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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction du bac blanc}}\end{center}

\subsection{}%EDS 15 mars 2021
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(9,5)
\psline(0,0)(5,0)(8,1.8)%DCB
\pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(8,1.8)(3,1.8)(0,0)%BADB
\psline[linestyle=dashed](5,0)(3,1.8)(4,4)(4,0.95)%CASI
\psline(0,0)(4,4)(5,0)(8,1.8)(4,4)%DSCBS
\uput[dl](0,0){D}\uput[dr](5,0){C}\uput[ur](8,1.8){B}\uput[ul](3,1.8){A}
\uput[u](4,4){S}\uput[d](4,0.95){I}
\uput[ul](2,2){K}\uput[ur](4.5,2){L}\uput[ur](6,2.9){M}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=30,dotscale=1.85](2,2)(4.5,2)(6,2.9)
\end{pspicture}
\end{center}

SABCD est une pyramide régulière à base carrée ABCD dont toutes les arêtes ont la même longueur.
Le point I est le centre du carré ABCD. 
On suppose que : IC = IB = IS $= 1$.

Les points K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [SD], [SC] et [SB].

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Les droites suivantes ne sont pas coplanaires:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} (DK) et (SD) &\textbf{b.~} (AS) et (IC) &\fbox{\textbf{c.~} (AC) et (SB)} &\textbf{d.~} (LM) et (AD)
\end{tabularx}
\end{center}

On procède par élimination.
\begin{enumerate}[$\bullet$]

\item Les droites (DK) et (SD) sont sécantes en D donc  coplanaires; on élimine \textbf{a.}
\item Les droites (AS) et (IC) sont sécantes en A donc coplanaires; on élimine \textbf{b.}
\item Les droites (LM) et (AD) sont toutes deux parallèles à (BC) donc parallèles entre elles; elles sont donc coplanaires; on élimine \textbf{d.}
\end{enumerate}

\smallskip

\textcolor{blue}{\textbf{Réponse c.}}



Pour les questions suivantes, on se place dans le repère orthonormé de l'espace $\left(\text{ I}~;~ \boxed{\textcolor{red}{\text{IC}}},~ \equiv ,~\overrightarrow{\text{IS}}\right)$.

Dans ce repère, on donne les coordonnées des points suivants:

\[\text{I}(0~;~0~;~0) \:;\: \text{A}(-1~;~0~;~0) \:;\: \text{B}(0~;~1~;~0) \:;\: \text{C}(1~;~0~;~0); \text{D}(0~;~-1~;~0) \:;\: \text{S}(0~;~0~;~1).\]


\item  Les coordonnées du milieu N de [KL] sont:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\left(\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}\right)$&
\fbox{\textbf{b.~}$\left(\dfrac{1}{4}~;~- \dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$}&
\textbf{c.~}$\left(-\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{4}~;~\dfrac{1}{2}\right)$&
\textbf{d.~}$\left(-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right)$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  Le milieu K de [SD] a pour coordonnées $\left ( 0~;~-\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}\right )$.
\item Le milieu L de [SC] a pour coordonnées $\left ( \frac{1}{2}~;~0~;~\frac{1}{2}\right )$.
\item Le milieu N de [KL] a donc pour coordonnées $\left ( \frac{1}{4}~;~-\frac{1}{4}~;~\frac{1}{2}\right )$.
\end{enumerate}
%
\smallskip

\textcolor{blue}{\textbf{Réponse b.}}


\medskip

\item  Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\text{AS}}$ sont:
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\begin{pmatrix}1\\1\\0 \end{pmatrix}$&
\fbox{\textbf{b.~}  $\begin{pmatrix}1\\0\\1 \end{pmatrix}$}&
\textbf{c.~} $\begin{pmatrix}2\\1\\-1 \end{pmatrix}$ &
\textbf{d.~} $\begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}$
\end{tabularx}
\end{center}


\textcolor{blue}{\textbf{Réponse b.}}

\medskip

\item Une représentation paramétrique de la droite (AS) est:

{\footnotesize \begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~} $\left\{\begin{array}{l c r}x&=&-1-t\\y&=&t\\z&=&-t
\end{array}\right.$

$(t \in \mathbb{R})$&\textbf{b.~} $\left\{\begin{array}{l c r}x&=&-1+2t\\y&=&0\\z&=&1 + 2t
\end{array}\right.$

$(t \in \mathbb{R})$&
\fbox{\parbox{2.6cm}{\textbf{c.~} $\left\{\begin{array}{l c r}x&=&t\\y&=&0\\z&=&1+t
\end{array}\right.$\\
$(t \in \mathbb{R})$}}
&\textbf{d.~} $\left\{\begin{array}{l c r}x&=&-1-t\\y&=&1+t\\z&=&1-t
\end{array}\right.$

$(t \in \mathbb{R})$
\end{tabularx}
\end{center}}


La droite (AS) a pour vecteur directeur $\overrightarrow{\text{AS}}\begin{pmatrix}1\\à\\1\end{pmatrix}$; la seule représentation qui convienne est la c.

\smallskip

\textcolor{blue}{\textbf{Réponse c.}}


 \medskip
 
\item Soit $\Delta$ la droite dont une représentation paramétrique est : $\begin{cases}x=1+2t\\y=-2+t\\z=4-t\end{cases}~t\in\mathbb{R}$.\\
Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\Delta$ ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\textbf{a.~}P(2~;~1~;~-1)$&\textbf{b.~}$Q(-3~;~-4~;~6)$&\textbf{c.~}$R(-3~;~-4~;~-2)$&$\textbf{d.~} T(-5~;~-5~;~1)$
\end{tabularx}

\fbox{\textcolor{blue}{\textbf{Réponse b)}}} , en prenant $t=-2$
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :
$f(x) = \dfrac{\mathrm{e}^x}{x}$.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé. 

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item D'après le cours, la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$ est $\boxed{\textcolor{red}{+\infty}}$. (\textbf{\textcolor{blue}{croissances comparées}})
		
		\item On cherche la limite de $f$ en 0:
		
$\left.
\begin{array}{@{} r}
\lim_{x\to 0} \mathrm{e}^{x} = 1\\[7pt]
\lim_{x\to 0\atop x>0} \dfrac{1}{x}= +\infty
\end{array}
\right \rbrace
\implies
\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\to 0 \atop x>0} \dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}  = +\infty}}$		
		
Donc l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_f$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, on a :
$f'(x)=\dfrac{\mathrm{e}^{x}\times x - \mathrm{e}^{x}\times 1}{x^2} =\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{\mathrm{e}^{x} (x-1)}{x^2}}}$.

\item Pour déterminer les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$, on cherche le signe de $f'(x)$.
$x^2>0$ et $\mathrm{e}^{x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x-1$.

\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&1&&\pI\\
\hline
x-1&&\bb&-&\z&+&\\
\hline
f'(x)&&\bb&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
%\begin{center}
%{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
%\def\esp{\hspace*{2cm}}
%$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
%\hline
%x  & 0 & \esp & 1 & \esp  & +\infty \\
%\hline
%x-1 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
%\hline
%\mathrm{e}^{x} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
%\hline
%x^2 & 0 \hfill{} & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
%\hline
%f'(x) &  \vline\;\vline\hfill{} & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &   \\
%\hline
%\end{array}$
%}
%\end{center}

$f(1)=\dfrac{\mathrm{e}^{1}}{1}=\mathrm{e}$

\newpage


On établit le \textbf{\textcolor{red}{tableau de variations}} de la fonction $f$:

\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&	1&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&\h{\pI}&\d&\mathrm{e}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}		
 
\item Soit $m$ un nombre réel. On cherche, en fonction des valeurs du nombre réel $m$, le nombre de solutions de l'équation $f(x) = m$.

Cela revient à chercher le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de la droite horizontale d'équation $y=m$.

\begin{list}{\textbullet}{D'après le tableau de variations:}
\item si $m<\mathrm{e}$, l'équation $f(x)=m$ n'admet pas de solution;
\item si $m=\mathrm{e}$, l'équation $f(x)=m$ admet une solution unique $x=1$;
\item si $m>\mathrm{e}$, l'équation $f(x)=m$ admet deux solutions.
\end{list}

\item  On note $\Delta$ la droite d'équation $y = -x$.

On note A un éventuel point de $\mathcal{C}_f$ d'abscisse $a$ en lequel la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $a$ est solution de l'équation $\text{e}^x(x - 1) + x^2  = 0$.
La tangente en $a$ est parallèle à la droite $\Delta$ si et seulement si le coefficient directeur de la tangente est égal à $-1$, autrement dit quand $f'(a)=-1$.

$f'(a)=-1 \iff \dfrac{\mathrm{e}^{a} (a-1)}{a^2}=-1 \iff \mathrm{e}^{a} (x-1) = -a^2 \iff \boxed{\textcolor{red}{\mathrm{e}^{a}(x-1)+a^2=0}}$

ce qui veut dire que le nombre $a$ est solution de l'équation $\mathrm{e}^x(x - 1) + x^2  = 0$.
%			\end{enumerate}
		
On note $g$ la fonction définie sur $]0~;~ +\infty[$ par $g(x) = \mathrm{e}^x(x - 1) + x^2 $.

On admet que la fonction $g$ est dérivable et on note $g'$ sa fonction dérivée.
%\begin{enumerate}
		\item %Calculer $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, puis dresser le tableau de variations de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
$g'(x)= \mathrm{e}^{x}\times (x-1) + \mathrm{e}^{x}\times 1 + 2x = \boxed{\textcolor{red}{x\mathrm{e}^{x}+2x}}$

Sur $\mathbb{R}$, $\mathrm{e}^{x}>0$ donc sur $[0~;~+\infty[$, $x\mathrm{e}^{x}+2x \geqslant 0$ donc $g'(x)\geqslant 0$.

$\left.
\begin{array}{@{} r}
\lim_{x\to +\infty} \mathrm{e}^{x} = +\infty\\
\lim_{x\to +\infty} x-1= +\infty\\
\lim_{x\to +\infty} x^2 = +\infty
\end{array}
\right \rbrace
\implies
\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\to +\infty} g(x) = +\infty}}$

$g(0)=\mathrm{e}^{0}(0-1)+0=-1$

On dresse le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$:


\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&\pI\\
\hline
g'(x)&0&+&\\
\hline
\m{g(x)}&-1&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

		\item% Montrer qu'il existe un unique point $A$ en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$.




On complète le tableau de variations de $g$:\\
D'après ce tableau, l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $a$ sur $[0~;~+\infty[$, donc il existe un unique point A en lequel la tangente à $\mathcal{C}_f$ est parallèle à la droite $\Delta$. 


\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&a&&\pI\\
\hline
\m{g(x)}&-1&\cb&\m{0}&\ch&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


	\end{enumerate}
%	\end{multicols}
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{}
%Un biologiste s'intéresse à l'évolution de la population d'une espèce animale sur une île du Pacifique.
%
%Au début de l'année 2020, cette population comptait $600$ individus. On considère que l'espèce sera menacée d'extinction sur cette île si sa population devient inférieure ou égale à 20 individus.

%\smallskip

%Le biologiste modélise le nombre d'individus par la suite $\left(u_n\right)$ définie par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0		&=	&0,6\\
u_{n+1}	&=	&0,75 u_n\left(1 - 0,15 u_n\right)
\end{array}\right.\]

où pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre d'individus, en milliers, au début de l'année $2020 + n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~
$\bullet~~$2021 correspond à $n = 1$, donc $u_1 = 0,75u_0 \times \left(1 - 0,15u_0\right) = 0,75 \times 0,6\times (1 - 0,15 \times 0,6) \\
= 0,45 \times (1 - 0,09) = 0,45 \times0,91 = \numprint{0,4095}$ soit environ $\boxed{\textcolor{red}{410}}$ individus.

$\bullet~~$2022 correspond à $n = 2$, donc $u_2 = 0,75u_1 \times \left(1 - 0,15u_1\right) = 0,75 \times \numprint{0,4095}\times (1 - 0,15 \times \numprint{0,4095}) \\
= \numprint{0,307125} \times (1 - \numprint{0,061425}) = \numprint{0,307125} \times \numprint{0,938575}) \approx \numprint{0,2883}$ soit environ \fbox{\textcolor{red}{288}}~individus.
%Estimer, selon ce modèle, le nombre d'individus présents sur l'île au début de l'année 2021 puis au début de l'année 2022.
\end{enumerate}

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~1] par 

\[f(x) = 0,75x (1 - 0,15x).\]

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle [0~;~1] et dresser son tableau de variations.
$f$ est une fonction polynôme dérivable sur $\mathbb{R}$.\\
$f(x)=0,75-0,1125x^2$ donc $f'(x)=0,75-0,1125\times 2x=\boxed{\textcolor{red}{0,75-0,225x}}$

%$f'(x)  = 0,75(1 - 0,15x) - 0,75x \times 0,15 = 0,75 - \numprint{0,1125}x - \numprint{0,1125}x = \boxed{\textcolor{red}{0,75 - 0,225x}}$.

Or %$0 \leqslant x \leqslant 1 \Rightarrow 0 \leqslant 0,225x \leqslant 0,225 \Rightarrow - 0,225 \leqslant -0,225x \leqslant 0 \Rightarrow $$0,75 - 0,225 \leqslant 0,75 - 0,225x \leqslant 0,75$ ou enfin $0,525 \leqslant f'(x) \leqslant 0,75$.
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{0,75}{0,225}=\dfrac{750}{225}=\dfrac{10}{3}>1$.\\
$f'$ est affine, de coefficient directeur négatif, donc $f'(x)>0$ pour $x<\dfrac{10}{3}$, donc en particulier sur $[0~;~1]$.

Sur [0~;~1], $f'(x) > 0$, donc $f$est strictement croissante de $f(0) = 0$ à $f(1) = 0,75 \times 0,85 = \numprint{0,6375}$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&1\\
\hline
f'(x)&&+&\\
\hline
\m{f(x)}&0&\c&\h{0,6375}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\item %Résoudre dans l'intervalle [0~;~1] l'équation $f(x) = x$.

Sur [0~;~1], \, $f(x) = x \iff 0,75x (1 - 0,15x) = x \iff 0,75x(1 - 0,15x) - x = 0 \iff x[0,75(1 - 0,15x) - 1] = 0\\
 \iff x(0,75 - \numprint{0,1125}x - 1) = 0 \iff x(- 0,25 - \numprint{0,1125}x) = 0 \iff x=0\text{ ou }-0,25-\text{0,1125}\\
\iff x=0\text{ ou }x=-\dfrac{0,25}{\numprint{0,1125}}<0$.

Donc, dans [0~;~1], \, $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S} = \{0\}}}$.
%\end{enumerate}

On remarquera pour la suite de l'exercice que, pour tout entier naturel $n$,\, $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.

%\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item ~%Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$,\, $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant  u_n \leqslant 1$.
		Démontrons par récurrence que : $0 \leqslant u_{n+1} \leqslant  u_n \leqslant 1$ pour tout $n$.\\`
		
\emph{\textcolor{blue}{Initialisation}} : on a vu que $0 \leqslant \numprint{0,4095} \leqslant 0,6 \leqslant 1$, soit $0 \leqslant u_1 \leqslant u_0\leqslant 1$ : la relation est vraie au rang $0$ ;

\emph{\textcolor{blue}{Hérédité}} : Supposons que pour $n \in \mathbb{N}$, on ait :

$0 \leqslant u_{n+1} \leqslant  u_n \leqslant 1$ ; la fonction $f$ étant strictement croissante sur [0~;~1], on a donc :\\
$f(0) \leqslant f\left(u_{n+1}\right) \leqslant f\left(u_n\right) \leqslant f(1)$, 

soit puisque $f(0) = 0$ et $f(1) = 0,75 \times (1 - 0,15) = \numprint{0,6375} \leqslant 1$ :

$0 \leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1} \leqslant  1$ : la relation est donc vraie au rang $n + 1$.

\textbf{\textcolor{red}{Conclusion} :} la relation est vraie au rang 0 et si elle est vraie au rang $n$ naturel quelconque, elle est vraie au rang $n+1$ : d'après le principe de récurrence :

Pour tout entier naturel $n$,\, $\boxed{\textcolor{red}{0 \leqslant u_{n+1} \leqslant  u_n \leqslant 1}}$.	
		
		\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
La suite $\left(u_n\right)$ est d'après la question précédente décroissante et minorée par $0$ ; elle est donc est \textbf{\textcolor{red}{convergente}}.
		\item %Déterminer la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
Le résultat précédent montre que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers un nombre $\ell \geqslant 0$ et comme $f$ est continue, ce nombre $\ell$ vérifie l'équation $f(x) = x$, dont on a vu à la question \textbf{3.} qu'elle n'avait que $0$ comme solution.
		
\textbf{\textcolor{red}{Conclusion}} : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n \to + \infty} u_n = \ell = 0}}$.

	\end{enumerate}
	
\item %Le biologiste a l'intuition que l'espèce sera tôt ou tard menacée d'extinction.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que, selon ce modèle, le biologiste a raison.
L'étude précédente a montré que le nombre d'individus décroît, donc le biologiste a raison puisque la limite de la suite du nombre d'individus est égale à zéro.
		\item %Le biologiste a programmé en langage Python la fonction \textbf{menace()} ci-dessous:

%\begin{center}
%\fbox{
%\begin{tabular}{l}%\hline
%def menace()\\
%\quad u = 0,6\\
%\quad n = 0\\
%\quad while u > 0,02\\
%\hspace{1cm} u = 0,75*u*(1-0,15*u)\\
%\hspace{1cm} n = n+1\\
%\quad return n\\ %\hline
%\end{tabular}
%}
%\end{center}
%
%Donner la valeur numérique renvoyée lorsqu'on appelle la fonction menace(). 
L'algorithme calcule les termes de la suite tant que ceux-ci sont supérieurs à 0,02

Il s'arrête à $n = 11$ car $u_{10} \approx 0,019$

L'espèce sera donc menacée d'extinction en 2031.
%Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}




\subsection{}
%Dans une entreprise, on s'intéresse à la probabilité qu'un salarié
%soit absent durant une période d'épidémie de grippe.
%
%\medskip
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Un salarié malade est absent
%\item[$\bullet~~$] La première semaine de travail, le salarié n'est pas
%malade.
%\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié n'est pas malade, il
%tombe malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,04$.
%\item[$\bullet~~$] Si la semaine $n$ le salarié est malade, il reste
%malade la semaine $n + 1$ avec une probabilité égale à $0,24$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

%On désigne, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, par
%$E_{n}$ l'évènement \og le salarié est absent pour cause de maladie la
%$n$-ième semaine \fg. On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement
%$E_{n}$.
%
%On a ainsi : $p_{1} = 0$ et, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou
%égal à 1 : $0 \leqslant  p_{n} < 1$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur de $p_{3}$ à l'aide d'un arbre de
probabilité.

\begin{center}
%\begin{pdfdisplay}

\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{ \TR{$E_1$}\taput{0}
\pstree{\TR{$\overline E_1$}\tbput{1}}
{
		\pstree{\TR{$E_{2}$}\taput{$0,04$}}
		  {
			  \TR{$E_{3}$}\taput{0,24}
			  \TR{$\overline{E_{3}}$}\tbput{0,76}	
		  }
		\pstree{\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{0,96}}
		  {
			  \TR{$E_{3}$}\taput{0,04}
			  \TR{$\overline{E_{3}}$}\tbput{0,96}		
		  }
}
}
%\end{pdfdisplay}
\end{center}
Théorème des probabilités totales : $E_3 = E_2\cap E_3 \;  \cup \;
\overline{E_2}\cap E_3 $ (union d'événements disjoints) \\
 $p_3=P(E_3)=0,04\times 0,24+0,96\times 0,04=\boxed{\textcolor{red}{0,048}}$.
		
		\item Sachant que le salarié a été absent pour cause de maladie la
troisième semaine, déterminer la probabilité qu'il ait été aussi
absent pour cause de maladie la deuxième semaine.
\[\text{P}_{E_3}(E_2)=\dfrac{\text{P}(E_2\cap E_3)}{\text{P}(E_3)}=\dfrac{0,04\times 0,24}{0,048}=\boxed{\textcolor{red}{0,2}}\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Complétons l'arbre\\
		
\begin{center}
%\begin{pdfdisplay}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$E_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{0,24}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{0,76}	
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{E_{n}}$}\tbput{($1-p_n$)}}
	  {
		  \TR{$E_{n+1}$}\taput{0,04}
		  \TR{$\overline{E_{n+1}}$}\tbput{0,96}		
	  }
}
%\end{pdfdisplay}
\end{center}

		\item En appliquant le théorème des probabilités totales :
         \[ \begin{aligned}&E_{n+1} = E_n\cap E_{n+1} \;  \cup \;
\overline{E_n}\cap E_{n+1} \text{(union d'événements disjoints)} \\
		     & p_{n+ 1} = 0,24p_{n} +
0,04(1-p_n)=(0,24-0,04)p_n+0,04=\boxed{\textcolor{red}{0,2p_n+0,04}} \end{aligned}\]
		\item Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$,		
\[u_{n+1} = p_{n+1} -
0,05=0,2p_n+0,04-0,05=0,2p_n-0,01=0,2(p_n-0,05)=\boxed{\textcolor{red}{0,2u_n}}\]
		donc $(u_n)$ est la suite géométrique de premier terme $u_1=-0,05$ et
la raison $q=0,2$.\\
		
Par propriété, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :  \; $u_{n}=u_1\times q^{n - 1}=-
0,05\times 0,2^{n-1}$  \\
et donc :  $ p_{n}=u_n+0,05=\boxed{\textcolor{red}{0,05(1-0,2^{n-1})}}$ .

		\item Limite de la suite $\left(p_{n}\right)$. \\
		Comme $|0,2|<1$ alors par théorème : $\lim \; (0,2)^{n-1}=0$ et donc
$\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty} p_n=0,05}}$.\\
		
%		\item Le nombre $J$ qui est affiché en sortie d'algorithme est le rang
%du premier terme de la suite $(p_n)$ qui s'approche de la limite 0,05 à
%$10^{-K}$ près, où $K$ est un entier fixé au départ.\\
%		
%La convergence de l'algorithme est assurée par l'existence de la limite
%vue en (d) ou bien par le théorème de convergence monotone, puisque la
%suite $(p_n)$ est croissante par hypothèse et majorée par 1 (car pour
%tout $n\in \mathbb{N}^* , p_n\leqslant 1$).
\end{enumerate}
	\medskip	
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  