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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/2}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur la fonction $\ln$}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
La fonction $f$ est définie sur $\left]0~;~+\infty\right[$ par \[f(x)=4x-x\ln x\].
Mila a obtenu sur ca calculatrice une partie de la courbe représentative, représentée ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.2,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.2)(4,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1,labels=none]{->}(0,0)(-1,-0.2)(4,12)
\psplot{0.01}{4}{4*x-x*Log(x)}
\end{pspicture}
\end{center}
Elle émet la conjecture suivante : \og{}Il semble que la fonction soit toujours positive.\fg{}

\begin{enumerate}[a)]
\item Résoudre l'équation $f(x)=0$.

\item Étudier le signe de $f(x)$.

\item Pour pourquoi Mila pensait-elle cela ?
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par \[f(x)=x^2+2\ln(x).\]
\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer la limite de $f$ en 0, puis en $+\infty$.

\item Déterminer la fonction. dérivée de $f$.

\item Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.

\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0~;~+\infty[$.

\item Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ au centième.
\end{enumerate}

\subsection{}
$g$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : \[g(x)=\ln\left(\mathrm{e}^{x^2-5x}+1\right).\]
\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer la fonction dérivée $g'$ de $g$.

\item Étudier les variations de $g$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2012}}
\textcolor{red}{\textbf{Partie A : Restitution organisée des connaissances}}

On rappelle que $\lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{\mathrm{e}^{t}}{t} = + \infty$.

Démontrer que $\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0$.



\medskip

\textcolor{red}{\textbf{Partie B} }

On considère la fonction $f$ définie sur $[1~;~+ \infty[$ par \[f(x) = x -\frac{\ln(x)}{x}. \]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $[1~;~+ \infty[$ par \[g(x) =  x^2  -1 + \ln(x).\]

Montrer que la fonction $g$ est positive sur $[1~;~+ \infty[$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x$ de $[1~;~+ \infty[$, $f^{\prime}(x) =
    \frac{g(x)}{x^2}$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $[1~;~+ \infty[$.
		\item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ est une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$.
		\item Étudier la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la droite $\mathcal{D}$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, on note  respectivement $M_k$ et $N_k$ les points d'abscisse $k$ de  $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à $2$, la distance $M_kN_k$ entre les points $M_k$ et $N_k$ est donnée par $M_kN_k = \dfrac{\ln(k)}{k}$.
		\item Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier $k_0$ supérieur ou égal à $2$ tel que la distance $M_kN_k$ soit inférieure ou égale à $10^{-2}$.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2018}}
Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir
$\theta$ par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse
pas $1,6$ mètre.

Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air mais dans un
fluide, le modèle parabolique usuel n'est pas adopté.

On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un
plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie
sur l'intervalle [0~;~1[ par:

\[f(x) = bx + 2\ln (1- x)\]

où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l'abscisse
du projectile, $f(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.

\psset{unit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.15,-0.15)(1.1,1.7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.15pt](0,0)(1.1,1.7)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(1.1,1.7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.932}{5.69 x mul 1 x sub ln 2 mul add}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0.4,1.5)
\psarc(0,0){0.15}{0}{72}
\end{pspicture*}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~1[. On note $f'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Montrer que , pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1[ :
\[f'(x) = \dfrac{- bx + b - 2}{1 - x}.\]

\item En déduire que la fonction $f$ possède un maximum sur l'intervalle [0~;~1[.

\item Montrer que le maximum de la fonction $f$ est égal à $b - 2 + 2\ln \left(\dfrac{2}{b}\right)$.
\end{enumerate}
\item  Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $b$ la hauteur maximale du projectile ne dépasse
pas $1,6$~mètre.
\item  Dans cette question, on choisit $b = 5,69$.

L'angle de tir $\theta$ correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la
fonction $f$ au point d'abscisse $0$ comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus.

Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\theta$.
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Constante d'Euler}}
l'objectif est de montrer que les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$, définies pourtout entier naturel $n$ non nul, par : 
\[u_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}-\ln(n)\text{ et }v_n=u_n-\dfrac{1}{n}\]
convergent vers une limite commune $\gamma$ appelée constante d'Euler.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul :
\[u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}+\ln\left(\dfrac{n}{n+1}\right).\]

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\left[1~;~+\infty\right[$ par : \[f(x)=\dfrac{1}{x+1}+\ln\left(\dfrac{x}{x+1}\right).\]
Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, étudier son sens de variation sur $[1~;~+\infty[$ et en déduire son signe sur $[1~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pout tout entier naturel $n$ non nul : \[v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{n}-\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right).\]

\item Quel est le sens de variation de la suite $\left(v_n\right)$ ?
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout $n$ non nul, $v_n\leqslant u_n$.

\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est minorée, que la suite $\left(v_n\right)$ est majorée, que ces deux suites convergent et qu'elles ont la même limite.\\
Cette limite commune est appelée constante d'Euler est notée $\gamma$.
\end{enumerate}

\item Déterminer une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-2}$ près.



\end{enumerate}


\newpage



\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  