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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité : devoir sur feuille \no 3}}\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord juin 2021}}



%\textbf{Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
%
%\medskip
%
%On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].


\begin{center}
\psset{xunit=0.85cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(6,7)
\pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE
\uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E}
\psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF
\uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G} 
\psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE 
\uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K}
\psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH
\uput[ur](3.5,1.8){D}
\psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC
\end{pspicture}
\end{center}

En prenant le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AE}}\right)$ on a :

$\text{A}(0~;~0~;~0),\, \text{B}(0~;~0~;~0),\, \text{C}(1~;~1~;~0),\, \text{D}(0~;~1~;~0)$\\


$\text{E}(0~;~0~;~1)~;~ \text{F}(1~;~0~;~1),\, \text{G}(1~;~1~;~1),\, \text{H}(0~;~1~;~1),\, \text{I}\left(\dfrac{1}{2}~;~0~;~1\right),\, \text{J}\left(1~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right),\, \text{K}\left(0~;~0~;~\dfrac{1}{2}\right)$
 
\begin{enumerate}
\item %Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
\textbf{\textcolor{blue}{Méthode 1}} : $K$ et $H$ appartiennent au plan $(AEH)$ donc la droite $(KH)$ est incluse dans ce plan.\\
$A$ et $I$ appartiennent au plan $(ABE)$ donc la droite $(AI)$ est incluse dans ce plan.\\
Les deux plans $(AEH)$ et $(ABE)$ sont sécants. selon la droite $(AE)$ donc non parallèles.\\
Les deux droites $(AI)$ et $(HK)$ ne sont donc pas parallèles car A appartient aux deux plans(et non coplanaires).

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Méthode 2}} (pas attendue puisque le repère est introduit après cette question):\\
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
On a $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{AI}}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix}}}$ et $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{\text{KH}}\begin{pmatrix}0\\1\\\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}}}$ : \\
ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites (AI) et (KH) ne sont pas parallèles.
%Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~ \overrightarrow{\text{AD}},~ \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner les coordonnées des points I et J.
Voir plus haut pour les coordonnées de I et J.
		\item %Montrer que les vecteurs $\overrightarrow{\text{IJ}},~\overrightarrow{\text{AE}}$ et $\overrightarrow{\text{AC}}$ sont coplanaires.
		
\renewcommand{\arraystretch}{1.2} On a $\overrightarrow{\text{IJ}}\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}\\-1\end{pmatrix}, \, \overrightarrow{\text{AE}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}, \,\overrightarrow{\text{AC}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$.

On a $\boxed{\textcolor{red}{2\overrightarrow{\text{IJ}} + 2\overrightarrow{\text{AE}} = \overrightarrow{\text{AC}}}}$.

Le vecteur $\overrightarrow{\text{AC}}$ est donc une combinaison linéaire des vecteurs $\overrightarrow{\text{IJ}}$ et $\overrightarrow{\text{AE}}$ qui ne sont pas colinéaires : ces trois vecteurs sont donc coplanaires.
	\end{enumerate}
%\end{enumerate}
	
%On considère le plan $\mathcal P$ d'équation $x + 3y - 2z + 2 = 0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous:
%
%\[d_1  : \left\{\begin{array}{l c l}
%x	&=&3 + t\\
%y 	&=& 8 - 2t\\
%z	&=& - 2 + 3t\\
%\end{array}\right. , t \in \R\quad \text{et}\quad 
%d_2  : \left\{\begin{array}{l c l}
%x	&=&4 + t\\
%y 	&=&1 + t\\
%z	&=&8 + 2t\\
%\end{array}\right. , t \in \R.\]
%
%\begin{enumerate}[resume]
\item %Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

$d_1$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ et $d_2$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$ : ces vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles 
\item %Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal P$.

Le plan a pour vecteur normal le vecteur $\overrightarrow{p}\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}$ et $d_2$ a pour vecteur directeur $\overrightarrow{u_2}\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}$.

Or $\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{u_2} =  1 + 3 - 4 = 0$ : les vecteurs sont orthogonaux donc la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal P$.



\item %Montrer que le point L(4~;~0~;~3) est le projeté orthogonal du point M(5~;~3~;~1) sur le plan $\mathcal P$.
\textbf{Méthode 1}

Soit $\Delta$ la perpendiculaire à $\mathcal P$ contenant M. Cette droite a pour vecteur directeur le vecteur $\overrightarrow{p}$, donc une équation paramétrique de $\Delta$ est :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x	&=&5 + 1t\\
y 	&=&3 + 3t\\
z	&=&1 - 2t\\
\end{array}\right., t \in \mathbb{R}.$

Le projeté L,  de M sur le plan $\mathcal P$ a ses coordonnées qui vérifient les quatre équations :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x	&=&5 + 1t\\
y 	&=&3 + 3t\\
z	&=&1 - 2t\\
x + 3y - 2z + 2&=&0
\end{array}\right. , t \in \mathbb{R}. \Rightarrow 5 + t  + 3(3 + 3t) - 2(1 - 2t) + 2 = 0 \\
\iff 5 + t + 9 + 9t - 2 + 4t + 2 = 0 \iff 14t  + 14 = 0 \iff t + 1 = 0 \iff \boxed{\textcolor{red}{t = - 1}}$.

En reportant dans les trois premières équations du système, on trouve les coordonnées de L projeté orthogonal de M sur $\mathcal P$ :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x	&=&5 - 1\\
y 	&=&3 + 3\times (- 1)\\
z	&=&1 - 2\times (- 1)\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x	&=&4\\
y 	&=&0\\
z	&=&3\\
\end{array}\right.$

Donc le projeté orthogonal de M sur le plan $\mathcal P$ est le le point $\boxed{\textcolor{red}{L(4~;~0~;~3)}}$.
\end{enumerate}

\textbf{Méthode 2}

On a $\overrightarrow{\text{ML}}\begin{pmatrix}-1\\- 3\\2\end{pmatrix}$, donc $\overrightarrow{\text{ML}} = - \overrightarrow{p}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

D'autre part L(4~;~0~;~3) $\in \mathcal{P} \iff 4 + 3 \times 0 - 2 \times 3 + 2 = 6 - 6 = 0$ est vraie, donc L est le projeté orthogonal de M sur le plan $\mathcal P$.

\subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2013 (extrait)}}

\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item $\lim_{x\rightarrow +\infty}(x+1)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$, donc, par opérations $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$.\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)=x\mathrm{e}^x+\mathrm{e}^x$. Or $\lim_{x\rightarrow -\infty}x\mathrm{e}^x=0$ (croissances comparées) et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^x=0$, donc, par opérations  $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=0}}$.

\item Pour tout réel $x$,$ f'(x)=1\mathrm{e}^x+(x+1)\mathrm{e}^x=\boxed{\textcolor{red}{(x+2)\mathrm{e}^x}}$.

\item Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x>0$, donc $f'(x)$ a le même signe que $x+2$. \\
On en déduit le tableau de variations suivant:
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
$x$ & $- \infty$ & \qquad\qquad & $-2$ & \qquad\qquad & $+\infty$\\
\hline
$f'(x)$&&$-$&0&$+$&\\
\hline
&\rnode{a}{$0$}& & & &\rnode{c}{$+\infty$}\\
$f$& & & & & \\
& & &\rnode{b}{$-1/\mathrm{e}^2$}& & \\
\hline
\end{tabular}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{a}{b}
\ncline[nodesep=3pt]{->}{b}{c}
\end{center}
\end{enumerate}

\smallskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
 On a, pour tout réel $x$:
 \begin{eqnarray*}
 g_m(x)=0 &\Longleftrightarrow& x+1=m\mathrm{e}^x\\
 &\Longleftrightarrow& (x+1)\mathrm{e}^x=m\\
 &\Longleftrightarrow& f(x)=m.
 \end{eqnarray*}

\item D'après l'équivalence et le tableau de variations précédents:
\begin{itemize}
\item Si $m\geqslant  0$ , l’équation f(x) = m possède une unique solution 

\item Si $m\in\left]-\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}~;~0\right[$, l’équation possède deux solutions

\item Si $m = -\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$, l’équation possède une solution

\item Si $m < -\dfrac{1}{\mathrm{e}^2}$, l’équation ne possède pas de solution
\end{itemize}
\end{enumerate}
\item \begin{itemize}
\item
La courbe 1 ne coupe pas l'axe des abscisses, donc l'équation $g_m(x)=0$ n'a pas de solution et cela entraîne que $m<-\frac{1}{\mathrm{e}^2}$. La seule possibilité est donc que $m=-\mathrm{e}$.
\item La courbe 2 coupe l'axe des abscisses une seule fois, donc $m=-\frac{1}{\mathrm{e}^2}$ ou $m\geqslant 0$. La seule possibilité est donc $m=0$.
\item Par élimination, la courbe 3 correspond à $m=\mathrm{e}$.
\end{itemize}
\item Pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)=-m\mathrm{e}^x$ qui est du signe de $-m$; on en déduit:
\begin{itemize}
\item si $m>0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)<0$, donc $\mathcal{C}_m$ est en dessous de $\mathcal{D}$;
\item si $m<0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)<0$, donc $\mathcal{C}_m$ est au dessus de $\mathcal{D}$;
\item si $m=0$, alors pour tout réel $x$, $g_m(x)-(x+1)=00$, donc $\mathcal{C}_m$ et  $\mathcal{D}$ sont confondues.
\end{itemize}

%\item Le domaine $D_2$ hachuré:
%\begin{enumerate}
%\item
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(-1.82,-2.51)(4.23,5.85)
%\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1.82,-2.51)(4.23,5.85)
%\pscustom[linewidth=0pt,hatchcolor=black,fillstyle=hlines,hatchangle=30.0,hatchsep=0.08]{\psplot{0}{2}{x+1-2.718281828^(-x+1)}\lineto(2,3.37)\psplot{2}{0}{x+1+2.718281828^(-x+1)}\lineto(0,-1.72)\closepath}
%\psplot[plotpoints=200]{-1.8209836065573772}{4.227213114754098}{x+1+2.718281828^(-x+1)}
%\psplot{-1.82}{4.23}{(--1--1*x)/1}
%\psplot[plotpoints=200]{-1.8209836065573772}{4.227213114754098}{x+1-2.718281828^(-x+1)}
%\rput[tl](-1.13,5.74){$\mathcal{C}_{-\mathrm{e}}$}
%\rput[tl](-1.34,-0.23){$\mathcal{C}_0$}
%\rput[tl](0.12,-1.26){$\mathcal{C}_{\mathrm{e}}$}
%\psline(2,-2.51)(2,5.85)
%\rput[tl](2.13,-1.13){$\Delta_2$}
%\begin{scriptsize}
%\rput[bl](1,2){$b = -4.7$}
%\end{scriptsize}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%\item Pour tout $a\geqslant 0$, la courbe $\mathcal{C}_{-\mathrm{e}}$ est au dessus de $\mathcal{C}_{\mathrm{e}}$, par conséquent l'aire $\mathcal{A}(a)$ est donnée par:
%\begin{eqnarray*}
%\mathcal{A}(a)&=&\int_0^af_{-\mathrm{e}}(x)-f_{\mathrm{e}}(x)\text{d}x\\
%&=&\int_0^a\left((x+1)+\mathrm{e}\mathrm{e}^{-x}\right)-\left((x+1)-\mathrm{e}\mathrm{e}^{-x}\right)\text{d}x\\
%&=&\int_0^a2\mathrm{e}\mathrm{e}^{-x}\text{d}x\\
%&=&2\mathrm{e}\left[-\mathrm{e}^{-x}\right]_0^{a}\\
%&=&2\mathrm{e}\left(-\mathrm{e}^{-a}+1\right)\\
%&=&2\mathrm{e}-2\mathrm{e}^{1-a}.
%\end{eqnarray*}
%On a de plus $\limi{a}{+ \infty}\mathrm{e}^{1-a}=0$, par conséquent: $\limi{a}{+ \infty}\mathcal{A}(a)=2\mathrm{e}$.
\end{enumerate}
%\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie juin 2018}}
Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier.
À chaque fois qu'il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.

\smallskip

Soit $n$ un entier naturel.

On note $a_n$ la probabilité de l'évènement : \og le lapin est dans la galerie A à l'étape $n$ \fg.

On note $b_n$ la probabilité de l'évènement : \og le lapin est dans la galerie B à l'étape $n $\fg.

On note $c_n$ la probabilité de l'évènement : \og le lapin est dans la galerie C à l'étape $n $\fg.

À l'étape $n = 0$, le lapin est dans la galerie A.

Une étude antérieure des réactions du lapin face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant :

\[\renewcommand\arraystretch{1.5}\left\{\begin{array}{l !{=} r}
a_{n+1}&\dfrac{1}{3}a_n + \dfrac{1}{4} b_n \phantom{+ \dfrac{2}{3}c_n}\\[5pt]
b_{n+1}&\dfrac{2}{3}a_n + \dfrac{1}{2} b_n + \dfrac{2}{3}c_n\\[5pt]
c_{n+1}&\dfrac{1}{4}b_n + \dfrac{1}{3} c_n
\end{array}\right.\]

%\medskip
%
%L'objectif de cet exercice est d'estimer dans quelle galerie le lapin a la plus grande probabilité de se trouver à long terme.

\newpage



\textcolor{red}{\textbf{Partie A}}

\medskip

À l'aide d'un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A 	&B &C &D\\ \hline
1 	&$n$&$a_n$ &$b_n$ &$c_n$\\ \hline
2 	&0	& 1    &0	  &0\\ \hline
3	&1	&0,333 &0,667 &0\\ \hline
4 	&2 	&0,278 &0,556 &0,167\\ \hline
5 	&3 	&0,231 &0,574 &0,194\\ \hline
6 	&4 	&0,221 &0,571 &0,208\\ \hline
7 	&5 	&0,216 &0,572 &0,212\\ \hline
8 	&6 	&0,215 &0,571 &0,214\\ \hline
9 	&7 	&0,215 &0,571 &0,214\\ \hline
10 	&8 	&0,214 &0,571 &0,214\\ \hline
11 	&9 	&0,214 &0,571 &0,214\\ \hline
12 	&10 &0,214 &0,571 &0,214\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour remplir la colonne C ?
La colonne C donne les différentes valeurs de $b_n$. 
Comme pour tout $n$, $b_{n+1}=\dfrac{2}{3}a_n + \dfrac{1}{2} b_n + \dfrac{2}{3}c_n$, la formule à entrer dans la cellule C3 et à recopier vers le bas est:

\hfill{}\fbox{$=2/3*\mathrm{B2} + 1/2*\mathrm{C2} + 2/3*\mathrm{D2}$}\hfill{}

\item % Quelle conjecture peut-on émettre ?
\begin{list}{\textbullet}{D'après ce tableau, on peut dire que}
\item la probabilité que le lapin se retrouve à long terme dans la galerie A est $0,214$ ;
\item la probabilité que le lapin se retrouve à long terme dans la galerie B est $0,571$ ;
\item la probabilité que le lapin se retrouve à long terme dans la galerie C est $0,214$.
\end{list}


\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On définit la suite $\left(u_n\right)$, pour tout entier naturel $n$, par $u_n = a_n - c_n$.
	\begin{enumerate}
		\item% Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique en précisant sa raison.
$\text{Pour tout } n,~u_{n+1} = a_{n+1}-c_{n+1} = \left ( \dfrac{1}{3} a_n + \dfrac{1}{4} b_n \right ) - \left ( \dfrac{1}{4} b_n + \dfrac{1}{3} c_n \right )	 = \dfrac{1}{3} a_n + \dfrac{1}{4} b_n -  \dfrac{1}{4} b_n - \dfrac{1}{3} c_n \\[5pt]
\phantom{\text{Pour tout } n,~u_{n+1} }
= 	 	\dfrac{1}{3} \left ( a_n  -  c_n \strut\right ) = \dfrac{1}{3} u_n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n}}$. 

$u_0 = a_0-c_0=1-0=1$

Donc la suite $(u_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=\dfrac{1}{3}}}$ et de premier terme $u_0=1$.		
		
		\item% Donner, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
On déduit de la question précédente que, pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n= 1\times \left ( \dfrac{1}{3}\right )^n = \boxed{\textcolor{red}{\left (\dfrac{1}{3}\right )^n}}$.		
	\end{enumerate}

\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = b_n - \dfrac{4}{7}$ pour tout entier naturel $n$; donc $b_n=v_n+\dfrac{4}{7}$.

	\begin{enumerate}
		\item %Expliquer pourquoi pour tout entier naturel $n$,\: $a_n + b_n + c_n = 1$ et en déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $v_{n+1} = - \dfrac{1}{6}v_n$.
Les nombres $a_n$, $b_n$ et $c_n$ représentent à l'étape $n$, les probabilités que le lapin se trouve respectivement dans la galerie A, dans la galerie B ou dans la galerie C. Il n'y a pas d'autre possibilité pour le lapin donc la somme de ces trois probabilités doit être égale à la probabilité de l'événement certain, c'est-à-dire 1: pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{a_n+b_n+c_n=1}}$.	

On en déduit que $a_n+c_n=1-b_n$. 

$b_{n+1} = \dfrac{2}{3} a_n + \dfrac{1}{2} b_n + \dfrac{2}{3} c_n
= \dfrac{2}{3} \left ( a_n  +  c_n\strut\right ) + \dfrac{1}{2} b_n
= \dfrac{2}{3} \left ( 1-b_n\strut\right ) + \dfrac{1}{2} b_n
= \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} b_n + \dfrac{1}{2} b_n=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{6} b_n}}$.

$v_{n+1} = b_{n+1} - \dfrac{4}{7}
= \left ( \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{6} b_n\right ) - \dfrac{4}{7}
= \left (\dfrac{2}{3} - \dfrac{4}{7} \right ) - \dfrac{1}{6} \left ( v_n+\dfrac{4}{7} \strut \right )
= \dfrac{2}{21} - \dfrac{1}{6} v_n - \dfrac{2}{21}
= \boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{6} v_n}}$
		
		\item% En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
D'après la question précédente, on peut dire que la suite $(v_n)$ est \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $q=-\dfrac{1}{6}$ et de premier terme $v_0=b_0-\dfrac{4}{7} = 0 - \dfrac{4}{7} = -\dfrac{4}{7}$.

On en déduit que pour tout $n$, $v_n=v_0\times q^n =\boxed{\textcolor{red}{ -\dfrac{4}{7} \times \left ( -\dfrac{1}{6} \right )^n}}$.
		
		
	\end{enumerate}

\item % En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a :
%
%\[
%a_{n} = \dfrac{3}{14} +\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n, \quad b_{n} = \dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n \quad \text{et} \quad c_{n} = \dfrac{3}{14} -\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n + \dfrac{2}{7}\left(- \dfrac{1}{6}\right)^n.\]
On a vu que, pour tout $n$, $b_n=v_n+\dfrac{4}{7}$ et que $v_n=-\dfrac{4}{7}\left (-\dfrac{1}{6}\right )^n$. On en déduit que $\boxed{\textcolor{red}{b_n=\dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n}}$.


On a vu précédemment que $a_n+c_n=1-b_n$.

On en déduit que 
$a_n+c_n = 1-\left (\dfrac{4}{7} - \dfrac{4}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n \right )
= 1-\dfrac{4}{7} + \dfrac{4}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n 
=\boxed{\textcolor{red}{ \dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n}}$.

On a vu aussi que, pour tout $n$, $u_n=a_n-c_n$ et que $u_n=\left (\dfrac{1}{3}\right )^n$; on en déduit que $a_n-c_n=\boxed{\textcolor{red}{\left (\dfrac{1}{3}\right )^n}}$.

On résout le système:

$\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_n+c_n & \dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n\\[7pt]
a_n-c_n & \left (\dfrac{1}{3}\right )^n
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
2a_n & \dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n + \left (\dfrac{1}{3}\right )^n\\[7pt]
c_n & a_n - \left (\dfrac{1}{3}\right )^n
\end{array}
\right.\\
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_n & \dfrac{3}{14} + \dfrac{2}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n + \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{1}{3}\right )^n\\[7pt]
c_n & \left (\dfrac{3}{14} + \dfrac{2}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n + \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{1}{3}\right )^n\right ) - \left (\dfrac{1}{3}\right )^n
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_n & \dfrac{3}{14} + \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{1}{3}\right )^n + \dfrac{2}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n \\[7pt]
c_n & \dfrac{3}{14} - \dfrac{1}{2}\left (\dfrac{1}{3}\right )^n + \dfrac{2}{7}\left ( -\dfrac{1}{6}\right )^n 
\end{array}
\right.$

\item  La position du lapin après un très grand nombre d'étapes est donnée par les limites de $a_n$, $b_n$ et $c_n$ quand $n$ tend vers l'infini.

$-1< \dfrac{1}{3} < 1$ donc $ \lim_{n \to +\infty} \left (\dfrac{1}{3}\right )^n = 0$;
$-1< -\dfrac{1}{6} < 1$ donc $ \lim_{n \to +\infty} \left (-\dfrac{1}{6}\right )^n = 0$.

On en déduit que $\lim_{n\to +\infty} a_n = \dfrac{3}{14}$, $\lim_{n\to +\infty} b_n = \dfrac{4}{7}$ et $\lim_{n\to +\infty} c_n = \dfrac{3}{14}$. 

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{La probabilité qu'après un très grand nombre d'étapes, le lapin}
\item se trouve dans la galerie A tend vers $\dfrac{3}{14}$;
\item se trouve dans la galerie B tend vers  $\dfrac{4}{7}$;
\item se trouve dans la galerie C  tend vers  $\dfrac{3}{14}$.
\end{list}
\end{enumerate}



\newpage


\subsection{}%Sesamath
On considère la fonction $f$  définie sur $\mathbb{R}^*$ par $f(x)=\dfrac{3x^2+15x-10}{3x^2}$.\\
On note $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.. On admet que $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}^*$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que , pour tout $x\in\mathbb{R}^*$, \[f'(x)=\dfrac{-15x+20}{3x^2}.\]
Pour tout $x\in\mathbb{R}^*$, $f(x)=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{3x^2+15x-10}{x^2}$ donc $f'(x)=\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{\left(6x+15\right)x^2-2x\left(3x^2+15x-10\right)}{x^4}\right]\\
=\dfrac{1}{3}\left[\dfrac{-15x^2+20x}{x^4}\right]=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-15x+20}{3x^3}}}$.

\item %Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$ sur $\mathbb{R}^*$.
$f'(x)=0\Leftrightarrow -15x+20=0\Leftrightarrow x=\dfrac{20}{15}=\dfrac{4}{3}$.\\
$-15x+20<0\Leftrightarrow x>\dfrac{4}{3}$.\\
On en déduit le tableau de signes et le tableau de variation. de $f$ :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&0&&&\dfrac{4}{3}&&\pI\\
\hline
-15x+20&&+&&\bb&&+&\z&-&\\
\hline
3x^3&&-&&\bb&&+&\l&+&\\
\hline
f'(x)&&-&&\bb&&+&\l&-&\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&&\bb&&\c&\h{\dfrac{23}{8}}&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Montrer que , pour tout $x\in\mathbb{R}^*$, \[f''(x)=\dfrac{10x-20}{x^4}.\]
$f'(x)=-\dfrac{5}{3}\times \dfrac{3x-4}{x^3}$ donc $f''(x)=-\dfrac{5}{3}\times \left[\dfrac{3x^3-3x^2(3x-4)}{x^6}\right]=-\dfrac{5}{3}\left[\dfrac{-6x^3+12x^2}{x^6}\right]=-\dfrac{5}{3}\times \dfrac{-6x+12}{x^4}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{10x-20}{x^4}}}$

\item %Étudier le signe de $f''(x)$ et. en déduire la convexité de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
$f''(x)=0\Leftrightarrow x=2$ et $f''(x)$ est du signe de $10x-20=10(x-2)$ car $x^4>0$.\\
$f''(x)<0$ sur $]0~;~2[$  et $f''(x)>0$ sur $]2~;~+\infty[$.

\item %Montrer que le point de $\mathscr{C}_f$ d'abscisse 2 est un point d'inflexion.
$f$ est donc concave sur $]0~;~2]$ et convexe sur $[2~;~+\infty[$, donc le point d'abscisse 2 est un pont d'inflexion.
\end{enumerate}

\end{enumerate}









\label{fin}
\end{document}  