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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Contrôle sur la fonction $\boldmath{\ln}$}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{1,5 points}}
Simplifier les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[a)]

\item $\ln\left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)$

\item $\ln\left(\dfrac{1}{3}\right)+\ln\left(\dfrac{3}{5}\right)+\ln\left(\dfrac{5}{7}\right)+\ln\left(\dfrac{7}{9}\right)$

%\item $\ln\left[\left((2+\sqrt{3}\right)^{20}\right]+\ln\left[\left[(2-\sqrt{3}\right)^{20}\right]$
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{3 points}}

\begin{enumerate}[a)]
\item Exprimer en fonction de $\ln 2$ les nombres suivants :\\
 $A=\ln 8$\hspace{1cm}$B=\ln \dfrac{1}{16}$\hspace{1cm}$C=\ln\sqrt{8}$

\item Exprimer en fonction de $\ln 2$ et $\ln 3$ les réels suivants : \\
$A=\ln 24$\hspace{1cm}$B=\ln \dfrac{8}{9}$
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{3 points}}
Résoudre les équations suivantes :

\begin{enumerate}[a)]
\item $\ln(3x)=7$

%\item $\ln x=-7$

%\item $\ln(3x-5)=0$

\item $\ln\left(x^2-1\right)=\ln 2+\ln 4$
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{3,5 points}}
On considère l'inéquation \[\ln(5-x)-\ln 3+\ln(x-1)\geqslant 0.\]
\begin{enumerate}
\item Trouver l'ensemble de définition $\mathscr{D}$.

\item  Résoudre alors cette inéquation.
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{2,5 points}}

Calculer les dérivées des fonctions suivantes sur les ensembles indiqués :

\begin{enumerate}[a)]

\item $f(x)=x\ln(x)-x$ sur $\mathscr{D}=]0~;~+\infty[$.

%\item  $f(x)=2x+\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)$ sur $\mathscr{D}=]-\infty~;~-1[ \cup ]0~;~+\infty[$.

\item $g(x) =\dfrac{x+\ln x}{x^2}$ sur $\mathscr{D}=]0~;~+\infty[$
\end{enumerate}

\subsection{\hfill \textcolor{blue}{6,5 points}}
On considère la fonction f définie sur $]0~;~+\infty[$ par : \[f(x) = \mathrm{e}^{x} - \ln x.\]
On appelle $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de la fonction $g$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par : $g(x) = x\mathrm{e}^{x} - 1$.

\item Calculer $\lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)$.

\item Montrer que l’équation $x\mathrm{e}^{x} = 1$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\mathbb{R}^+$.\\
 Donner un encadrement de $\alpha$ d’amplitude $10^{-3}$.

\item Préciser le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en 0.

\item Montrer que $f(x)$ peut se mettre sous la forme $f(x)=\mathrm{e}^{x}\left(1-\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}\times \dfrac{\ln x}{x}\right)$.\\
En déduire la limte de $f(x)$ en$+\infty$.

\item Déterminer $f'$ et montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x}$.

\item En déduire les variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ puis dresser son tableau de variation.

\item  Montrer que $f$ admet un minimum $m= f(\alpha)$ et que $m=\alpha+\dfrac{1}{\alpha}$.\\
Justifier que : $2,32\leqslant m\leqslant  2,34$.
\end{enumerate}


\item Donner une équation de la tangente $T$ à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse 1.

\item Sur la courbe ci-dessous,  tracer la courbe $\mathscr{C}_f$ et la tangente $T$.

\item \textbf{\textcolor{red}{Question faculative (1 point)}}\\
Étudier la convexité de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ ; en déduire la position de $\mathscr{C}_f$ par rapport à la tangente $T$.

\end{enumerate}

\end{multicols}

\begin{center}
\psset{xunit=2,yunit=0.9,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.5)(3,9)
\psset{xunit=2,yunit=1}
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=0.5,Dy=1]{->}(0,0)(0,-0.5)(2,9)
\multido{\n=0+0.25}{9}{\psline(\n,0)(\n,9)}
\multido{\n=0+.5}{19}{\psline(0,\n)(2,\n)}
\multido{\n=0+1}{2}{\psline[linewidth=1.2pt](\n,0)(\n,9)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=1.2pt](0,\n)(2,\n)}
\uput[d](2,0){2,0}
%\psplot[plotpoints=400]{0.01}{2}{EXP(x)-log(x)}
%\psplot{0}{2}{1.718282*x+1}
\end{pspicture}

\end{center}


\label{fin}
\end{document}  