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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de bac (2)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Polynésie septembre 2020}}
Soit ABCDEFGH un cube. L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{\text{AB}}, \overrightarrow{\text{AD}}, \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(9,10)
\pspolygon(0.5,1.4)(6,0.5)(6,6.2)(0.5,7.1)%ABFE
\psline(6,0.5)(8.5,3)(8.5,8.7)(6,6.2)%BCGF
\psline(8.5,8.7)(3,9.6)(0.5,7.1)%%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.4)(3,3.9)(8.5,3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](3,9.6)(3,3.9)%DH
\uput[d](0.5,1.4){A} \uput[d](6,0.5){B} \uput[r](8.5,3){C} \uput[ul](3,3.9){D} 
\uput[ul](0.5,7.1){E} \uput[u](6,6.2){F} \uput[ur](8.5,8.7){G} \uput[u](3,9.6){H} 
\end{pspicture}
\end{center}

Pour tout réel $t$, on considère le point $M$ de coordonnées $(1 - t~;~ t~;~t)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que pour tout réel $t$, le point $M$ appartient à la droite (BH).
\end{enumerate}

On admet que les droites(BH) et (FC) ont respectivement pour représentation paramétrique:


\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1-t\\
y &=&t\\
z&=&t
\end{array}\right.  \text{où}\: t \in \mathbb{R}\quad 
\text{et} \: \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1\\
y &=&t'\\
z&=&1- t'
\end{array}\right. \text{où}\: t' \in \mathbb{R}.\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que les droites (BH) et (FC) sont orthogonales et non coplanaires.
\item Pour tout réel $t'$, on considère le point $M'(1; t'; 1 - t')$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tous réels $t$ et $t'$,\: $MM'^2 =3\left(t- \frac{1}{3}\right)^2  + 2 \left(t'- \frac{1}{2}\right)^2  + \frac{1}{6}$.
		\item Pour quelles valeurs de $t$ et de $t'$ la distance $MM'$ est-elle minimale ? Justifier.
\item On nomme P le point de coordonnées $\left(\frac{2}{3}~;~\frac{1}{3}~;~\frac{1}{3}\right)$et Q celui de coordonnées $\left(1~;~\frac{1}{2}~;~\frac{1}{2}\right)$.

Justifier que la droite (PQ) est perpendiculaire aux deux droites (BH) et (FC).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2019}}
On relie les centres de chaque face d'un cube ABCDEFGH pour former un solide IJKLMN comme sur la figure ci-dessous.

%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[x={(-3:73mm)},y={(26:32mm)},z={(90:74mm)}]
%\coordinate (A) at (0,0,0);
%\coordinate (B) at (1,0,0);
%\coordinate (C) at (1,1,0);
%\coordinate (D) at (0,1,0);
%\coordinate (E) at (0,0,1);
%\coordinate (F) at (1,0,1);
%\coordinate (G) at (1,1,1);
%\coordinate (H) at (0,1,1);
%\coordinate (I) at (0.5,0.5,0);
%\coordinate (J) at (1,0.5,0.5);
%\coordinate (K) at (0.5,1,0.5);
%\coordinate (L) at (0,0.5,0.5);
%\coordinate (M) at (0.5,0,0.5);
%\coordinate (N) at (0.5,0.5,1);
%	
%\draw (A) node [left]{A} -- (B) node [below right]{B} --
%(C) node [right]{C} -- (D) node [above left]{D}--cycle
%(E) node [left]{E} -- (F) node [below right]{F} --
%(G) node [right]{G} -- (H) node [above left]{H}--cycle
%(A)--(E) (B)--(F) (C)--(G) (D)--(H);
%	
%\draw[line width=1pt] (I) node [below right] {I} --(J) node [right] {J}--(N)  node [above] {N}--(L)  node [left] {L}--cycle
%	(L)--(M) node [below left] {M}--(J) (N)--(M)--(I);
%\draw[line width=1pt, dashed] (J)--(K) node [above right] {K} --(L) (N)--(K)--(I);
%\end{tikzpicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\small
\psset{unit=0.6cm,radius=0pt}
\def\xmin {-1}   \def\xmax {11}
\def\ymin {-1}   \def\ymax {11}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=2, gridlabels=0, gridcolor=gray]
%%% définitions des points
\Cnode*(0,1){A} \uput[dl](A){A}
\Cnode*(7.5,0.5){B} \uput[dr](B){B}
\Cnode*(10.5,2){C} \uput[r](C){C}
\Cnode*(3,2.5){D} \uput[ul](D){D}
\Cnode*(0,8.5){E} \uput[ul](E){E}
\Cnode*(7.5,8){F} \uput[dr](F){F}
\Cnode*(10.5,9.5){G} \uput[r](G){G}
\Cnode*(3,10){H} \uput[u](H){H}
%%% tracé du cube
{
\psset{linewidth=0.4pt,linecolor=gray}
\psline(A)(B)(C)(D)(A)(E)(F)(G)(H)(E)
\psline(D)(H)
\psline(B)(F)
\psline(C)(G)
}
%%% définitions des milieux
\Cnode*(5.25,1.5){I} \uput[-80](I){I}%%% milieu de [AC]
\Cnode*(9,5){J} \uput[r](J){J}%%% milieu de [CF]
\Cnode*(5.25,9){N} \uput[u](N){N}%%% milieu de [EG]
\Cnode*(1.5,5.5){L} \uput[l](L){L}%%% milieu de [AH]
\Cnode*(3.75,4.5){M} \uput[dl](M){M}%%% milieu de [AF]
\Cnode*(6.75,6){K} \uput[ur](K){K}%%% milieu de [CH]
%%% tracé du polyèdre
\psline(I)(J)(N)(L)(I)
\psline(L)(M)(N)
\psline(I)(M)(J)
\psset{linestyle=dashed}
\psline(L)(K) \psline(K)(N)
\psline(I)(K) \psline(K)(J)
\end{pspicture}
}%%% fin du small
\end{center}

Plus précisément, les points I, J, K, L, M et N sont les centres respectifs des faces carrées ABCD, BCGF, CDHG, ADHE, ABFE et EFGH (donc les milieux des diagonales de ces carrés).

\medskip
 
\begin{enumerate}
	\item Sans utiliser de repère (et donc de coordonnées) dans le raisonnement mené, justifier que les droites (IN) et (ML) sont orthogonales.
\end{enumerate}

\medskip

Dans la suite, on considère le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}}~;~\overrightarrow{\text{AD}}~;~\overrightarrow{\text{AE}}\right) $ dans lequel, par exemple, le point N a pour coordonnées $\left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{1}{2}~;~1\right) $.

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
	\item 
		\begin{enumerate}
			\item Donner les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{\text{NC}} $ et $ \overrightarrow{\text{ML}} $.\index{géométrie dans l'espace}			
			\item En déduire que les droites (NC) et (ML) sont orthogonales.			
			\item Déduire des questions précédentes une équation cartésienne du plan (NCI).\index{equation de plan@équation de plan}
	\end{enumerate}	
\item 
\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan (NJM) est : $x - y + z = 1 $.\index{equation de plan@équation de plan}		
		\item La droite (DF) est-elle perpendiculaire au plan (NJM)? Justifier.		
		\item Montrer que l'intersection des plans (NJM) et (NCI) est une droite dont on donnera un point et un vecteur directeur. 
Nommer la droite ainsi obtenue en utilisant deux points de la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  