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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Fonction logarithme népérien ($\ln$)}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Lien avec la fonction exponentielle}}

\parbox{10cm}{\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $\left] 0; +\infty\right[$, qui à tout nombre réel $x >0$ associe l'unique solution de l'équation $e^{y}=x$, d'inconnue $y$.\\
On note cette solution $y=\ln{x}$.
\end{bclogo}}\hfill
\parbox{8cm}{\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=2pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-4,-1)(	2,7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-4,-1)(	2,7)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=200]{-4}{2}{EXP(x)}
\psline(-2,3.7)(2,3.7)
\psline[linestyle=dashed](1.31,3.7)(1.31,0)
\uput[d](1.31,-0.3){$b=\ln(a)$}
\rput[tl](-1.36,4.34){y=a}
\uput[u](-2.3,0.24){$\mathscr{C}_f~y=\mathrm{e}^x$}
\end{pspicture*}
\end{center}}

\newpage


\textbf{\textcolor{blue}{Conséquences}} :

\noindent \begin{minipage}{11cm}
\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x>0$ et pour tout réel $y$, $$e^{y}=x \Longleftrightarrow y=\ln{x}$$
\item Pour tout réel $x>0$, $$e^{\ln{x}}=x$$
\item Pour tout réel $x$, $\ln{\left(e^{x}\right)}=x$
\item $\ln{1}=0$ (car $1=e^{0} $) 

\item $\ln{e}=1$  ( car $e=e^{1}$ ) 

\item $\ln\left(\dfrac{1}{e}\right)=-1$  ( car $\dfrac{1}{e}=e^{-1}$ )
\end{enumerate}
\end{minipage}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : par croissance de la fonction exponentielle, on obtient que la fonction $\ln$ est croissante :\\
 ($a>b\Rightarrow \ln(a)>\ln(b)$).

\bigskip
Notation : on écrit $\boxed{\textcolor{red}{\ln(x)=\ln x}}$ 
\bigskip

\noindent \begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Conséquences}}
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positif:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\ln{a}=\ln{b}$ si et seulement si $a=b$
\item  $\ln{a} > \ln{b}$ si et seulement si $a > b$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}



\textbf{\textcolor{red}{Applications}} :


\subsubsection{\textcolor{blue}{Résoudre une équation avec $\ln$}}
Pour résoudre une équation du type $\ln (u(x))=\ln(v(x))$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Rechercher l'ensemble de définition $\mathscr{D}$ des réels tels que $u(x)>0$ et $v(x)>0$ ;  

\item Résoudre dans $\mathscr{D}$, l'équation $u(x)=v(x)$ .
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple}}: On va résoudre l'équation  $\ln (x+2)= \ln (3-x)$.

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Conditions d'existence}} : $x+2>0$ et $3-x>0$.

\noindent C'est-à-dire : $x>-2$ et $3>x$. D'où $\mathscr{D}= \left]  -2 \, ; 3\right[ $.

\noindent Pour tout $x \in \mathscr{D}$ , $\ln (x+2)= \ln (3-x)$ équivaut à $x+2=3-x$ c'est-à-dire $2x=1$ ou encore $x=\dfrac{1}{2}$. 

\noindent Ce nombre appartient bien à $\mathscr{D}$. \\`
Donc l'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\lbrace\dfrac{1}{2}\right\rbrace}}$.



\newpage


\subsubsection{\textcolor{blue}{Résoudre une inéquation avec $\mathbf{\ln}$}}
Pour résoudre une inéquation du type $\ln (u(x))< \ln(v(x))$:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Rechercher l'ensemble $\mathscr{D}$ des réels tels que $u(x)>0$ et $v(x)>0$ ; 
\item Résoudre dans $\mathscr{D}$, l'inéquation $u(x)<v(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple}}: on va résoudre l'inéquation $\ln (x^2+3x)<\ln18$.

\noindent \textbf{C\textcolor{red}{ondition d'existence}} : $x^2+3x>0$ soit $x(x+3)>0$.
D'où $\mathscr{D}= \left] -\infty \, ; -3 \right[ \cup \left] 0 \, ; +\infty\right[ $.

\noindent Pour tout $x \in \mathscr{D}$,  $\ln (x^2+3x)<\ln18$ équivaut à $x^2+3x<18$ ou encore  $x^2+3x-18<0$.

\noindent Le trinôme $x^2+3x-18$ a pour discriminant $\Delta=81$ et pour racines $-6$ et 3. 

\noindent Donc  $x^2+3x-18<0 \, \iff \, x \in \left] -6 \, ; 3 \right[ $. 

\noindent En tenant compte du fait que $x$ appartient à $\mathscr{D}$, on a finalement, $S= \left] -6 \, ; -3 \right[ \cup \left] 0 \, ; 3 \right[$. 



\subsection{\textcolor{red}{Relations fonctionnelles}}


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème (relation fonctionnelle)}}
Pour tous réels strictement positifs $a$ et $b$ on a:
$\ln{(ab)}=\ln{a}+\ln{b}$
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration }}:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\mathrm{e}^{\ln(ab)}=ab$ (par définition de la fonction $\ln$)

\item $\mathrm{e}^{\ln{a}+\ln{b}}=\mathrm{e}^{\ln (a)}\times \mathrm{e}^{\ln (b)}=ab$ (propriété de la fonction exponentielle)

\item On en déduit que : $\mathrm{e}^{\ln(ab)}=\mathrm{e}^{\ln{a}+\ln{b}}$ d'où $\ln{(ab)}=\ln{a}+\ln{b}$
\end{enumerate}


\noindent \textbf{\textcolor{red}{Conséquences} :}

Pour tous réels strictement positifs $a$, $b$ et tout entier naturel $p$, on a:


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}
\item $\ln{\dfrac{a}{b}}=\ln{a}-\ln{b}$\\
\item $\ln{\dfrac{1}{a}}=-\ln{a}$
\item $\ln{\left(a^p\right)}=p \ln{a}$\\
\item $\ln{\sqrt{a}}=\dfrac{1}{2} \ln{a}$
\end{enumerate}


\end{multicols}
\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a\times \dfrac{1}{a}=1$ donc $\ln a\times \dfrac{1}{a}=\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)$ ; or $\ln(1)=0$ d'où $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)=-\ln(a)$.

\item $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=\ln\left(a\times \dfrac{1}{b}\right)=\ln(a)+\ln\left(\dfrac{1}{b}\right)$ (relation fonctionnelle)\\
$=\ln a+\left(-\ln(b)\right)=\ln(a)-\ln(b)=\ln a-\ln b$.

\item $\ln\left(a^p\right)=p\ln(a)$ (se démontre par récurrence)\\
\begin{itemize}
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : \og{}évidente\fg{}

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose que $\ln\left(a^p\right)=p\ln(a)$ pour un entier $p$.\\
Alors : $\ln\left(a^{p+1}\right)=\ln\left(a^p\times a\right)=\ln\left(a^p\right)+\ln(a)=p\ln(a)+\ln(a)=(p+1)\ln(a)$.\\
La propriété est donc héréditaire.\\
Elle donc vraie pour tout $p$ entier.
\end{itemize}

\item $\ln a=\ln\left(\sqrt{a}^2\right)=2\ln\left(\sqrt{a}\right)$ donc $\ln\left(\sqrt{a}\right)=\dfrac{1}{2}\ln a$
\end{enumerate}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemples}}:\\
Simplifions $A = \ln{\dfrac{(x+2)^2}{\sqrt{x+2}}}$

$A = \ln{\frac{(x+2)^2}{\sqrt{x+2}}} \quad = \quad \ln{(x+2)^2} - \ln{\sqrt{x+2}} \quad = \quad 2\times \ln{(x+2)} - \frac{1}{2} \times \ln{(x+2)} \quad = \quad \frac{3}{2} \times \ln{(x+2)}$

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exemple : résoudre une inéquation avec une inconnue à l'exposant}}:\\


On cherche à résoudre l'inéquation $\left( \dfrac{1}{3}\right)^n \leqslant 0,01$ avec $n \in \mathbb{N}$.

\noindent La fonction $\ln$ est croissante sur $\left] 0 \, ; +\infty \right[$ donc  l'inéquation $\left( \dfrac{1}{3}\right) ^n \leqslant 0,01$ est équivalente  à $\ln \left[ \left( \dfrac{1}{3} \right)^n \right] \leqslant \ln 0,01$. 

\noindent Pour tout $a>0$, $\ln(a^n)=n\ln a$, donc l'inéquation s'écrit : $ n\ln \left( \dfrac{1}{3}\right) \leqslant \ln 0,01$. 

\noindent En divisant chaque membre par  $ \ln \left( \dfrac{1}{3}\right)$ qui est strictement négatif, le sens de l'inégalité change.

\begin{center}
$ n  \geqslant \dfrac{\ln 0,01}{\ln \left( \dfrac{1}{3}\right)}$,\quad or \quad $\dfrac{\ln 0,01}{\ln \left( \dfrac{1}{3}\right)} \approx 4,19$
\end{center} 

\noindent L'ensemble solution est constitué de tous les entiers $n \geqslant 5$.


\newpage



\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : le taux annuel d'intérêts composés du livret A de caisse d'épargne est $1,5\:\%$.\\
On place un capital. Au bout de combien d'années le capital double-t-il.

\bigskip

Notons $C_0$ le capital initial et $C_n$ le capital acquis au bout de $n$ années.\\
On a $C_{n+1}=C_n+\dfrac{1,5}{100}C_n=1,015C_n$ (1,015 est le coefficient multiplicateur).\\
$\left(C_n\right)$ est une suite géiométrique.\\
Pour tout $n$, on a $C_n=C_0\times 1,015^n$.\\
On cherche donc les valeurs de $n$ telles que $C_n\geqslant C_0\Leftrightarrow 1,015^n\geqslant 2$.\\
En appliquant la fonction $\ln$, qui est croissante, on obtient : $\ln\left(1,015^n\right)\geqslant \ln 2\Leftrightarrow n\ln 1,015\geqslant \ln 2$.\\
En divisant par $\ln 1,015$ qui est positif, on obtient : $n\geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1,015}\boxed{\textcolor{red}{\approx 46,56}}$.\\
Avec un taux d'intérêt de 1,5\:\%, il faut attendre 47 ans pour doubler son capital (hors inflation).

\subsection{\textcolor{red}{Étude de la fonction $\ln{x}$}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Continuité}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété (admise)}}
La fonction logarithme népérien est définie et continue sur $\left] 0;+\infty \right[$ 
\end{bclogo}


\subsection{\textcolor{red}{Dérivée de la fonction $\mathbf{\boldmath{\ln}}$}}


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
La fonction logarithme népérien est dérivable sur $\left] 0;+\infty \right[$ et $\left(\ln{x}\right)'=\dfrac{1}{x}$
\end{bclogo}


\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}} :
Propriété à démontrer : \og $\left(\ln{x}\right)'=\dfrac{1}{x}$ \fg{} 

\medskip
\noindent On admet que la fonction $\ln$ est dérivable sur $ \left]  0 \, ; +\infty \right[ $. 

\noindent Pour tout réel $ x>0 $, on pose $ f(x)= \text{e}^{ \ln x}$. La fonction $\ln$ étant dérivable sur  $ \left]  0 \, ; +\infty \right[ $, $f$  est aussi dérivable sur $ \left]  0 \, ; +\infty \right[ $. 

\medskip
\noindent Pour tout réel $x>0$, calculons $f^{\prime}(x)$ de deux manières:

\begin{enumerate}
\item[•]$f^{\prime}(x)=\ln ^{\prime} (x) \times  \text{e}^{\ln(x)}=x \ln^{\prime} (x) $ 
\item[•]$f(x)=x$ donc $f^{\prime}(x)=1$. 
\end{enumerate}
\noindent On en déduit que pour tout réel $x>0$, $x \ln^{\prime}(x)=1$ , par suite $\ln^{\prime} (x) = \dfrac{1}{x}$


\newpage




\subsection{\textcolor{red}{Limites de la fonction $\ln{x}$}}


\begin{minipage}{8cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
$\lim_{x\rightarrow  +\infty}\ln x=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow 0}\ln x=-\infty$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
\begin{enumerate}
\item[•] Propriété à démontrer : \og $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln(x)=+\infty$ \fg{} 

\medskip
\noindent Pour tout réel $A>0$,\\
$\ln x >A \, \iff  \,x > \text{e}^A$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln(x)=+\infty$.
\item[•] Propriété à démontrer : \og $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \ln(x)=-\infty$ \fg{} 

\medskip
\noindent Pour tout réel $x>0$, on pose $X=\dfrac{1}{x}$. On a $x=\dfrac{1}{X}$ donc $\ln x=\ln \dfrac{1}{X}=-\ln X$

\noindent $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} X=+\infty$ et $\lim\limits_{X \rightarrow +\infty}( -\ln X)=-\infty$ donc par limite d'une composée $\lim\limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ x>0}} \ln(x)=-\infty$.
\end{enumerate}

\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété : Croissances comparées}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$

\item $\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \ln x=0$

\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}}
\begin{enumerate}
\item[•] Propriété à démontrer : \og $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ \fg{} 

\medskip
\noindent Pour tout réel  $x>0$, on effectue le changement de variable : $X=\ln x$, on a alors $x=\text{e}^X$. 

\noindent Ainsi $\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{X}{\text{e}^X}=\dfrac{1}{\dfrac{\text{e}^X}{X}}$. 

\noindent Or $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} X=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \ln x=+\infty$ et $\lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \dfrac{\text{e}^X}{X}=+\infty$ donc par limite d'un quotient  $\lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \frac{1}{\frac{\text{e}^X}{X}}=0$. 

\noindent Enfin, par limite d'une composée, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$.

\item[•] Propriété à démontrer : \og $\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \ln x=0$ \fg{} 

\medskip
\noindent Pour tout réel $x>0$, on pose $X=\ln x$, on a alors $x\ln x=\text{e}^{X} \times X$.

On a  $\lim\limits_{x \rightarrow 0} X=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \ln x=-\infty$ et  par propriété,  $\lim\limits_{X \rightarrow -\infty} X \text{e}^{X} =0$, donc par limite d'une composée, $\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \ln x=0$.
\end{enumerate}


\textbf{\textcolor{red}{Remarque}}
La propriété précédente est vraie pour n'importe quel polynôme de degré $n$ : 

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x^n}=0$

\item $ \lim\limits_{x \rightarrow 0} x^n \ln x=0$

\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété : Limite et taux d'accroissement}}
$\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\ln(1+h)}{h}=1$
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Demonstration}}
Propriété à démontrer : \og $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\ln(1+h)}{h}=1$ \fg{} 

\medskip
\noindent La fonction $\ln$ est dérivable en 1 donc, par définition, $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\ln(1+h)-\ln 1}{h}=\ln^{\prime}(1)$. 

\noindent Or  $\ln 1=0$ et $\ln^{\prime}(1)=\dfrac{1}{1}=1$, on obtient donc $\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{\ln(1+h)}{h}=1$.
\medskip

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Levées d'indétermination pour étudier une limite}}

On cherche à déterminer les limites suivantes:
\begin{enumerate}
\item $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left( \ln x -2x\right) $ 
\item $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x \ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)  $
\end{enumerate}

\medskip
Dans le cas d'une forme indéterminée qui fait intervenir la fonction $\ln$, on peut:
\begin{enumerate}
\item Factoriser et faire apparaître des limites déjà connues : 

\noindent Pour tout réel $x>0$,
$\ln x -2x=x\left( \dfrac{\ln x}{x}-2\right) $. Par propriété, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{\ln x}{x}=0$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left( \dfrac{\ln x}{x}-2\right)=-2$.
    
Donc par limite d'un produit, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x\left( \dfrac{\ln x}{x}-2\right)=-\infty$.
    
Ainsi, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \left( \ln x -2x\right) =-\infty$.
\item Effectuer un changement de variable : 

\noindent Pour tout réel $x>0$, on pose $X=\dfrac{1}{x}$, on a alors $x \ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\ln(1+X)}{X}$.
  
  On a $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} X=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et par propriété, $\lim\limits_{X \rightarrow 0} \dfrac{\ln (1+X)}{X}=1$ 
  
  Donc par limite d'une composée, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x \ln \left(1+\dfrac{1}{x}\right) =1$.
\end{enumerate}
 

\subsection{\textcolor{red}{Variations de la fonction $\ln{x}$}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
La fonction logarithme népérien est \textbf{strictement croissante}  sur $\left] 0;+\infty \right[$ 
\end{bclogo}
\begin{center}
\begin{variations}
x&\bb&0&&1&&\pI\\
\hline
\ln'(x)&\bb&&+&&+&\\
\hline
\m{\ln(x)}&\bb&\mI&\cb&\m{0}&\ch&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}

\end{center}

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}} :

\noindent La fonction logarithme népérien est dérivable sur $\mathbb{R}^{+*}$ et sa dérivée est la fonction inverse.

\noindent Or la fonction inverse est positive sur $\mathbb{R}^{+*}$, donc la fonction logarithme népérien est croissante sur $\mathbb{R}^{+*}$ 

\newpage


\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Courbe représentative}}

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : les courbes représentatives des fonctions $\ln$ et $\exp$ sont symétriques par rapport à la poremière bissectrice (droite d'équation. $y=x$)

\begin{center}
\psset{xunit=.7}\psset{yunit=.7}
\begin{pspicture}(-6,-10)(8,20)
\psline[linewidth=1pt](-6,0)(10,0)
\psline[linewidth=1pt](0,-10)(0,20)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(1,0)
\psline[linewidth=2pt]{->}(0,0)(0,1)
\uput[dr](0,0){O}
\uput[dr](1,0){1}
\uput[l](0,1){1}
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0,gridwidth=0.3pt](-6,-10)(10,20)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=100]{-6}{3}{2.71828 x exp}
\psplot[linewidth=2pt,linestyle=dashed,linecolor=red]{-1}{10}{ x }
\uput[u](10,10){$y=x$}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue,plotpoints=100]{0.01}{10}{ x ln}
\psline{<->}(-0.5,0.5)(0.5,1.5)
\pspolygon[fillcolor=red!40,fillstyle=solid,opacity=0.1](4.994528049465325,4.394528049465325)(5.294528049465326,4.694528049465325)(4.994528049465325,4.994528049465325)(4.694528049465325,4.694528049465325)
\psline[linewidth=3pt,linecolor=green](2,7.389)(7.389,2)
\uput[u](10,2.3){$y=\ln x$}
\uput[l](1,2.718){$y=\mathrm{e}^{x}$}
\end{pspicture}
\end{center}






\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Une équation de la tangente à la courbe de la fonction $\ln$ en 1 est $y=\ln^{\prime}(1)(x-1)+\ln1$ soit $y=x-1$.
\end{bclogo}

\noindent En effet, l'équation est $y=\ln'(1)(x-1)+\ln 1=1(x-1)+0$ donc $y=x-1$.


\subsection{\textcolor{red}{Étude de la fonction $\ln{u(x)}$}}

\subsection{\textcolor{blue}{Limites de la fonction $\ln{u(x)}$}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Méthode}}
Pour étudier les limites d'une fonction du type $\ln u$, on peut:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item utiliser le théorème sur la limite d'une composée ;

\item utiliser les théorèmes de comparaison.
\end{enumerate} 

\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}
$f$ est la fonction définie sur $\left] 0 \, ;+\infty \right[ $ par $f(x)=\ln \left( \dfrac{x+2}{x^2}\right)$. 
Étudier les limites de la fonction $f$ aux bornes de son ensemble de définition.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour tout $x>0$,
$\dfrac{x+2}{x^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}$. De plus, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{x}=0$ et $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{x^2}=0$ donc par limite d'une somme, \\
$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{x+2}{x^2}=0$.  

De plus, $\lim\limits_{X \rightarrow 0} \ln X=-\infty$ donc par limite d'une composée, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=-\infty$.
\item Pour tout $x>0$, $\dfrac{x+2}{x^2} > \dfrac{x}{x^2}$ donc $\dfrac{x+2}{x^2} > \dfrac{1}{x}$ or la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\left]0\ ;+\infty \right[ $ donc $f(x)>\ln \left( \dfrac{1}{x} \right) $ ou encore $f(x) > -\ln x $.

De plus, $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \ln x=-\infty$ donc $\lim\limits_{x \rightarrow 0} (-\ln x)=+\infty$ donc par comparaison, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Dérivée de la fonction $\ln{u(x)}$}}


\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit une fonction $u(x)$ définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$. Alors la fonction $f(x)=\ln{(u(x))}$ est définie et dérivable sur $I$ et \[f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\]
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}} :
Propriété à démontrer : \og Si $f(x)=\ln{(u(x))}$ alors $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$ \fg{} 

\medskip
\noindent On utilise la formule des fonctions composées : $$\left( \ln{(u(x))}\right)' = u'(x) \times \ln'(u(x)) = u'(x) \times \dfrac{1}{u(x)} = \dfrac{u'(x)}{u(x)}$$

\vspace{-8mm} 


\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Exemple :}}\\
Calculer la dérivée d'une fonction du type $\ln u$]

Pour dériver une fonction du type $\ln u$ sur un intervalle $I$, on s'assure que la fonction $u$ est dérivable et strictement positive sur l'intervalle $I$.

\noindent $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln (x^2+3)$. Calculons $f ^\prime (x)$.

\noindent Posons $u(x)=x^2+3$. $u$ est dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$ et $u ^ \prime (x)=2x$.\\
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^ \prime (x)=\dfrac{u^ \prime (x)}{u(x)}=\dfrac{2x}{x^2+3}$.

\subsection{\textcolor{red}{Fonction logarithme décimale (hors-programme)}}

Cette partie, bien que hors programme, peut avoir un intérêt en Physique-Chimie, ainsi qu'en Sciences de la Vie et de la Terre.


\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
La fonction logarithme décimal, notée $\log$, est la fonction définie sur $\left]  0 \,; +\infty \right[ $, par : \[\log x= \dfrac{\ln x}{\ln 10}.\] 
\end{bclogo}

\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier relatif $n$, $\log (10^n)=n$.
\item La fonction $\log$ est strictement croissante sur $\left]  0 \, ; +\infty \right[ $.
\item Pour tous les réels $a>0$ et $b>0$,
\[\log (ab)=\log a+\log b \text{ et }\log \left( \dfrac{a}{b}\right) =\log
a-\log b.\]
\end{enumerate}

\end{bclogo}

\end{minipage}

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}\\
On utilise les propriétés de $\ln$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}}
Les logarithmes décimaux trouvent toute leur utilité en chimie (calcul de pH), en acoustique (mesure du son), en sismologie (magnitude d'un séisme), en astronomie (magnitude apparente d'un astre)\dots\\
Il est bien adapté aux puissances de 10 puisque $\log\left(10^n\right)=n$ donc à la notation scientifique.

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple}} : le niveau d'intensité sonore, exprimée en décibel (dB) vaut : $L=10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)$ où $I$ est l'intensité en W.m$^{-2}$ et $I_0=10^{-12}$ W.m$^{-2}$ (intensité sonore minimum perceptible par l'homme).\\
Si on double l'intensité sonore, le niveau d'intensité sonore est \textbf{\textcolor{red}{augmenté de 3 dB}}\\
En effet : $L=10\log\left(\dfrac{2I}{I_0}\right)=10\log(2)+10\log\left(\dfrac{I}{I_0}\right)\approx 3+L$.\\
Un lave-vaisselle \og{}silencieux\fg{} a un niveau sonore d'environ 40 dB ; un lave vaisselle d'intensité sonore 43 dB a donc une intensité sonore double du premier.

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : le niveau sonore maximal d'une discothèque ne doit pas dépasser 102 dB.
\label{fin}
\end{document}  