_{n+1}= u_{n}$.

\item \textbf{Suite monotone :} $\left(u_{n}\right)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.\\
Elle est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

\item \textbf{Suite majorée :} $\left(u_{n}\right)$ est majorée par $M$ s'il existe un réel $M$, tel que, pour tout $n$, $u_{n}\leqslant M$.\\
$M$ est alors un majorant de la suite. Il n'est pas unique, puisque tout nombre supérieur à un majorant est aussi un majorant.

\item \textbf{Suite minorée :} $\left(u_{n}\right)$ est minorée par $m$ s'il existe un réel $m$, tel que, pour tout $n$, $u_{n}\geqslant  m$.\\
$m$ est alors un minorant de la suite. Il n'est pas unique, puisque tout nombre inférieur à un minorant est aussi un minorant.

\item \textbf{Suite bornée :} $\left(u_{n}\right)$ est bornée si elle est minorée et majorée
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item Soit $u_{n}$ la suite définie par : $u_{n}=1-\dfrac{1}{n+1}$. Pour tout $n$, $u_{n}<1$ donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est majorée par 1.\\
De même, $u_{n}>0$ donc $\left(u_{n}\right)$ est minorée par 0.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_{n}=\left(1-\dfrac{1}{n+2}\right)=\left(1-\dfrac{1}{n+1}\right)=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}=\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}>0$.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}\geqslant  u_{n}$, donc la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.\\
Autre méthode : $u_{n}=f(n)$ avec $f(x)=1-\dfrac{1}{x+1}$ ($x\in\mathbb{R}$). Sur $\mathbb{R}$, $f$ est dérivable et $f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}>0$.\\
La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a donc $f(n+1)\geqslant f(n)$, c'est-à-dire $u_{n+1}\geqslant u_{n}$, donc la suite est croissante.

\item Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite définie par : $\left\{\begin{array}{l}u_{0}=-5\\u_{n+1}=u_{n}+n\end{array}\right.$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}-u_{n}=n\geqslant 0$ donc $\left(u_{n}\right)$ est croissante.
\end{enumerate}

Nous allons maintenant étudier deux types de suites particulières, que l'on rencontre souvent.




\subsection{\textcolor{red}{Suites arithmétiques}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est arithmétique s'il existe un réel $r$ tel que, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_{n}+r$.\\
Par conséquent : $u_{n+1}-u_{n}=r$ ; la différence entre deux termes consécutifs est constante.\\
$r$ est appelé \textbf{\textcolor{red}{raison}} de la suite.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la suite des entiers naturels

\item la suite des entiers pairs (ou impairs)

\item la hauteur dont on s'élève en grimpant un escalier
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} le terme \og arithmétique\fg~vient de ce que chaque terme est la moyenne arithmétique du terme qui le précède et de celui qui le suit : $u_{n}=\dfrac{u_{n-1}+u_{n+1}}{2}$.



\subsubsection{\textcolor{blue}{Écriture explicite des termes}}
 
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème }}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de premier terme $u_{0}$ et de raison $r$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on  : $u_{n}=u_{0}+nr$.\\
Plus généralement : pour tout $p$, $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} (pas très rigoureuse, tant que l'on n'a pas vu les démonstrations par récurrence)
On a successivement : \\
$u_{1}=u_{0}+r$\\
$u_{2}=u_{1}+r=\left(u_{0}+r\right)+r=u_{0}+2r$\\
$u_{3}=u_{2}+r=\left(u_{0}+2r\right)+r=u_{0}+3r$\\
\dots\\
$u_{n-1}=u_{0}+(n-1)r$\\
$u_{n}=u_{n-1}+r=\left(u_{0}+(n-1)r\right)+r=u_{0}+nr$\\

\noindent Sinon, $u_{n}=u_{0}+nr$ et $u_{p}=u_{0}+pr$ ; par soustraction, on a : $u_{n}-u_{p}=(n-p)r$ donc $u_{n}=u_{p}+(n-p)r$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème :}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ un suite arithmétique de raison $r$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $r=0$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante.

\item Si $r>0$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante.

\item Si $r<0$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :\\
$u_{n+1}-u_{n}=r$ d'où le résultat.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Somme des premiers entiers naturels}}

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, notons $s_{n}$ la somme $s_{n}=1+2+3+\cdots+n$.\\
On a : $s_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
On écrit $s_{n}$ à l'endroit puis à l'envers et on ajoute terme à terme.\\
$s_{n}=1+2+3+\cdots+(n-1)+n$\\
$s_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+2+1$.\\
En additionnant, on trouve : \\
$2s_{n}=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)=n(n+1)$ (car il y a $n$ termes égaux à $n+1$ ).\\
Par conséquent : $s_{n}=\dfrac{n(n+1)}{2}$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Sommes des  termes consécutifs d'une suite arithmétique}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{\textcolor{red}{Théorème :}}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite arithmétique de raison $r$ et soit $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}=\sum_{i=1}^nu_{i}$.\\
Alors : $S_{n}=(n+1)u_{0}+\dfrac{n(n+1)}{2}r$\\
ou $S_{n}=(n+1)\dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}$ (nombre de termes multiplié par la demi-sommes des termes extrêmes).\\
$u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=(n-p+1)\left(\dfrac{u_{p}+u_{n}}{2}\right)$ (nombre de termes multiplié par la demi-sommes des termes extrêmes).
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :\\
\noindent $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n-1}+u_{n}=u_{0}+\left(u_{0}+r\right)+\left(u_{0}+2r\right)=\cdots+\left(u_{0}+(n-1)r\right)+\left(u_{0}+nr\right)\\
=\left(u_{0}+u_{0}+\cdots u_{0}\right)+(1+2+\cdots+n)r=(n+1)u_{0}+\dfrac{n(n+1)}2{r}$\\

\newpage


\noindent \textcolor{red}{Autre formule :}\\
On écrit là encore $S_{n}$ de deux fa\c cons différentes (à l'endroit puis à l'envers).\\
$S_{n}=u_{0}+\left(u_{0}+r\right)+\left(u_{0}+2r\right)+\cdots+\left(u_{n-1}+(n-1)r\right)+\left(u_{0}+nr\right)$.\\
$S_{n}=u_{n}+\left(u_{n}-r\right)+\left(u_{n}-2r\right)+\cdots+\left(u_{n}-(n-1)r\right)+\left(u_{n}-nr\right)$.\\
On ajoute terme à terme :\\
$2S_{n}=\left(u_{0}+u_{n}\right)+\cdots+\left(u_{0}+u_{n}\right)=(n+1)\left(u_{0}+u_{n}\right)$ (car il y a $n+1$ termes dans la somme $S_{n}$).\\
D'où : $S_{n}=(n+1)\dfrac{u_{0}+u_{n}}{2}$\\

\noindent La formule $u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=(n-p+1)\left(\dfrac{u_{p}+u_{n}}{2}\right)$ se démontre de la même fa\c con ; le nombre de termes est $n-p+1$.

\subsection{\textcolor{red}{Suites géométriques}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Une suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que, pour tout $n$, $u_{n+1}=qu_{n}$.\\
$q$ est appelé \textbf{\textcolor{red}{raison}} de la suite.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item la suite des puissances de 2 : $2^0,~ 2^1,~\cdots,~2^n\cdots$ est une suite géométrique de raison $q=2$

\item la population d'une ville augmente chaque année de 1,5~\% ; elle est donc multipliée chaque année par le nombre (coefficient multiplicateur) $\left(1+\dfrac{1,5}{100}\right)=1,015$. on obtient une suite géométrique de raison $q=1,015$
\end{enumerate}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} le terme \og géométique\fg~vient de ce que chaque terme est la moyenne géométrique du terme qui le précède et de celui qui le suit : $u_{n}=\sqrt{u_{n-1}\times u_{n+1}}$.



\subsubsection{\textcolor{blue}{Écriture explicite des termes}}
 
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème }}
Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite géométrique de premier terme $u_{0}$ et de raison $q$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on  : $u_{n}=u_{0}q^n$.\\
Plus généralement : pour tout $p$, $u_{n}=u_{p}q^{n-p}$
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} (pas très rigoureuse, tant que l'on n'a pas vu les démonstrations par récurrence)
On a successivement : \\
$u_{1}=qu_{0}$\\
$u_{2}=u_{1}\times q=\left(u_{0}\times q\right)\times q=u_{0}q^2$\\
$u_{3}=u_{2}\times q=\left(u_{0}\times q^{2}\right)=u_{0}\times q^{3}$\\
\dots\\
$u_{n-1}=u_{0}\times q^{n-1}$\\
$u_{n}=u_{n-1}\times q=\left(u_{0}\times q^{n-1}\right)\times q=u_{0}\times q^{n}$\\

\noindent Sinon, $u_{n}=u_{0}q^{n} =u_{0}q^{p}\times q^{n-p}=u_{p}q^{n-p}$.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Variations}}
\begin{minipage}{14cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème :}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ un suite géométrique de raison $q$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est constante.

\item Si $q>1$, la suite $\left(u_{n}\right)$ est croissante si $u_{0}>0$ et décroissante si $u_{0}<0$.

\item Si $0<q<1  $, la suite $\left(u_{n}\right)$ est décroissante si $u_{0}>0$ et croissante si $u_0<0$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :\\
$u_{n+1}-u_{n}=u_{0}q^n-u_{0}q^{n-1}=u_{0}q^{n-1}(q-1)$ qui est du signe de $u_{0}(q-1)$ d'où le résultat.


\subsubsection{\textcolor{blue}{Somme des premières puissances d'un nombre $q$}}

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $q$ un nombre non nul.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, notons $s_{n}$ la somme $s_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^{n}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, $s_{n}=n+1$.

\item Si $q\neq 1$, $s_{n}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $q=1$, c'est évident, puique $q^p=1$ pour tout $p$.

\item On écrit $s_{n}$ une première fois puis de nouveau en la multipliant par $q$ et on soustrait terme à terme.\\
$s_{n}=1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}+q^{n}$\\
$q\times s_{n}=q+q^2+q^3+q^n+q^{n+1}$.\\
En soustrayant, on trouve : $qs_{n}-s_{n}=q^{n+1}-1$ (car les autres termes s'annulent deux par deux).\\
Par conséquent : $s_{n}(q-1)=q^{n+1}-1$ d'où $s_{n}=\dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$, que l'on peut aussi écrire $\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.
\end{enumerate}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Sommes des  termes consécutifs d'une suite géométrique}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{\textcolor{red}{Théorème :}}}

Soit $\left(u_{n}\right)$ une suite géométrique de raison $q$ et soit $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n}=\sum_{i=1}^nu_{i}$.\\
Alors : $S_{n}=u_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$\\
$u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=u_{p}\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :\\
\noindent $S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{n-1}+u_{n}=u_{0}+u_{0}q+\cdots+u_{0}q^n=u_{0}\left(1+q+q^2+\cdots+q^n\right)=u_{0}\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$.\\

\noindent $u_{p}+u_{p+1}+\cdots+u_{n}=u_{p}+u_{p}q+\cdots+u_{p}q^{n-p}=u_{p}\left(1+q+q^2+\cdots+q^{n-p}\right)=u_{p}\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}
\begin{enumerate}
\item $1+3+3^2+\cdots+3^{15}=\dfrac{3^{16}-1}{3-1}=\dfrac{3^{16}-1}{2}=\numprint{21523360}$

\item $5^{11}+5^{12}+\cdots+5^{20}=5^{11}\dfrac{5^{20-11+1}-1}{5-1}=5^{11}\dfrac{5^{10}-1}{4}=\numprint{119209277343750}$


\item Légende de l'échiquier :\\
En Inde, le roi Belkib (ou Bathait), qui s'ennuie à la cour, demande qu'on lui invente un jeu pour le distraire. Le sage Sissa invente alors un jeu d'échecs, ce qui ravit le roi. Pour remercier Sissa, le roi lui demande de choisir sa récompense, aussi fastueuse qu'elle puisse être. Sissa choisit de demander au roi de prendre le plateau du jeu et, sur la première case, poser un grain de riz, ensuite deux sur la deuxième, puis quatre sur la troisième, et ainsi de suite, en doublant à chaque fois le nombre de grains de riz que l’on met. Le roi et la cour sont amusés par la modestie de cette demande. Mais lorsqu'on la met en œuvre, on s'aperçoit qu'il n'y a pas assez de grains de riz dans tout le royaume pour la satisfaire.

\end{enumerate}
\bigskip

Réponse : $N=2^{64}-1=\numprint{18446744073709551615}\approx 1,9^{19}$


\subsubsection{ \textcolor{blue}{Caractérisation d'une suite géométrique}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Les suites géométriques sont les suites dont le terme général est de la forme $aq^n$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $\left(u_n\right)$ est géométrique, $u_n=aq^n$.

\item On suppose qu'il existe $q$ tel que, pour tout $n$, $u_n=aq^n$.\\
Alors : $u_{n+1}=aq^{n+1}=aq^n\times q=q\times u_n$ donc $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q$.\\
Le premier terme est alors $u_0=a$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Notion de limite d'une suite}}


On s'intéresse au comportement des termes de la suite quand les valeurs de $n$, prennent des valeurs aussi grandes que l'on veut, c'est-à-dire, tendent vers $+\infty$.

\bigskip


\begin{enumerate}[A)]
\item \textbf{ \textcolor{red}{\textbf{\textcolor{red}{Limite finie}}}} :

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple graphique 1}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=3,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,1.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-0.5)(15,1.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=red](0,1)(1,0.5)(2,0.333333333333333)(3,0.25)(4,0.2)(5,0.166666666666667)(6,0.142857142857143)(7,0.125)(8,0.1111)(9,0.1)(10,0.090909)(11,0.083)(12,0.077)(13,0.0714285714285714)(14,0.0666666666666667)(15,0.0625)
\end{pspicture}
\end{center}

Graphiquement, les termes de la suite (ordonnées des points) semblent se rapprocher de plus en plus de 0.\\
On note : $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0$ ; on dit que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 0 ou que le terme $u_n$ tend vers 0.

\newpage


\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple graphique  2}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=3,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(15,2.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-0.5)(15,2.4)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3,linecolor=red](0,1)(1,1.5)(2,1.66666666666667)(3,1.75)(4,1.8)(5,1.83333333333333)(6,1.85714285714286)(7,1.875)(8,1.88888888888889)(9,1.9)(10,1.90909090909091)(11,1.91666666666667)(12,1.92307692307692)(13,1.92857142857143)(14,1.93333333333333)(15,1.9375)
\psline[linestyle=dashed](0,2)(15,2)
\uput[u](13,2){$y=2$}
\end{pspicture}
\end{center}

Graphiquement, les termes de la suite (ordonnées des points) semblent se rapprocher de plus en plus de 2.\\
On note : $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=20$ ; on dit que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers 2 ou que le terme $u_n$ tend vers 2.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (admise)}}
Les suites de terme général $\dfrac{1}{n}$, $\dfrac{1}{n^2}$, \dots, $\dfrac{1}{n^k}$ où $k$ est un entier naturel et $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ tendent vers 0 quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{bclogo}

\newpage


\item \textbf{ \textcolor{red}{\textbf{\textcolor{red}{Limite infinie}}}} :

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple  graphique  3}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=.1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-10)(10,110)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-0.25)(10,110)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2,linecolor=red](0,0)(1,1)(2,4)(3,9)(4,16)(5,25)(6,36)(7,49)(8,64)(9,81)(10,100)
%\psgrid[subgriddiv=,gridlabels=0]()()
\end{pspicture}

\end{center}
Les termes de la suite semblent devenir aussi grands que l'on veut.\\
On note $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple  graphique  4}}
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,1)(10,-5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,1)(10,-5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2,linecolor=red](0,0)(1,-1)(2,-1.414)(3,-1.732)(4,-2)(5,-2.236)(6,-2.45)(7,-2.646)(8,-2.828)(9,-3)(10,-3.162)
%\psgrid[subgriddiv=,gridlabels=0]()()
\end{pspicture}

\end{center}
Les termes de la suite semblent devenir aussi grands que l'on veut en valeur absolue, en étant négatifs.\\
On note $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty$.

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Les suites de terme général $n$, $n^2$, $n^k$ ($k$entier naturel non nul) et $\sqrt{n}$ tendent vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{bclogo}
\bigskip

\danger \textbf{\textcolor{red}{Remarque :}} il existe des suites qui n'ont pas de limite : exemple : $u_n=(-1)^n$ qui alterne entre -1et 1
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarques}} : on peut conjecturer des limites de fonctions par un graphique (en représentant les points de coordonnées $(n~;~u_n))$, en regardant les résultats d'un tableur (ou calculatrice) ou en appliquant des règles de calculs sur les limites.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Graphiquement : voir précédemment.

\item Tableur : considérons la suite définie par $u_0=3$ et $u_{n+1}=0,8u_n+5$.\\
Dans un tableur, on obtient :
\begin{center}
$\begin{array}{|>{\columncolor{yellow!30}}p{1cm}|c|c|}\hline
1&n&u_n\\
\hline
2&0&3\\
\hline
3&1&\og{}=0.8*B2+5\fg{}\\
\hline
4&2&10,92\\
\hline
\vdots&\vdots&\vdots\\
\hline
57&55&24,9998971\\
\hline
58&56&24,9999177\\
\hline
59&57&24,9999342\\
\hline
60&58&24,9999473\\
\hline
51&59&24,9999579\\
\hline

\end{array}$
\end{center}
On conjecture que la suite tend vers 25 quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}

\label{fin}

\end{document}