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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la fonction $\mathbb{\ln}$}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Sujet bac 1 (2021) }}
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) = x + 4 - 4 \ln (x) - \dfrac{3}{x}\]

où ln désigne la fonction logarithme népérien.

On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

Démontrer que, pour tout nombre réel $x > 0$, on a :

\[f'(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 3}{x^2}.\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$. 
		
On y fera figurer les valeurs exactes des extremums et les limites de $f$ en $0$ et en $+ \infty$. 
		
On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to 0} f(x) = - \infty$.
		\item Par simple lecture du tableau de variations, préciser le nombre de solutions de l'équation $f(x) = \dfrac{5}{3}$.
	\end{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ c'est-à-dire préciser les parties de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ sur lesquelles $f$ est convexe, et celles sur lesquelles $f$ est concave. 

On justifiera que la courbe $\mathcal C$ admet un unique point d'inflexion, dont on précisera les coordonnées.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2019}}
\textcolor{red}{\textbf{Partie A : établir une inégalité}}

\medskip

Sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x) = x - \ln(x + 1)$.\index{fonction logarithme népérien}
\begin{enumerate}
	\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.	
	\item En déduire que pour tout $x \in [0~;~ +\infty[, \quad \ln(x + 1) \leqslant x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B : application à l'étude d'une suite}}

On pose $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n - \ln \left(1 + u_n\right)$. On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

\begin{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.	
\item 
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n, \quad u_n \geqslant 0$.\index{récurrence}		
			\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, et en déduire que pour tout entier naturel $n, \quad u_n \leqslant 1 $.			
			\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell = f(\ell)$, où $f$ est la fonction définie dans la \textbf{partie A}. En déduire la valeur de $\ell$.
\item 
\begin{enumerate}
		\item Écrire un algorithme qui, pour un entier naturel $p$ donné, permet de déterminer le plus petit rang $N$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-p}$.\index{algorithme}		
		\item Déterminer le plus petit entier naturel $n$ à partir duquel tous les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont inférieurs à $10^{-15}.\,$\footnote{La plupart des calculatrices et même des tableurs sont incapables de traiter cette question donnant même des résultats faux. Elle peut être sautée.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Liban mai 2019}}
Le plan est muni d'un repère orthogonal (O, I, J).

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~1] par 

\[f(x) = x(1 - \ln x)^2.\]\index{fonction logarithme népérien}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une expression de la fonction dérivée de $f$ et vérifier que pour tout $x \in ]0~;~1]$, $f'(x) = (\ln x + 1)(\ln x - 1)$.\index{dérivée} 
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur l'intervalle ]0~;~1] (on admettra que la limite de la fonction $f$ en 0 est nulle). 
\end{enumerate}
	\end{enumerate}

On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur l'intervalle ]0~;~1]  par $g(x) = \ln x$. 

Soit $a$ un réel de l'intervalle ]0~;~1]. On note $M_a$ le point de la courbe $\Gamma$ d'abscisse $a$ et $d_a$ la tangente à la courbe $\Gamma$ au point $M_a$. Cette droite $d_a$ coupe l'axe des abscisses au point $N_a$ et l'axe des ordonnées au point $P_a$ . 

On s'intéresse à l'aire du triangle O$N_aP_a$ quand le réel $a$ varie dans l'intervalle ]0~;~1]. 

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on étudie le cas particulier où $a = 0,2$ et on donne la figure ci-dessous. 

\begin{center}
\psset{xunit=7cm,yunit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-3)(1.1,1.5)
\psgrid[subgriddiv=10,gridlabels=0](0,-3)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,-3)(1.1,1.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.5pt]{0}{0.8}{ x 5 mul 2.609 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.05}{1}{ x ln}
\psdots(0.2,-1.6)(0.5218,0)(1,0)(0,-2.609)(0,1)
\uput[dr](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](0.6,-0.1){\blue $\Gamma$}\uput[dr](0.7,0.9){$d_{0,2}$}
\uput[dr](0.2,-1.6){$M_{0,2}$}\uput[ul](0.5218,0){$N_{0,2}$}
\uput[ul](0,-2.609){$P_{0,2}$}
\end{pspicture}

\end{center}    

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ en unités d'aire. 
		\item Déterminer une équation de la tangente $d_{0,2}$.\index{equation de la tangente@équation de la tangente} 
		\item Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle O$N_{0,2}P_{0,2}$ . 

Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel $a$ de l'intervalle ]0~;~1], l'aire du triangle O$N_aP_a$ en unités d'aire est donnée par $\mathcal{A}(a) = \dfrac{1}{2}a (1 - \ln a)^2$.
	\end{enumerate}
\item  À l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur de $a$ l'aire 
$\mathcal{A}(a)$ est maximale. Déterminer cette aire maximale. 
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Nouvelle Calédonie novembre 2019}}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 

\[f(x) = \ln \left(\dfrac{3x+ 1}{x + 1}\right).\]\index{fonction logarithme népérien}

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $[0~;~ +\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(5.2,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(5.2,2)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)()()
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5.1}{3 x mul 1 add x 1 add div ln}
\uput[u](5,0.95){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)$ et en donner une interprétation graphique.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ positif ou nul, 
		
		\[f'(x) = \dfrac{2}{(x + 1)(3x + 1)}\]
		
		\item En déduire que la fonction $f$ est strictement croissante sur $[0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}

\textcolor{red}{\textbf{Partie B}}
\end{center}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par\index{suite}

\[u_0 = 3\quad  \text{et, pour tout entier naturel }\:n, \: u_{n+1} = f\left(u_n\right).\]

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, \:~$\dfrac{1}{2} \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$.\index{récurrence}
\item  Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ converge vers une limite strictement positive.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textcolor{red}{\textbf{Partie C}}
\end{center}

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$. On admet que $f(\ell) = \ell$.

\smallskip

L'objectif de cette partie est de déterminer une valeur approchée de $\ell$.

On introduit pour cela la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par $g(x) = f(x) - x$.

\smallskip

On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $g$ sur $[0~;~+\infty[$ où 

$x_0 = \dfrac{- 2+ \sqrt{7}}{3} \approx 0,215$  et $g\left(x_0\right) \approx  0,088$, en arrondissant à $10^{-3}$.

%\begin{center}
%{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
%\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
%\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
%$\begin{array}{|c|*5{c}|}
%\hline
%x & 0  & \esp & x_0 & \esp & +\infty \\ 
%%\hline
%%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
% & &  &   \Rnode{max}{g(x_0)}  &  &   \\  
%\parbox{3cm}{\centering\text{~Variations}\newline{}\text{~~de la}\newline\text{fonction }$g$} & &     &  &  &  \\ 
% & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-\infty}   
% \ncline{->}{min1}{max} 
% \ncline{->}{max}{min2} 
% \\ 
%\hline
%\end{array} $
%}
%\end{center}	

\begin{center}
\begin{variations}
x&0&&x_0&&\pI\\
\hline
\text{Variations de la fonction }g&0&\c&\h{g\left(x_0\right)}&\d&\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive. On la note $\alpha$.
\item ~

\parbox{0.65\linewidth}{
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-contre afin que la dernière valeur prise par la variable $x$ soit une valeur approchée de $\alpha$ par excès à $0,01$ près.\index{algorithme}
		\item Donner alors la dernière valeur prise par la variable $x$ lors de l'exécution de l'algorithme.
	\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.45\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$x \gets  0,22$\\
Tant que \ldots \ldots \ldots faire\\
\hspace{1.25cm}$x \gets x + 0,01$\\
Fin de Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
}
\item  En déduire une valeur approchée à 0,01 près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.
\end{enumerate}



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  