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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité-Terminale : correction du contrôle de géométrie dans l'espace}}\end{center}



\subsection{}
L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}~;~\overrightarrow{k}\right)$.\\
On considère les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\-2\\4\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}5\\-1\\2\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que ces deux vecteurs définissent un plan $\mathscr{P}$.
$\dfrac{5}{1}=5$ et $\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}\neq 5$ donc ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires ; ils définissent bien un plan.

\item %Le vecteur $\overrightarrow{w}\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$ est-il normal au plan $\mathscr{P}$ ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u}=0\times 1+2\times (-2)+1\times 4=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{w}\perp \overrightarrow{u}}}$.

\item $\overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{v}=0\times 5+2\times (-1)+1\times 2=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{w}\perp \overrightarrow{v}}}$.
\end{enumerate}
$\overrightarrow{w}$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, donc au plan défini par ces deux vecteurs.\marginpar{2,5}
\end{enumerate}

\subsection{}
%Donner une équation cartésienne du plan $\mathscr{P}$, passant par A(1~;~2~;~5) et ayant pour vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}$.
Soit le plan $\mathscr{P}$, passant par A(1~;~2~;~5) et ayant pour vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}1\\-3\\5\end{pmatrix}$.\\
Une équation de ce plan est $1\left(x-x_A\right)-3\left(y-y_A\right)+5\left(z-z_A\right)=0\Leftrightarrow 1\left(x-1\right)-3\left(y-2\right)+5\left(z-5\right)=0\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x-3y+5z-20=0}}$\marginpar{2}


\subsection{}
On considère un repère orthonormé de l'espace.\\
Soient $d$ la droite passant par $A(1~;~-7~;~4)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\-2\\7\end{pmatrix}$ et $d'$ la droite passant par $B(0~;~3~;~1)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-10\\2\\2\end{pmatrix}$.\\
%Les droites $d$ et $d'$ sont-elles orthogonales ?
$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-10-4+14=0$ donc $\overrightarrow{u}\perp \overrightarrow{v}$.\\
Ces deux droites $d$ et $d'$ sont bien orthogonales.\marginpar{2}

\subsection{}
$A$, $B$ et $C$ sont trois points de l'espace tels que $AB=3$, $AC=6$ et $\widehat{BAC}=60\text{\degre}$.\\
%Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\widehat{BAC}\right)=3\times 6\times \dfrac{1}{2}=9$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=9}}$.\marginpar{2}

\subsection{}
On considère un repère orthonormé de l'espace.\\
On considère les points $A$, $B$ et $C$ tels que :\\
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\3\\7\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$.
\begin{enumerate}
\item %Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-1+6+21=\boxed{\textcolor{red}{26}}$.

\item %Calculer $AB$ et $AC$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $AB=\sqrt{(-1)^2+3^2+7^2}=\sqrt{1+9+49}=\boxed{\textcolor{red}{\sqrt{59}}}$.

\item $AC=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}$.
\end{enumerate}

\item %En déduire une mesure de  l'angle $\widehat{BAC}$ à 0,1\degre près.
On sait que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times \cos\left(\widehat{BAC}\right)$ donc :\\
$ \cos\left(\widehat{BAC}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=\dfrac{26}{\sqrt{59}\times \sqrt{14}}$ donc $\widehat{BAC}\approx \boxed{\textcolor{red}{25,22~\text{\degre}}}$
\end{enumerate}\marginpar{3}

\subsection{}
Soient $\mathscr{P}_1$ le plan d'équation cartésienne $10x+y-2z-2=0$ et $\mathscr{P}_2$ le plan d'équation $-x+6y+2z-2=0$.\\
%Ces deux plans sont-ils perpendiculaires ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{n_1}\begin{pmatrix}10\\1\\-2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathscr{P}_1$.

\item $\overrightarrow{n_2}\begin{pmatrix}-1\\6\\2\end{pmatrix}$ est un vecteur normal à $\mathscr{P}_2$.
\end{enumerate}
$\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=-10+6-4=-8\neq 0$.\\
Cs deux vecteurs ne sont pas orthogonaux ; les deux plans ne sont pas perpendiculaires.\marginpar{2}

\subsection{}
Soient $\mathscr{D}_1$ et $\mathscr{D_2}$ deux droites de l'espace dont des représentations paramétriques sont :\\
$\mathscr{D}_1~: \begin{cases}x=-3t+7\\y=t+4\\z=-2t+1\end{cases},~t\in\mathbb{R}$ et \\
$\mathscr{D}_2~: \begin{cases}x=3u-2\\y=2u+1\\z=-5u+9\end{cases},~u\in\mathbb{R}$.\\
%Ces deux droites sont-elles sécantes ?
Pour savoir si ces deux droites sont sécantes, on cherche si elles ont un point d'intersection, en résolvant le sustème formé par ces deux représentations paramétriques.\\
$\begin{cases}-3t+7=3u-2~\left(L_1\right)\\t+4=2u+1~\left(L_2\right)\\-2t+1=-5u+9~\left(L_3\right)\end{cases}$.\\
$L_2$ donne $t=2u-3$.\\
Òn remplace $t$ par $2u-3$ dans $\left(L_1\right)$ et $\left(L_3\right)$.\\
On obtient : \\
$\begin{cases}-3(2u-3)+7=3u-2\\-2(2u-3)+1=-5u+9\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}-9u=-18\\u=2\end{cases}\Leftrightarrow u=2\\u=3$.\\
On en déduit $t=2u-2=1$.\\
Ces deux représentations paramétriques donnent le même point pour $u=2$ et $t=1$.\\
Les deux droites sont sécantes ; leur intersection est $\boxed{\textcolor{red}{A(4~;~5~;~-1)}}$\marginpar{2}

\subsection{}
On considère ke cube $ABCDEFGH$ représenté ci-dessous.\\
On se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.
\begin{center}
\psset{unit=3}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(1.4,1.4)
%\psgrid
\psframe(0,0)(1,1)%ABFE
\psline(1,0)(1.35,0.35)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.35,0.35)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.35,0.35)(1.35,0.35)%DC
\psline[linestyle=dashed](0.35,0.35)(0.35,1.35)%DH
\psline(1.35,0.35)(1.35,1.35)%CG
\psline(0,1)(0.35,1.35)%EH
\psline(0.35,1.35)(1.35,1.35)%HG
\psline(1,1)(1.35,1.35)%FG
\uput[dl](0,0){A}\uput[dr](1,0){B}\uput[r](1.35,0.35){C}
\uput[l](0.35,0.35){D}\uput[l](0,1){E}\uput[ul](1.05,1){F}
\uput[ur](1.35,1.35){G}\uput[ul](0.35,1.35){H}
%\uput[u](0.5,1){I}
%\psdots[dotstyle=Bar,dotscale =1.8](0.5,1)(2,1)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray] (1,1)(2,1)\rput(2.05,1){J}
\psdots(0,0)(1,1)(0,1)(1,0)(1.35,0.35)(0.35,0.35)(1.35,1.35)(0.35,1.35)%AFEBCDIJGH
\end{pspicture}
\end{center}
On considère la droite dont une représentation paramétrique est $\begin{cases}x=-20t\\y=20t+1\\z=-20t\end{cases},~t\in\mathbb{R}$.\\
%S'agit-il de la droite $(FD)$ ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $F(1~;~0~;~1)$ ; $F$ vérifie cette représentation paramétrique avec $t=-\dfrac{1}{20}$.

\item $D(0~;~1~;~0)$ ; $D$ vérifie cette représentation paramétrique avec $t=0$. 
\end{enumerate}
La droite dont nous avons la représentation paramétrique passe par $F$ et $D$ ; c'est bien la droite $(FD)$.\marginpar{2}

\subsection{}
On considère dans l'espace muni d'un repère le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $2x+3y-z+2=0$ et $\mathscr{Q}$ d'équation $x+y-2z+5=0$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que ces deux plans sont sécants.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\mathscr{P}$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}2\\3\\-1\end{pmatrix}$

\item $\mathscr{Q}$ a pour vecteur normal $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$
\end{enumerate}
Ces deux vecteurs ne sont clairement pas colinéaires, donc ces deux plans ne sont pas parallèles.\\
Ils sont sécants.\\
On note $\Delta$ l'intersection de ces plans.

\item %Déterminer une représentation paramétrique de  $\Delta$.
$M(x~;~y~;~z)\in \Delta\Leftrightarrow \begin{cases}2x+3y-z+2=0\\x+y-2z+5=0\end{cases}$.\\`
Prenons $z$ comme paramètre.\\
Le système s'écrit alors :\\
$\begin{cases}z=t\\2x+3y=t-2\\x+y=2t-5\end{cases}~,t\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \begin{cases}z=t\\2x+3y=t-2\\2x+2y=4t-10\end{cases},~t\in\mathbb{R}$.\\
En soustrayant les deux dernières lignes, il vient :\\
$y=-3t+8$.\\
On remplace dans l'équation $x+y=2t-5$ ; il vient $x=2t-5-y=2t-5-(-3t+8)=5t-13$.\\
Conclusion : $\Delta$ a pour représentation paramétrique : $\boxed{\textcolor{red}{\begin{cases}x=5t-13\\y=-3t+8\\z=t\end{cases},~t\in\mathbb{R}}}$.\\
On peut préférer prendre $x$ ou. $y$ comme paramètre !
\end{enumerate}\marginpar{2,5}

\label{fin}
\end{document}  