\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}
\title{\textcolor{red}{Équations et inéquations du second degré}}
\date{}

\begin{document}
\maketitle

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Quelques exemples préliminaires}}

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $x^2-36=0$.\\
$x^2-36=0$ s'écrit $x^2-6^2=0$ soit $(x+6)(x-6)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul. L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-6~;~6\}}}$.

\item Résoudre l'équation $x^2-7=0$.\\
$x^2-36=0$ s'écrit $x^2-\sqrt{7}^2=0$ soit $(x+\sqrt{7})(x-\sqrt{7})=0$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-\sqrt{7}~;~\sqrt{7}\}}}$.

\item Résoudre l'équation : $x^2+5=0$.\\
Pour tout $x$, $x^2\geqslant 0$ donc $x^2+5\geqslant 5$ et ne peut s'annuler : l'équation n'a pas de solution. $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$.

\item Soit l'équation $x^2+6x+9=0$.\\
$x^2=6x+9=x^2+1\times x\times 3+3^2$ donc on reconnaît une identité remarquable : $x^2=6x+9=(x+3)^2$.\\
L'équation s'écrit : $(x+3)^2=0$ qui a pour solution $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3\}}}$.

\item Soit l'équation $x^2+5x+6=0$.\\
On voit $x^2+5x$ comme le début d'une identité remarquable.\\
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ donc $a^2+2ab=(a+b)^2-b^2$.\\
Or : $x^2+4x=x^2+2\times \dfrac{5}{2}x=a^2+2ab$ en posant $\begin{cases}a=x\\b=\dfrac{5}{2}\end{cases}$.\\
D'où : $x^2+5x=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)-\dfrac{25}{4}$.
Par conséquent : $x^2+5x+6=\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{25}{6}+6=\boxed{\textcolor{red}{\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}}}$.\\
On peut alors résoudre l'équation :\\
$x^2+5x+6=0\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=0$ et on factorise avec la troisième identité remarquable :\\
On en déduit : $\left[\left(x+\dfrac{5}{2}\right)+\dfrac{1}{2}\right]\left[\left(x+\dfrac{5}{2}\right)-\dfrac{1}{2}\right]=0\Leftrightarrow (x+3)(x+2)=0$.\\
L'ensemble des solutions est : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-3~;~-2\}}}$.


\newpage
\item Soit l'équation $x^2-3x+11=0$.\\
On essaye de faire apparaître le début d'une identité remarquable.\\
On sait que $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ donc $a--2ab=(a-b)^2-b^2$\\
$x^2-3x=x^2-2\times \dfrac{3}{2}x=a^2-2ab$ en posant $\begin{cases}a=x\\b=\dfrac{3}{2}\end{cases}$.\\
Alprs : $x^2-3x=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\left(xc-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}$.\\
L'équation $x^2-3x+11=0$ s'écrit alors : $\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{9}{4}+11=0$.\\
D'où : $\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{35}{4}=0$
Cette équation n'a pas de solution, car $\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{35}{4}>0$ (somme d'un nombre supérieur ou égal à 0 avec un nombre strictement positif).\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$
\end{enumerate}

\noindent On constate sur quelques exemples qu'une équation du type $ax^2+bx+c=0$ peut avoir deux solutions, une solution ou aucune.\\

\noindent On va voir dans la suite comment connaître le nombre de solutions et comment les calculer directement (si elles existent).

\subsection{\textcolor{red}{Résolution de l'équation $\mathbf{ax^2+bx+c=0}$}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Résolution}}


\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle équation du second degré toute équation du type $ax^2+bx+c=0$, où $a$, $b$ et $c$ sont des réels donnés, avec $a\neq 0$
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
L'expression $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s'écrire sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$  avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$. Cette forme est appelée \textbf{forme canonique}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration  :}}\\
$ax^2+bx+c=a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c=a\left[ \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2\right]+c=a\left(x-\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+c=\boxed{\textcolor{red}{a(x-\alpha)+\beta}}$ en  posant $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ ;\\
on a alors  $\beta=-\dfrac{b^2}{4a}+c=f(\alpha)$, car en remplaçant $x$ par $\alpha$ dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, on trouve  $\beta$.

 
\bigskip
On remarque que : $f(x)=a(x-\alpha)-\dfrac{b^2}{4a}+c=a\left(x-\alpha\right)^2-\dfrac{b^2}{4a}+\dfrac{4ac}{4a}=\boxed{\textcolor{red}{a(x-\alpha)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}}}$.\\
 On pose $\boxed{\textcolor{red}{\Delta=b^2-4ac}}$. (qu'on apelle discriminant).\\
 
 L'équation s'écrit : $\boxed{\textcolor{red}{a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}\right]=0}}$.
 
\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : puisque $a\neq 0$, on peut simplifier par $a$.

\bigskip

\noindent L'équation devient : $\boxed{\textcolor{red}{\mathbf{\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}}=0}}$

\bigskip

\noindent \textbf{Tout dépend alors du signe de $\mathbf{\Delta}$ }:\\

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textcolor{blue}{\textbf{Premier cas } $\mathbf{\Delta <0}$ :}\\
Alors : $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\left(\dfrac{-\Delta}{4a^2}\right)>0$ (car le premier terme étant le carré d'un nombre réel, il est positif ou nul et le second terme est strictement positif) donc \textbf{\textcolor{red}{l'équation n'a pas de solution}.}\\\\


\item \textcolor{blue}{\textbf{Second cas } $\mathbf{\Delta=0} :$}\\
L'équation devient : $\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=0$ qui a pour solution : $x=-\dfrac{b}{2a}$.
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{x=-\dfrac{b}{2a}\right\}}}$


\item \textcolor{blue}{\textbf{Troisième cas}  $\mathbf{\Delta >0}$ :} \\
On a la différence de deux carrés donc on utilise la troisième identité remarquable : \\
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta}{4a^2}=0\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2=0 \Leftrightarrow \left[(x+\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]\left[(x+\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0\\
\Leftrightarrow \left[(x-\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right]\left[(x-\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right]=0$.\\\\
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : 
L'équation admet alors deux solutions : $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~;~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}}}$
\end{enumerate}

\textcolor{red}{{\bf Résumé :}} \\
\begin{center}
$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\rowcolor{yellow!50}\text{Signe de }\Delta&\text{Nombre de solutions}&\text{Solutions}\\
\hline
\cellcolor{red!30}\Delta <0&\text{pas de solution}&\mathscr{S}=\emptyset\\
\hline
\cellcolor{red!30}\Delta =0&\text{une solution}&\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{b}{2a}\right\}\\
\hline
\cellcolor{red!30}\Delta>0&\text{deux solutions}&\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~;~\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

\newpage


\textbf{\textcolor{blue}{Exemples d'application}}
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $3x^2+5x-2=0$.\\
C'est une équation du type $ax^2+bx+c=0$ avec $a=3$, $b=5$ et $c=-2$.\\
$\Delta=b^2-4ac=5^2-4\times 3\times (-2)=25+24=49>0$.\\
L'équation a donc deux solutions : $x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5-7}{6}=-2$ et $x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-5+7}{6}=\dfrac{1}{3}$\\
\begin{center}
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-2~;~\dfrac{1}{3}\right\}}}$

\end{center}
\item Résoudre l'équation : $5x^2+x-3$.\\
$\Delta=1^2-4\times 5\times (-3)=61>0$.\\
Comme $\Delta>0$, l'équation a deux solutions : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{\dfrac{-1-\sqrt{61}}{10}~;~\dfrac{-1+\sqrt{61}}{10}\right\}}}$

\item Résoudre l'équation : $x^2+10x+25=0$.\\
$\Delta=10^2-4\times 1\times 25=0$ donc l'expression est en fait une identité remarquable.\\
L'équation s'écrit : $\left(x+5\right)^2=0$ donc il n'y a qu'une solution : $\boxed{\mathscr{S}=\{-5\}}$

\item Soit l'équation : $x^2+x+1=0$.\\
$\Delta=1^2-4\times 1\times 1=-3<0$.\\
L'équation n'a pas de solution : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\emptyset}}$
\end{enumerate}
\vspace{1cm}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Factorisation de $ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$)}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit $f(x)=ax^2+bx+c$.\\
On pose $\Delta=b^2-4ac$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $\Delta<0$, $f(x)=ax^2+bx+c$ ne se factorise pas.

\item Si $\Delta=0$, $f(x)=ax^2+bx+c=a\left(x-\alpha\right)^2$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ (en fait, on commence par mettre $a$ en facteur et on reconnaît alors une identité remarquable)

\item Si $\Delta>0$, $f(x)=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$ avec $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}}

\begin{enumerate}
\item Soit $f(x)=3x^2-5x+7$ ; $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=3\\b=-5\\c=7\end{cases}$.\\
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4\times 3\times 7=25-84<0$ donc $f(x)$ ne se factorise pas dans $\mathbb{R}$.

\item Soit $f(x)=3 x^{2}-42 x+147$ .\\
On voit que les trois coefficients sont des multiples de 3.\\
Alors $f(x)=3\left(x^2-14x+49\right)=3\left(x^2-2\times x\times 7+7^2\right)=\boxed{\textcolor{red}{3(x-7)^2}}$.

\item Soit $f(x)=4x^2-8x-140=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=4\\b=-8\\c=-140\end{cases}$.\\
$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4\times 4\times (140)=64+2240=\numprint{2304}>0$.\\
Le polynôme a deux racines :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{8-\sqrt{\numprint{2304}}}{2\times 4}=\dfrac{8-48}{8}=-5$

\item $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2}=\dfrac{8+\sqrt{\numprint{2304}}}{2\times 4}=\dfrac{8+48}{8}=7$
\end{enumerate}
On en déduit que : $\boxed{\textcolor{red}{f(x)=4x^2-8x-140=4(x+5)(x-7)}}$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} :  il valait mieux factoriser avant !\\
$4x^2-8x-140=4\left(x^2-2x-35\right)$ et calculer le discriminant et les racines de $x^2-2x-35$.
\end{enumerate}

\subsection{Variations de $f : x\mapsto ax^2+bx+c$ ($a\neq 0$)}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $a>0$, $f : x\mapsto ax^2+bx+c$ est décroisante sur $\left]-\infty~;~-\dfrac{b}{2a}\right]$ et croissante sur $\left[-\dfrac{b}{2a}~;~+\infty\right[$.

\item Si $a<0$, $f : x\mapsto ax^2+bx+c$ est croisante sur $\left]-\infty~;~-\dfrac{b}{2a}\right]$ et décroissante sur $\left[-\dfrac{b}{2a}~;~+\infty\right[$.

\end{enumerate}
\end{bclogo}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

$a>0$

\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{2a}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\d&0&\c&\\
\hline
\end{variations}

$a<0$

\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{2a}&&\pI\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\h{0}&\d&\\
\hline
\end{variations}
\end{multicols}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} : 
Supposons que $a>0$.\\
La forme canonique de $f(x)$ est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
Montrons que $f$ est croissante sur $\left[-\dfrac{b}{2a}~;~+\infty\right[$.\\
Soient deux nombres $x_1$ et $x_2$, quelconques, appartenant à cet intervalle.\\
On suppose que $\alpha\leqslant x_1<x_2$.\\
Alors $0\leqslant x_1-\alpha<x_2-\alpha$.\\
Ce sont des nombres positifs, donc, comme la fonction carré est croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$, on a : \\
$0\leqslant \left(x_1-\alpha\right)^2<\left(x_2-\alpha\right)^2$.\\
$a>0$ donc $0\leqslant a\left(x_1-\alpha\right)^2<a\left(x_2-\alpha\right)^2$.  (En multipliant par $a$)\\
On ajoute $\beta$.\\
On obtient $\beta\leqslant \left(x_1-\alpha\right)^2+\beta<\left(x_2-\alpha\right)^2+\beta$.\\
Donc $\beta\leqslant f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.\\
$\alpha\leqslant x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$.\\
$f$ conserve l'ordre donc $f$ est croissante sur l'intervalle $[\alpha~;~+\infty[$.

\bigskip

Sur $]-\infty~;~\alpha]$, on utilise la même méthode :\\
Ce qui change, c'est que $x_1-\alpha$ et $x_2-\alpha$ sont négatifs et la fonction carré est décroissante sur les nombres négatifs.\\

\bigskip

On suppose que $x_1<x_2\leqslant \alpha$.\\
Alors $x_1-\alpha<x_2-\alpha\leqslant 0$.\\
Ce sont des nombres négatifs, donc, comme la fonction carré est décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~0]$, on a : \\
$\left(x_1-\alpha\right)^2>\left(x_2-\alpha\right)^2$.\\
$a>0$ donc $a\left(x_1-\alpha\right)^2>a\left(x_2-\alpha\right)^2\geqslant 0$.  (En multipliant par $a$)\\
On ajoute $\beta$.\\
On obtient $\left(x_1-\alpha\right)^2+\beta>\left(x_2-\alpha\right)^2+\beta\geqslant \beta$.\\
Donc $ f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.\\
$\alpha\leqslant x_1<x_2\Rightarrow f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$.\\
$f$ renverse l'ordre donc $f$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~\alpha]$.

\bigskip

Dans le cas où $a<0$, nous avons le même type de démonstration, en renversant les inégalités lorsque l'on multiplie par $a$.

Remarque : $f : x\mapsto a(x-\alpha)^2+\beta$ peut se décomposer en :\\
$x : \mapsto (x-\alpha)^2 \mapsto a(x-\alpha)^2 \mapsto a(x-\alpha)^2+\beta$.\\
Cela revient à faire successivement une translation horizontale, puis une \og{}dilation\fg{} puis une translation erticale.\\
On en déduit que $\mathscr{C}_f$ est une parabole.

\bigskip

Graphiquement, on a trois cas possibles, selon le signe de $\Delta$.\\
Supposons $\boxed{\textcolor{red}{a>0}}$



\begin{multicols}{3}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-3)(4,8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-3)(4,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-3)(4,8)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{.5}{3.5}{3*(x-2)^2+1}
\uput[u](2,5){$\Delta<0$}
\end{pspicture}

\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-3)(4,8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-3)(4,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-3)(4,8)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{.5}{3.5}{3*(x-2)^2}
\uput[u](2,5){$\Delta=0$}
\end{pspicture}

\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-3)(4,8)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-1,-3)(4,8)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-1,-3)(4,8)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{.5}{3.5}{3*(x-2)^2-2}
\uput[u](2,5){$\Delta>0$}
\end{pspicture}

\end{multicols}

Si $a<0$, on a les mêmes cas, avec une parabole trouvée vers le bas.

\subsection{\textcolor{red}{Signe de l'expression $\mathbf{ax^2+bx+c}$}}
On cherche le signe de $ax^2+bx+c$ en fonction de $x$.\\
Pour cela, on va utiliser les résultats obtenus précédemment.

\bigskip

On suppose que $\boxed{\textcolor{red}{a>0}}$.

On regarde ce qu'on a obtenu graphiquement.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\Delta<0$ : $ax^2+bx+c$ ne s'annule pas ; la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, donc $ax^2+bx+c>0$ pour tout $x.$

\item $\Delta=0$ : $ax^2+bx+c$ s'annule pour une seule valeur ; la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, avec un point de contact avec l'axe des abscisses, donc $ax^2+bx+c\geqslant 0$ pour tout $x$.

\item $\Delta>0$ : $ax^2+bx+c$ s'annule pour deux valeurs $x_1$ et $x_2$, en appelant $x_1$ la plus petite des deux racines ; 
On remarque que $ax^2+bx+c\geqslant 0$ sur $\left]-\infty~;~x_1\right]$ et sur $\left[x_2~;~+\infty\right[$ et $ax^2+bx+c\leqslant 0$ sur $\left[x_1~;~x_2\right]$.
\end{enumerate}

On a des signes opposés si $a<0$.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Résumé}} : 



$\Delta<0$

\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
f(x)&&\text{signe de }a&\\
\hline
\end{variations}

\bigskip

$\Delta=0$

\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{b}{2a}&&\pI\\
\hline
f(x)&&\text{signe de }a&\z&\text{signe de }a\\
\hline
\end{variations}

\bigskip

$\Delta>0$

\begin{variations}
x&\mI&&x_1&&x_2&&\pI\\
\hline
f(x)&&\text{signe de }a&\z&\text{signe de }-a&\z&\text{signe de }a\\
\hline
\end{variations}


\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemples}}


\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $3x^2-5x+12$.\\
$3x^2-5x+12=ax^2+bx+c$ avec $a=3$~;~$b=-5$ et $c=12$.
$\Delta=(-5)^2-4\times 3\times 12=25-144=-119<0$.\\
L'expression est du signe de $a=3$, donc positive, pour tout $x$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\pI\\
\hline
3x^2-5x+12&&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Étudier le signe de $4 x^{2}-\frac{24}{7} x+\frac{36}{49}$ :\\
$4 x^{2}-\frac{24}{7} x+\frac{36}{49}=ax^2+bx+c$ avec $a=4$~;~$b=-\dfrac{24}{7}$ et $c=\dfrac{36}{49}$.\\
$\Delta=\left(-\dfrac{24}{7}\right)^2-4\times 4\times \left(\dfrac{36}{49}\right)=\dfrac{576}{49}-\dfrac{576}{49}=0$.\\
L'expression a une racine : $x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-\frac{24}7}{8}=\dfrac{3}{7}$.\\
Elle s'annule pour $x=\dfrac{3}{7}$ et est du signe de $a=4$, donc positive, pour toutes les autres valeurs de $x$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{3}{7}&&\pI\\
\hline
4 x^{2}-\frac{24}{7} x+\frac{36}{49}&&+&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on sait d'après le cours que : $4 x^{2}-\frac{24}{7} x+\frac{36}{49}=a\left(x-x_0\right)^2=\boxed{\textcolor{red}{4\left(x-\dfrac{3}{7}\right)^2}}$.\\
On aurait pu factoriser ds le début :\\
$4 x^{2}-\frac{24}{7} x+\frac{36}{49}=4\left(x^2-\dfrac{6}{7}+\dfrac{9}{49}\right)=4\left[x^2-2\times x\times \dfrac{3}{7}+\left(\dfrac{3}{7}\right)^2\right]=4\left(x-\dfrac{3}{7}\right)^2$

\item Étudier le signe de $-5x^2+20x+105$\\
$-5x^2+20x+105=ax^2+bc+c$ avec $\begin{cases}a=-5\\b=20\\c=105\end{cases}$\\
$\Delta=20^2-4\times (-5)\times 105=400+\numprint{2100}=\numprint{2500}>0$.\\
L'expression a deux racines :\\
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-20-\sqrt{\numprint{2500}}}{-10}=\dfrac{-20-50}{-10}=7$\\
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-20+\sqrt{\numprint{2500}}}{-10}=\dfrac{-20+50}{-10}=-3$\\
L'expression est du signe de $-a=5>0$ à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et du signe de $a=-5<0$ entre les racines.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-3&&7&&\pI\\
\hline
-5x^2+20x+105&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Résoudre l'inéquation $3x^2-8x+2>0$.\\
$3x^2-8x+2=ax^2+bx+c$ avec $\begin{cases}a=3\\b=-8\\c=2\end{cases}$\\
$\Delta=(-8)^2-4\times 3\times 2=64-24=40>0$.\\
L'expression a deux racines :\\
$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-8)-\sqrt{40}}{6}=\dfrac{8-2\sqrt{10}}{6}=\dfrac{\cancel{2}\left(4-\sqrt{10}\right)}{\cancel{2}\times 3}=\dfrac{4-\sqrt{10}}{3}$\\
$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-(-8)+sqrt{40}}{6}=\dfrac{8+2\sqrt{10}}{6}=\dfrac{\cancel{2}\left(4+\sqrt{10}\right)}{\cancel{2}\times 3}=\dfrac{4+\sqrt{10}}{3}$.

\bigskip

On en déduit le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{4-\sqrt{10}}{3}&&\dfrac{4+\sqrt{10}}{3}&&\pI\\
\hline
3x^2-8x+2&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
On veut que $3x^2-8x+2>0$.\\
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~\dfrac{4-\sqrt{10}}{3}\right[ \cup \left]\dfrac{4+\sqrt{10}}{3}~;~+\infty\right[}}$

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  