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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité : devoir sur feuille \no 3}}\end{center}

\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Amérique du Nord juin 2021
On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].


\begin{center}
\psset{unit=0.85cm}
\begin{pspicture}(9,7)
\pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE
\uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E}
\psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF
\uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G} 
\psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE 
\uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K}
\psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH
\uput[ur](3.5,1.8){D}
%\psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 
Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse,


Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{\text{AB}},~  \overrightarrow{\text{AD}},~  \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.


\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des points I et J.
		\item Montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{\text{IJ}},~ \overrightarrow{\text{AE}}$ et $ \overrightarrow{\text{AC}}$ sont coplanaires.
	\end{enumerate}
	
On considère le plan $\mathcal P$ d'équation $x + 3y - 2z + 2 = 0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous:

\[d_1  : \left\{\begin{array}{l c l}
x	&=&3 + t\\
y 	&=& 8 - 2t\\
z	&=& - 2 + 3t\\
\end{array}\right. , t \in \mathbb{R}\]
\[\text{et }
d_2  : \left\{\begin{array}{l c l}
x	&=&4 + t\\
y 	&=&1 + t\\
z	&=&8 + 2t\\
\end{array}\right. , t \in \mathbb{R}.\]


\item Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
\item Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal P$.
\item Montrer que le point L(4~;~0~;~3) est le projeté orthogonal du point M(5~;~3~;~1) sur le plan $\mathcal P$.
\end{enumerate}


%\subsection{}%Liban mai 2013 (extrait)
%
%
%%\begin{multicols}{2}
%%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%%\setlength{\columnsep}{2 cm}
%%
%L'entreprise \emph{Fructidoux} fabrique des compotes qu'elle conditionne en petits pots de 50~grammes. Elle souhaite leur attribuer la dénomination \og compote allégée \fg. 
%
%La législation impose alors que la teneur en sucre, c'est-à -dire la proportion de sucre dans la compote, soit comprise entre 0,16 et 0,18. On dit dans ce cas que le petit pot de compote est conforme.
% 
%L'entreprise possède deux chaînes de fabrication F$_{1}$ et F$_{2}$.
%
%\medskip
% 
%\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment}
%
%\medskip
% 
%La chaîne de production F$_{2}$ semble plus fiable que la chaîne de production F$_{1}$. Elle est cependant moins rapide.
% 
%Ainsi, dans la production totale, 70\,\% des petits pots proviennent de la chaîne F$_{1}$ et 30\,\% de la chaîne F$_{2}$.
% 
%La chaîne F$_{1}$ produit 5\,\% de compotes non conformes et la chaîne F$_{2}$ en produit 1\,\%.
% 
%On prélève au hasard un petit pot dans la production totale. On considère les évènements :
% 
%$E$ : \og Le petit pot provient de la chaîne F$_{2}$ \fg 
%
%$C$ : \og Le petit pot est conforme. \fg
%
%\medskip
% 
%\begin{enumerate}
%\item Construire un arbre\index{arbre de probabilités} pondéré sur lequel on indiquera les données qui précèdent. 
%\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og Le petit pot est conforme et provient de la chaîne de production F$_{1}$. \fg 
%\item Déterminer la probabilité de l'évènement $C$. 
%\item Déterminer, à  $10^{-3}$ près, la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $C$ est réalisé.
%\end{enumerate}

\subsection{}%Antilles-Guyane juin 2013




Dans tout ce qui suit, $m$ désigne un nombre réel quelconque.

\smallskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\smallskip

Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$ telle que:
\[
f(x) = (x + 1)\text{e}^x.
\]
\begin{enumerate}
\item Calculer la limite de $f$ en $+ \infty$ et $- \infty$.
\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.\\
Démontrer que pour tout réel $x$, $f'(x) = (x + 2)\text{e}^x$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}


\columnbreak

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\smallskip

On définie la fonction $g_m$ sur $\mathbb{R}$ par:

\[g_m(x) = x + 1 - m\text{e}^{-x}\]
et on note $\mathcal{C}_m$ la courbe de la fonction $g_m$ dans un repère $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ du plan.

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Démontrer que $g_m(x) = 0$ si et seulement si $f(x)=m$.
\item  Déduire de la partie $A$, sans justification, le nombre de points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_m$ avec l'axe des abscisses en fonction du réel $m$.
\end{enumerate}
\item On a représenté en annexe 2 les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_{\mathrm{e}}$, et $\mathcal{C}_{-\text{e}}$ (obtenues en prenant respectivement pour $m$ les valeurs 0, $\text{e}$ et $-\text{e}$).\\
Identifier chacune de ces courbes sur la figure de l'annexe en justifiant.

\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}_m$ par rapport à  la droite $\mathcal{D}$ d'équation 

$y = x + 1$ suivant les valeurs du réel $m$.

\end{enumerate}




\begin{center}

\psset{unit=1.4,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.5,-3)(5,6.5)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-2.5,-3)(5,6.5)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2.0}{5.0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
\psplot[,linewidth=1.5pt]{-2}{5}{(--1--1*x)/1}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red,linewidth=1.5pt]{-2.0}{5.0}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
\rput[tl](-1.5,4.89){Courbe 1}
\rput[tl](-1.5,0.75){Courbe 2}
\rput[tl](0.2,-1.71){Courbe 3}
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-2.5,-3)(5,6.5)
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage


\subsection{}%Polynésie juin 2018
Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier.

À chaque fois qu'il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.

\smallskip

Soit $n$ un entier naturel.

On note $a_n$ la probabilité de l'évènement : \og le lapin est dans la galerie A à l'étape $n$ \fg.
On note $b_n$ la probabilité de l'évènement : \og le lapin est dans la galerie B à l'étape $n $\fg.
On note $c_n$ la probabilité de l'évènement : \og le lapin est dans la galerie C à l'étape $n $\fg.

À l'étape $n = 0$, le lapin est dans la galerie A.

Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant :

\[\renewcommand\arraystretch{1.5}\left\{\begin{array}{l c r}
a_{n+1}&=&\frac{1}{3}a_n + \frac{1}{4} b_n \phantom{+ \frac{2}{3}c_n}\\
b_{n+1}&=&\frac{2}{3}a_n + \frac{1}{2} b_n + \frac{2}{3}c_n\\
c_{n+1}&=&\frac{1}{4}b_n + \frac{1}{3} c_n
\end{array}\right.\]

\medskip

L'objectif de cet exercice est d'estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.\index{probabilité}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip

À l'aide d'un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant:\index{tableur}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A &B &C &D\\ \hline
1 	&$n$ &$a_n$ &$b_n$ &$c_n$\\ \hline
2 	&0	& 1 	&0	&0\\ \hline
3	&1	&0,333 	&0,667 	&0\\ \hline
4 	&2 	&0,278 &0,556 &0,167\\ \hline
5 	&3 &0,231 &0,574 &0,194\\ \hline
6 	&4 &0,221 &0,571 &0,208\\ \hline
7 	&5 &0,216 &0,572 &0,212\\ \hline
8 	&6 &0,215 &0,571 &0,214\\ \hline
9 	&7 &0,215 &0,571 &0,214\\ \hline
10 	&8 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline
11 	&9 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline
12 	&10 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour remplir la colonne C ?
\item Quelle conjecture peut-on émettre ?
\end{enumerate}



\columnbreak

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On définit la suite $\left(u_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = a_n - c_n$.\index{suite}
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique en précisant sa raison.\index{suite géométrique}
		\item Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = b_n - \dfrac{4}{7}$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$,\\
		$a_n + b_n + c_n = 1$ et en déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $v_{n+1} = - \dfrac{1}{6}v_n$.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}
\item  En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :

$a_{n} = \dfrac{3}{14} +\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n$\\
$b_{n} = \dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n $ et \\
$c_{n} = \dfrac{3}{14} -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n.$

\item  Que peut-on en déduire sur la position du lapin après un très grand nombre d'étapes ?
\end{enumerate}


\subsection{}%Sesamath
On considère la fonction $f$  définie sur $\mathbb{R}^*$ par \[f(x)=\dfrac{3x^2+15x-10}{3x^2}.\]
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}^*$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que , pour tout $x\in\mathbb{R}^*$, \[f'(x)=\dfrac{-15x+20}{3x^3}.\]

\item Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}^*$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que , pour tout $x\in\mathbb{R}^*$, \[f''(x)=\dfrac{10x-20}{x^4}.\]

\item Étudier le signe de $f''(x)$ et. en déduire la convexité de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.

\item Montrer que le point de $\mathscr{C}_f$ d'abscisse 2 est un point d'inflexion.
\end{enumerate}

\end{enumerate}











\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  