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\lhead{\small \textcolor{red}{Baccalauréat Spécialité mathématiques}}%tapez un titre
\lfoot{\small{\textcolor{red}{Lycée Maurice Genevoix-Bac blanc}}}
\rfoot{\small{\textcolor{red}{ décembre 2021 - Durée : 4 heures}}}
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\def\montitre{BACCALAURÉAT BLANC}
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\cfoot{\fbox{\textcolor{blue}{Page \thepage/\pageref{fin}}}}

\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection} }} 
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\begin{document}
\sf{ }
\begin{center}
\begin {tabular}{|c|}
\hline\\
 \huge \montitre   \\
 \\
\hline
\end{tabular}\\
\vspace{2cm}
\large {décembre 2021}\vspace{1.5cm}\\
\textbf{\Large{SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES} }\vspace{1.5cm}\\
\vspace{1.5cm}

\large{DURÉE DE L'ÉPREUVE : \textbf{4 heures}} \vspace{2cm}\\

\textbf{\textit{Ce sujet comporte \pageref{fin} pages, numérotées de 1 à \pageref{fin}}}\\


\bigskip

\textit{L'utilisation d'une calculatrice est autorisée, mais pas le prêt entre candidats}\vspace{1.5cm}\\


\fbox{\begin{minipage}{16cm}

\noindent La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
\end{minipage}
}\end{center}

\hfill\\


\newpage
\small

\subsection{}
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. \\Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\ Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. \\Aucune justification n'est demandée.}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9,5)
\psline(0,0)(5,0)(8,1.8)%DCB
\pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(8,1.8)(3,1.8)(0,0)%BADB
\psline[linestyle=dashed](5,0)(3,1.8)(4,4)(4,0.95)%CASI
\psline(0,0)(4,4)(5,0)(8,1.8)(4,4)%DSCBS
\uput[dl](0,0){D}\uput[dr](5,0){C}\uput[ur](8,1.8){B}\uput[ul](3,1.8){A}
\uput[u](4,4){S}\uput[d](4,0.95){I}
\uput[ul](2,2){K}\uput[ur](4.5,2){L}\uput[ur](6,2.9){M}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=30,dotscale=1.85](2,2)(4.5,2)(6,2.9)
\end{pspicture}
\end{center}

SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.

Le point I est le centre du carré ABCD. 
 
On suppose que : IC = IB = IS $= 1$.

Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les droites suivantes ne sont pas coplanaires:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} (DK) et (SD) &\textbf{b.~} (AS) et (IC) &\textbf{c.~} (AC) et (SB) &\textbf{d.~} (LM) et (AD)
\end{tabularx}
\end{center}

Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace $\left(\text{ I}~;~ \vect{\text{IC}},~\vect{\text{IB}},~\vect{\text{IS}}\right)$.

Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants:

\[\text{I}(0~;~0~;~0) \:;\: \text{A}(-1~;~0~;~0) \:;\: \text{B}(0~;~1~;~0) \:;\: \text{C}(1~;~0~;~0); \text{D}(0~;~-1~;~0) \:;\: \text{S}(0~;~0~;~1).\]

\item  Les coordonnées du milieu N de [KL] sont:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}\right)$&\textbf{b.~}$\left(\dfrac{1}{4}~;~- \dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&\textbf{c.~}$\left(-\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&\textbf{d.~}$\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$
\end{tabularx}
\end{center}
\item  Les coordonnées du vecteur $\vect{\text{AS}}$ sont:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}$&\textbf{b.~}  $\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$&\textbf{c.~} $\begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$ &\textbf{d.~} $\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$
\end{tabularx}
\end{center}
\item Une représentation paramétrique de la droite (AS) est:
{\footnotesize \begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&t\\z&-t
\end{array}\right.$

$(t \in \R)$&\textbf{b.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1+2t\\y&0\\z&1 + 2t
\end{array}\right.$

$(t \in \R)$&\textbf{c.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&t\\y&0\\z&1+t
\end{array}\right.$

$(t \in \R)$&\textbf{d.~} $\left\{\begin{array}{l !{=} r}x&-1-t\\y&1+t\\z&1-t
\end{array}\right.$

$(t \in \R)$
\end{tabularx}
\end{center}}

%\item Une équation cartésienne du plan (SCB) est:
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~} $y+z-1 =0$ &\textbf{b.~}$x+y+z- 1=0$& \textbf{c.~}$x-y+z=0$&
%\textbf{d.~}$x+z-1 =0$
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item Soit $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=1+2t\\y=-2+t\\z=4-t\end{cases}~t\in\mathbb{R}$.\\
Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\Delta$ ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\textbf{a.~}P(2~;~1~;~-1)$&\textbf{b.~}$Q(-3~;~-4~;~6)$&\textbf{c.~}$R(-3~;~-4~;~-2)$&$\textbf{d.~} T(-5~;~-5~;~1)$
\end{tabularx}
\end{enumerate}


\newpage



\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) = \dfrac{\text{e}^x}{x}.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		\item Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\end{enumerate}
\item  Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, on a :

\[f'(x) = \dfrac{\text{e}^x(x - 1)}{x^2}\]

où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
\item Déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 

On établira un tableau de variations de la fonction $f$ dans lequel apparaîtront les limites. 
\item Soit $m$ un nombre réel. Préciser, en fonction des valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$.
\item  On note $\Delta$ la droite d'équation $y = -x$.

On note A un éventuel point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ en lequel la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $a$ est solution de l'équation $\text{e}^x(x - 1) + x^2  = 0$.
	
On note $g$ la fonction définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = \text{e}^x(x - 1) + x^2 $.

On admet que la fonction $g$ est dérivable et on note $g'$ sa fonction dérivée.
		\item Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $[0~;~+\infty[$.
		\item Montrer qu'il existe un unique point $A$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage


\subsection{}%Amérique du Nord juin 2021
Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique.

Au début de l'année 2020, cette population comptait $600$ individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.

\smallskip

Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0		&=	&0,6\\
u_{n+1}	&=	&0,75 u_n\left(1 - 0,15 u_n\right)
\end{array}\right.\]

où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année $2020 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par 

\[f(x) = 0,75x (1 - 0,15x).\]

\item Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1] et dresser son tableau de variations.

\item Résoudre dans l'intervalle [0~;~1] l'équation $f(x) = x$.


On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.



\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant  u_n \leqslant 1$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
		\item Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}

\newpage

\item Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
		\item Le biologiste a programmé en langage Python la fonction \textbf{menace()} ci-dessous:

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{l}%\hline
def menace()\\
\quad u = 0,6\\
\quad n = 0\\
\quad while u > 0,02\\
\hspace{1cm} u = 0,75*u*(1-0,15*u)\\
\hspace{1cm} n = n+1\\
\quad return n\\ %\hline
\end{tabular}
}
\end{center}

Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\newpage



\subsection{}%Pondichéry avril 2013
Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié soit absent durant une période d'épidémie de grippe.

\medskip
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent 
\item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas malade. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$. 
\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par $E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la $n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $E_{n}$.
 
On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 : $0 \leqslant  p_{n} < 1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de probabilité. 
		\item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier sur la copie et compléter l'arbre de probabilité donné ci-dessous
		
%\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
%{
%	\pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
%	  { 
%		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
%		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
%	  }
%	\pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{\ldots}}
%	  {
%		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{\ldots}
%		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{\ldots}		  
%	  }
%}
%\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=10mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$E_n$}\taput{ $p_n$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$E_{n+1}$}\taput{ $\cdots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{ $\cdots$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{E_n}$}\tbput{ $\cdots$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$E_{n+1}$}\taput{ $\cdots$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{ $\cdots$}
}
}

\end{center}

		\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1,
		
		 $p_{n+ 1} = 0,2p_{n} + 0,04$. 
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n} = p_{n} - 0,05$ est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison $r$.
		
En déduire l'expression de $u_{n}$ puis de $p_{n}$ en fonction de $n$ et $r$. 
		\item En déduire la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. \\Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
%		\item On admet dans cette question que la suite $\left(p_{n}\right)$ est croissante. On considère l'algorithme  suivant : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|l X|}\hline
%Variables		& K et J sont des entiers naturels, P est un nombre réel\\ 
%Initialisation 	&P prend la valeur $0$\\ 
%				&J prend la valeur $1$\\ 
%Entrée			& Saisir la valeur de K\\ 
%Traitement		&Tant que P $< 0,05 - 10^{- \text{K}}$\\ 
%				&\quad P prend la valeur $0,2 \times \text{P} + 0,04$\\
%				&\quad  J prend la valeur J $+ 1$\\ 
%				&Fin tant que \\
%Sortie			&Afficher J \\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%À quoi correspond l'affichage final J ?
% 
%Pourquoi est-on sûr que cet algorithme s'arrête ?
	\end{enumerate} 
%\item Cette entreprise emploie 220 salariés. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un salarié soit malade une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à $p = 0,05$.
% 
%On suppose que l'état de santé d'un salarié ne dépend pas de l'état de santé de ses collègues.
% 
%On désigne par $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de salariés malades une semaine donnée. 
%	\begin{enumerate}
%		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
%		 
%Calculer l'espérance mathématique $\mu$ et l'écart type $\sigma$ de la variable aléatoire $X$. 
%		\item On admet que l'on peut approcher la loi de la variable aléatoire $\dfrac{X - \mu}{\sigma}$ 
%		
%		par la loi normale  centrée réduite c'est-à-dire de paramètres $0$ et $1$.
%		 
%On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. 
%
%Le tableau suivant donne les probabilités de l'évènement $Z < x$ pour quelques valeurs du nombre réel $x$.
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\scriptsize \centering \arraybackslash}X|}}\hline
%$x$& $-1,55$ &$-1,24$ &$-0,93$ &$- 0,62$ &$- 0,31$ &0,00 &0,31 &0,62 &0,93 &1,24 &1,55\\ \hline 
%$P(Z < x)$& 0,061 &0,108 &0,177 &0,268 &0,379 &0,500 &0,621 &0,732 &0,823 &0,892 &0,939\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%Calculer, au moyen de l'approximation proposée en question b., une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la probabilité de l'évènement : \og le nombre de salariés absents dans l'entreprise au cours d'une semaine donnée est supérieur ou égal  à 7 et inférieur ou égal à 15 \fg. 
%	\end{enumerate}
\end{enumerate}








\label{fin}
\end{document}  