\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité-Terminale : contrôle de géométrie dans l'espace}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.\\
On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}5\\-1\\2\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que ces deux vecteurs définissent un plan $\mathscr{P}$.

\item Le vecteur $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$ est-il normal au plan $\mathscr{P}$ ?
\end{enumerate}

\subsection{}
Donner une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$, passant par A(1~;~2~;~5) et ayant pour vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}$.

\subsection{}
On considère un repère orthonormé de l'espace.\\
Soient $d$ la droite passant par $A(1~;~-7~;~4)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\-2\\7\end{pmatrix}$ et $d'$ la droite passant par $B(0~;~3~;~1)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-10\\2\\2\end{pmatrix}$.\\
Les droites $d$ et $d'$ sont-elles orthogonales ?

\subsection{}
$A$, $B$ et $C$ sont trois points de l'espace tels que $AB=3$, $AC=6$ et $\widehat{BAC}=60\text{\degre}$.\\
Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

\subsection{}
On considère un repère orthonormé de l'espace.\\
On considère les points $A$, $B$ et $C$ tels que :\\
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\3\\7\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

\item Calculer $AB$ et $AC$.

\item En déduire une mesure de  l'angle $\widehat{BAC}$ à 0,1\degre près.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soient $\mathscr{P}_1$ le plan d'équation cartésienne \\
$10x+y-2z-2=0$ et $\mathscr{P}_2$ le plan d'équation \\
$-x+6y+2z-2=0$.\\
Ces deux plans sont-ils perpendiculaires ?


\subsection{}
Soient $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D_2}$ deux droites de l'espace dont des représentations paramétriques sont :\\
$\mathscr{D}_1~: \begin{cases}x=-3t+7\\y=t+4\\z=-2t+1\end{cases},~t\in\mathbb{R}$ et \\
$\mathscr{D}_2~: \begin{cases}x=3u-2\\y=2u+1\\z=-5u+9\end{cases},~u\in\mathbb{R}$.\\
Ces deux droites sont-elles sécantes ?

\subsection{}
On considère ke cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.\\
On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.
\begin{center}
\psset{unit=3}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.4,1.4)
%\psgrid
\psframe(0,0)(1,1)%ABFE
\psline(1,0)(1.35,0.35)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.35,0.35)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.35,0.35)(1.35,0.35)%DC
\psline[linestyle=dashed](0.35,0.35)(0.35,1.35)%DH
\psline(1.35,0.35)(1.35,1.35)%CG
\psline(0,1)(0.35,1.35)%EH
\psline(0.35,1.35)(1.35,1.35)%HG
\psline(1,1)(1.35,1.35)%FG
\uput[dl](0,0){A}\uput[dr](1,0){B}\uput[r](1.35,0.35){C}
\uput[l](0.35,0.35){D}\uput[l](0,1){E}\uput[ul](1.05,1){F}
\uput[ur](1.35,1.35){G}\uput[ul](0.35,1.35){H}
%\uput[u](0.5,1){I}
%\psdots[dotstyle=Bar,dotscale =1.8](0.5,1)(2,1)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray] (1,1)(2,1)\rput(2.05,1){J}
\psdots(0,0)(1,1)(0,1)(1,0)(1.35,0.35)(0.35,0.35)(1.35,1.35)(0.35,1.35)%AFEBCDIJGH
\end{pspicture}
\end{center}
On considère la droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases}x=-20t\\y=20t+1\\z=-20t\end{cases},~t\in\mathbb{R}$.\\
S'agit-il de la droite $(FD)$ ?

\subsection{}
On considère dans l'espace muni d'un repère le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $2x+3y-z+2=0$ et $\mathscr{Q}$ d'équation $x+y-2z+5=0$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que ces deux plans sont sécants.\\
On note $\Delta$ l'intersection de ces plans.

\item Déterminer une représentation paramétrique de  $\Delta$.
\end{enumerate}

\end{multicols}




\label{fin}
\end{document}  