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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}.\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Fonction exponentielle}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection{}


\subsection*{\textcolor{blue}{Activité A page 176}}

\subsubsection{\textcolor{red}{La fonction }exponentielle}

\subsection{\textcolor{blue}{Définition et propriétés algégriques}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Il existe une fonction $f$ et une seule définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que : \\
pour tout réel x, $f ’(x) = f (x)$ et $f (0) =1$.\\
Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée $\exp : x → \exp(x)$
\end{bclogo}
\textbf{Démonstration} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'existence est admise

\item Unicité :\\
Montrons d'abord que $f$ ne s'annule pas.\\
On définit la fonction $h$ par $h(x)=f(-x)\times f(x)$.\\
$f(-x)=f(ax+b)$ avec $a=-1$ et $b=0$ donc la dérivée de $u : x\mapsto f(-x)$ est $u'(x)=-f'(-x)$.\\
$h=uf$ avec $u(x)=f(-x)$.\\
$h'=u'f+uf'$ d'où $h'(x)=-f'(-x)\times f(x)+f(-x)\times f(x)=0$.\\
Comme $h'=0$, $h$ est \textbf{\textcolor{red}{constante}}.\\
Pour tout $x$, $h(x)=h(0)=\left[f(0)\right]^2=1^2=1$ donc $f(-x)f(x)=1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.\\
$f$ ne peut pas s'annuler, sinon il existerait ue valeur de $x$ pour laquelle on aurait $f(-x)f(x)=0$.

\bigskip
Supposons qu'il existe une autre fonction $g$ vérifiant $\begin{cases}g'=g\\g(0)=1\end{cases}$\\
Considérons alors la fonction $k=\dfrac{f}{g}$.\\
$k$ est définie sur $\mathbb{R}$ puisque $g$ ne s'annule pas.\\
$k'=\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{fg-fg}{g^2}=0$ car $f'=f$ et $g'=g$.\\
$k'=0$ donc $k$ est \textbf{constante}.\\
$k(0)=\dfrac{f(0)}{g(0)}=\dfrac{1}{1}=1$.\\
Puisque $\dfrac{f}{g}=1$, pour tout $x$, $\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$ donc $f(x)=g(x)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{f=g}}$.\\
IL n'y a donc qu'une seule fonction possible.
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{red}{Propriétés algébriques}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Relation fonctionnelle}}
Pour tous réels $x$ et $y$, on a $\exp(x + y) = \exp(x) \times  \exp(y)$.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration}} :\\
Soit $y$ un bel fixé, quelconque.\\
On définit la fonction $g : x\mapsto \dfrac{\exp[x+y]}{\exp(x)}$. La variable est donc $x$.\\
$g=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=\exp(x+y)\\v(x)=\exp(x)\end{cases}$.\\
$g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=1\times u'(x+y)=\exp'(x+y)=\exp(x+y)\\v'(x=\exp'(x)=\exp(x))$.\\
Alors : $g'(x)=\dfrac{\exp(x+y)\times \exp(x)-\exp(x)\times \exp(x+y)}{\left[\exp(x)\right]^2}=0$.\\
$g'=0$ donc $g$ est constante. Cette constante vaut $g(0)=\dfrac{\exp(y)}{\exp(0)}=\exp(y)$.\\
Donc, pur tout $x$, $\dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)}=\exp(y)$ d'où $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)}}$

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Pour tous nombres $x$ et $y$, $\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$
\end{bclogo}

\bigskip

Démonstration :\\
$\exp(x)=\exp((x-y)+y)=\exp(x-y)\times \exp(y)$ donc $\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$.

\subsubsection{\textcolor{red}{Lien avec les suites géométrique}s}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $a$ un réel et $\left(u_n\right)$ la suite de terme général $\exp(na)$ où $n$ est un entier naturel.\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $\exp(a)$.

\item  Pour tout entier $n$ et tout réel $a$, $\exp(na) = (\exp(a))^n$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration:}}.\\
Pour tout $n$, $u_ {n+1}=\exp((n+1)a)=\exp(a+na)=\exp(a)\times \exp(na)=\exp(a)\times u_n$.\\
La suite $\left(u_n\right)$ est bien géométrique, de raison $q=\exp(a)$ et de premier terme $\exp(0)=1$.\\
Alors $u_n=u_0q^n=1\times \left(\exp(a)\right)^n=\left(\exp(a)\right)^n$.

\subsubsection{\textcolor{red}{Notation $\mathrm{e}^{x}$}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition et notation}}
On note $\mathrm{e}=\exp(1)$.\\
On a $\mathrm{e}\numprint{2,718281828459045\cdots}$ ; $\mathrm{e}\approx 2,72$ suffit dans la plupart des cas.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : D'après une propriété précédente, on a $\exp(n)=\exp(n\times 1)=\exp(1)^n=\mathrm{e}^{n}$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Notation}}
Par extension de la notation. Précédente à l'ensemble des réels, on pose :
\begin{center}
Pour tout frêle $x$ : $\exp(x)=\mathrm{e}^{x}$
\end{center}
\end{bclogo}

\label{fin}
\end{document}  