\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%applemac->latin1 sur pc! \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate} \usepackage[dvips]{color} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl,longtable} \usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{colortbl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} \textwidth 19,5cm \textheight 25.5cm \hoffset -1,7cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection})}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}} \title{\textcolor{red}{Intégration}} \date{} \author{} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \newpage \subsection{\textcolor{red}{Notion d'intégrale pour une fonction positive}} \begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Soit $(O~;~I~;~J)$ un repère orthonormé. On appelle unité d'aire l'aire du rectangle de dimensions $OI$ et $OJ$ : $1 \text{u.a.}=Oi\times OJ$. \end{bclogo} \begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition:}} Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a ;b]$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère $\left(0 ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j}\right)$. Le réel noté $\int_a^bf(x)\text{ d}x$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine $\mathcal{D}$ délimité par $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.\\ $\int_a^bf(x)\text{ d}x$ se lit \og{}intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)\text{ d}x$\fg{}\\ $a$ et $b$ sont les bornes (inférieure et supéieure) de l'intégrale et $x$ est une variable \og{}muette\fg{} ; elle n'intervient pas dans le résultat.\\ On utilise aussi souvent les lettres $t$ et $u$. \\ Ainsi : $\int_a^bf(x)\text{ d}x=\int_a^bf(t)dt=\int_a^bf(u)du$ \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : le terme $\text{ d}x$ est important ; le symbole $\int$ ($S$ déformé) correspond à une somme \textbf{infinie} et l'on calcule une somme infinie \textbf{\textcolor{red}{d'aires de rectangles}} de hauteur $f(x)$ et de largeur infinitésimale $\text{ d}x$. $f(x)\text{ d}x$ est alors le produit de deux longueurs donc correspond à une aire. \bigskip \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-8,-1)(8,7) \pscustom[linewidth=0.8pt,fillcolor=red!15,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-6.92}{6.8}{0.005028710634062395*x^(4)+0.004445552907244603*x^(3)-0.3086750577050846*x^(2)-0.024771796984684364*x+6.371683509839582}\lineto(6.8,0)\lineto(-6.92,0)\closepath} \psplot[linewidth=2pt,plotpoints=200]{-10.520000000000003}{10.520000000000003}{0.005028710634062395*x^(4)+0.004445552907244603*x^(3)-0.3086750577050846*x^(2)-0.024771796984684364*x+6.371683509839582} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](-6.92,1.82) %\rput[bl](-6.84,2.02){\ududff{$A$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](-5.44,1.06) %\rput[bl](-5.36,1.26){\ududff{$B$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](1.68,5.52) %\rput[bl](1.76,5.72){\ududff{$C$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](4.44,2.52) %\rput[bl](4.52,2.72){\ududff{$D$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](6.8,4.08) %\rput[bl](6.88,4.28){\ududff{$E$}} %\rput[bl](-8.24,7.04){\qqwuqq{$f$}} %\rput[bl](-0.18,0.32){\zzttqq{$a = 51.4$}} %\end{scriptsize} \uput[u](4.44,2.52){$\mathscr{C}_f$} \uput[ul](-6.92,0){$a$}\uput[ur](6.8,0){$b$} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-8,-1)(8,7) \end{pspicture*} \end{center} \fbox{\textcolor{red}{Exemples :}} \begin{enumerate}[$\bullet$] \item $\int_a^af(x)\text{ d}x=0$ (car l'aire d'un segment est nulle) \item Fonction constante $f(x)=m$ : $\int_a^b m\text{ d}x=m(b-a)$ (Le domaine $\mathcal{D}$ est un rectangle de longueur $b-a$ et de hauteur $m$) \begin{center} \psset{xunit=1,yunit=1,algebraic=true} \begin{pspicture}(-3,-1.5)(8,5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-3,-1)(8,5) \uput[r](0,3){$m$} \pscustom[linewidth=0.8pt,fillcolor=blue!20,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{1}{5}{3},\psplot{5}{1}{0}} \uput[u](3,1.5){$\mathscr{A}$} \uput[d](1,-0.5){$a$}\uput[d](5,-0.5){$b$} \end{pspicture} \end{center} \item $\int_1^3x\text{ d}x=4$ (Le domaine $\mathcal{D}$ est un trapèze). \begin{center} \psset{xunit=1,yunit=1,algebraic=true} \begin{pspicture}(-2,-2)(8,5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-1)(8,5) \psline(-2,-2)(5,5) \pscustom[linewidth=0.8pt,fillcolor=blue!20,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{1}{3}{x},\psplot{3}{1}{0}} \uput[u](2,1.5){$\mathscr{A}$} \end{pspicture} \end{center} \textbf{\textcolor{blue}{Rappel}} : l'aire d'un trapèze est $\dfrac{(b+B)h}{2}$ où $b$ et $B$ sont les bases (côtés parallèmes) et $h$ est la hauteur. \end{enumerate} \subsection{\textcolor{red}{Intégrale d'une fonction négative}} Soit $f$ une fonction continue et négative sur un intervalle $[a ;b]$. On définit l'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ par : \[\int_a^bf(x)\text{ d}x=-\mathcal{A}\], où $\mathcal{A}$ est l'aire (positive) du domaine $\mathcal{D}$ délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.\\ \fbox{\textcolor{red}{\textbf{Exemple :}} }\\ Soit $f$ la fonction définie par : $f(x):\frac{1}{2}x-2$. Cette fonction est négative sur $[0 ;3]$. L'aire de $\mathcal{D}$ est celle d'un trapèze, d'où le calcul : $\int_0^3f(x)\text{ d}x=-\frac{\left(2+\frac {1}{2}\right)\times 3}{2}=-\frac{15}{4}$. \newpage \subsection{\textcolor{red}{Cas d'une fonction changeant de signe}} \begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Soit $f$ une fonction continue qui change de signe (d'abord négative puis positive) sur un intervalle $[a ;b]$ et $\mathcal{C}$ sa représentation graphique.\\ Soit $\mathcal{A}_1$ l'aire de la partie délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$, situé en dessus de l'axe des abscisses.\\ Soit $\mathcal{A}_2$ l'aire de la partie délimitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$, situé au-desssus de l'axe des abscisses.\\ On pose alors : $\int_a^bf(x)\text{ d}x=\mathcal{A}_2-\mathcal{A}_1$. \end{bclogo} \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} reprenons la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{1}{2}x-2$.\\ \begin{center} \psset{unit=2,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1,-2.5)(7,2) \psplot{0}{6}{x/2-2} \pscustom[linewidth=0.8pt,fillcolor=red!20,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{0}{4}{0},\psplot{4}{0}{x/2-2}} \pscustom[linewidth=0.8pt,fillcolor=blue!20,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{4}{6}{0},\psplot{6}{4}{x/2-2}} \uput[d](2,-0.3){$\mathscr{A}_1$} \uput[u](5,0.1){$\mathscr{A}_2$} \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-2.5)(7,2) \end{pspicture*} \end{center} $\int_0^6f(x)\text{ d}x=\mathcal{A}_2-\mathcal{A}_1=1-4=\boxed{\textcolor{red}{-3}}$ u.a.\\ \newpage On peut évidemment généraliser au cas où l'on a plusieurs changements de signes, en comptant positivement les aires des domaines sur lesquels la fonction est positive et négativement les aires de ceux pour lesquels la fonction est négative. \bigskip \begin{center} \psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-7,-8)(8,5) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-7,-8)(8,5) \pscustom[linewidth=0.8pt,fillcolor=cyan!20,fillstyle=solid,opacity=0.1]{\psplot{-6}{7}{0.004178374307396149*x^(5)-0.00670058748895644*x^(4)-0.21898415281458963*x^(3)+0.17567841644579546*x^(2)+1.8090826223400203*x-0.5955042659598788}\lineto(7,0)\lineto(-6,0)\closepath} \psplot[linewidth=2pt,plotpoints=200]{-10.72}{10.32}{0.004178374307396149*x^(5)-0.00670058748895644*x^(4)-0.21898415281458963*x^(3)+0.17567841644579546*x^(2)+1.8090826223400203*x-0.5955042659598788} \rput[tl](-4.98,2.16){$\mathscr{A}_1$} \rput[tl](-1.58,-0.62){$\mathscr{A}_2$} \rput[tl](1.66,1.4){$\mathscr{A}_3$} \rput[tl](5.1,-1.5){$\mathscr{A}_4$} %\begin{scriptsize} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](-6,1) %\rput[bl](-5.92,1.2){\ududff{$A$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](-4,3) %\rput[bl](-3.92,3.2){\ududff{$B$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](-2,-2) %\rput[bl](-1.92,-1.8){\ududff{$C$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](2,2) %\rput[bl](2.08,2.2){\ududff{$D$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](4,-2) %\rput[bl](4.08,-1.8){\ududff{$E$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=ududff](7.16,2) %\rput[bl](7.24,2.2){\ududff{$F$}} %\rput[bl](-6.44,-7.26){\ffvvqq{$f$}} %\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-6.104230770085065,0) %\rput[bl](-6.02,0.16){\darkgray{$G$}} %\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](-3.0315577597813936,0) %\rput[bl](-2.96,0.16){\darkgray{$H$}} %\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](0.323150999416563,0) %\rput[bl](0.4,0.16){\darkgray{$I$}} %\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](3.393784011392098,0) %\rput[bl](3.48,0.16){\darkgray{$J$}} %\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*,linecolor=darkgray](7.022488568482574,0) %\rput[bl](7.1,0.16){\darkgray{$K$}} %\rput[bl](0.14,-0.82){\zzttqq{$a = -7.25$}} %\end{scriptsize} \end{pspicture*} \end{center} $\int_{-6}^{7}f(x)\text{ d}x=\mathscr{A}_1-\mathscr{A}_2+\mathscr{A}_3-\mathscr{A}_4$. \bigskip \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : jusqu'à présent, nous avons pu calculer des intégrales directement, car les fonctions étudiées étaient simples et donnaient des aires faciles à calculer (rectangles, triangles, trapèzes) ; nous verrons plus loin comment calculer des intégrales de fonctions moins simples, comme $\int_0^1x^2\text{ d}x$ ou $\int_0^{\frac\pi2}\sin x\text{ d}x$. \newpage \subsection{\textcolor{red}{Fonction définie par une intégrale, primitive d'une fonction}} Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a~;~b]$ et soit $x$ un nombre quelconque de cet intervalle. \noindent On considère la fonction $F_a$ définie par $F_a:x\mapsto \int_a^xf(t)\text{ d}t$ qui correspond à l'aire hachurée sur le dessin ; elle dépend de $x$. \begin{center} \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.} \psset{xunit=1.0cm,yunit=0.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-1.,-1.)(10.,6.) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-1.)(10.,6.) \pscustom[linecolor=zzttqq,hatchcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.2]{\psplot{1.68}{8.1}{0.00631258687566*x^(6.00000000000)-0.215351672425*x^(5.00000000000)+2.89695352446*x^(4.00000000000)-19.4687325839*x^(3.00000000000)+68.2118732494*x^(2.00000000000)-117.046670896*x+78.4338965687}\lineto(8.1,0)\lineto(1.68,0)\closepath} \psplot[plotpoints=200]{-1.0}{10.0}{0.00631258687566*x^(6.00000000000)-0.215351672425*x^(5.00000000000)+2.89695352446*x^(4.00000000000)-19.4687325839*x^(3.00000000000)+68.2118732494*x^(2.00000000000)-117.046670896*x+78.4338965687} \psline[linewidth=4.pt](12.7,3.02)(16.7,3.02) %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.68,2.34) %\rput[bl](1.76,2.46){\blue{$A$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](3.26,2.76) %\rput[bl](3.34,2.88){\blue{$B$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.3,2.2) %\rput[bl](4.38,2.32){\blue{$C$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](5.6,0.76) %\rput[bl](5.68,0.88){\blue{$D$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.9,2.36) %\rput[bl](6.98,2.48){\blue{$E$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.56,3.34) %\rput[bl](8.64,3.46){\blue{$F$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](9.76,4.74) %\rput[bl](9.84,4.86){\blue{$G$}} %\rput[bl](1.5,6.){$f$} \psdots[dotsize=5pt 0,dotstyle=*](14.6795021962,3.02) \uput[d](1.68,-0.4){$a$} %\rput[bl](4.78,0.26){\zzttqq{$b = 13.07$}} \uput[d](8.1,-0.4){$x$} \end{pspicture*} \end{center} \bigskip \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (en partie admis)}} Si $f$ est \textbf{continue} sur $[a~;~b]$, la fonction $F:x\mapsto \int_a^xf(t)\text{ d}t$ est dérivable sur $[a~;~b]$ et sa dérivée est $f$ ; on dit que $F$ est une primitive de $f$.\\ Elle s'annule en $a$. \end{bclogo} Une primitive $F$ de $f$ est une fonction dérivable telle que $F'=f$. \bigskip \noindent \textbf{Démonstration}\textcolor{red}{} dans le cas très particulier d'une fonction continue, \textbf{positive et croissante} sur $[a~;~b]$. (la démonstration dans le cas général est admise) \bigskip Soit $f$ une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle $I=[a ;b]$, de courbe $\mathcal{C}$. \\ On définit sur $I$ la fonction $F :x\mapsto\int_a^xf(t)dt$ et on fixe $x_0$ dans $I$.\\ \begin{enumerate} \item $F(a)=0$ (aire entre $a$ et $a$). \item Soit $h$ un réel strictement positif tel que $x_0+h\in I$. \begin{center} \newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0.} \psset{unit=0.9,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25} \begin{pspicture*}(-2,-1.5)(9.,7.) \psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.,-1.)(9.,7.) \pscustom[linecolor=zzttqq,hatchcolor=zzttqq,fillstyle=hlines,hatchangle=45.0,hatchsep=0.2]{\psplot{4.94}{6.44}{-0.0133605216619*x^(4.00000000000)+0.258414361951*x^(3.00000000000)-1.67392892289*x^(2.00000000000)+4.80742182041*x-2.87493357719}\lineto(6.44,0)\lineto(4.94,0)\closepath} \psplot[plotpoints=200]{-1.0}{9.0}{-0.0133605216619*x^(4.00000000000)+0.258414361951*x^(3.00000000000)-1.67392892289*x^(2.00000000000)+4.80742182041*x-2.87493357719} \begin{scriptsize} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](1.34,1.14) %\rput[bl](1.42,1.26){\blue{$A$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](2.76,2.3) %\rput[bl](2.84,2.42){\blue{$B$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](4.94,3.22) \rput[bl](5.02,3.34){\blue{$C$}} \psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](6.44,4.7) \rput[bl](6.52,4.82){\blue{$D$}} %\psdots[dotstyle=*,linecolor=blue](8.4,6.04) %\rput[bl](8.48,6.06){\blue{$E$}} \rput[bl](-0.42,-6.5){$f$} %\rput[bl](5.58,0.24){\zzttqq{$a = 5.87$}} \end{scriptsize} \psline(4.94, 3.22)(6.44, 3.22) \psline(6.44, 4.7)(4.94, 4.7) \psline(4.94, 0)(4.94, 4.7) \uput[d](4.94, -0.5){$x_0$} \uput[d](6.44, -0.5){$x_0+h$} \psline[linestyle=dashed](4.94, 3.22)(0, 3.22) \psline[linestyle=dashed](4.94, 4.7)(0,4.7) \uput[l](0, 3.22){$f\left(x_0\right)$} \uput[l](0, 4.7){$f\left(x_0+h\right)$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item $F(x_0+h)-F(x_0)$ représente l'aire sous la courbe entre $x_0+h$ et $x_0$ (partie hachurée) puisque c'est la différence entre deux aires. \item Graphiquement, on trouve : $hf(x_0)\leqslant F(x_0+h)-F(x_0)\leqslant hf(x_0+h)$ (en encadrant l'aire hachurée par les aires de deux rectangles) \item On en déduit $f\left(x_0\right)\leqslant \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\leqslant f\left(x_0+h\right)$. Comme $f$ est \textbf{\textcolor{red}{continue}}, $\lim_{h\rightarrow 0 }f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)$ d'où : $\lim_{h\rightarrow 0^+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)$ (par le théorème des gendarmes) \end{enumerate} \item Si $h$ est négatif, on trouve un résultat analogue. (Cette fois, $x_0+h\leqslant x_0$ mais la démarche est la même) \item Par conséquent, la fonction $F$ est \textbf{dérivable} en $x_0$ et sa fonction dérivée est $f$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}} La fonction $t\mapsto\frac{1}{t}$ est continue sur $]0 ;+\infty[$ ; son unique primitive qui s'annule en 1 étant la fonction logarithme népérien, on a, pour tout $x$ de $]0 ;+\infty[$ : $\ln x=\int_1^x\frac{1}{t}dt$. \subsection{\textcolor{red}{Intégrale et primitive}} \subsubsection{\textcolor{blue}{Calcul d'une intégrale à l'aide d'une primitive}} \begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}} Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Pour tous réels $a$ et $b$ de $I$, on a : \[\int_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)\], où $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $I$. \end{bclogo} \bigskip \textcolor{red}{Démonstration :}\\ Notons $\Phi$ la primitive de $f$ sur $I$ qui s'annule en $a$. On a : $\Phi(x)=\int_a^xf(t)dt$. On sait qu'il existe $k$ réel tel que : $F=\Phi+k$.\\ Alors : $F(b)-F(a)=\Phi(b)-k-\left(\Phi(a)-k\right)=\Phi(b)=\int_a^bf(t)dt$ (car $\Phi(a)=0$).\\ On a ainsi un procédé de calcul d'une intégrale pour une fonction continue dont on connaît une primitive.\\ L'expression a un sens quels que soient le signe de la fonction $f$ et l'ordre des bornes $a$ et $b$.\\ Exemple : $\int_1^2(x^2-2x)\text{ d}x=-\frac{2}{3}$ \subsection{\textcolor{red}{Propriétés de l'intégrale}} \subsubsection{\textcolor{blue}{Valeur moyenne}} \begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}} Soit $f$ une fonction continue et strictement positive sur un intervalle $[a ;b]$ ($a