<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}}.\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Fonction exponentielle}}\end{center}

\tableofcontents



\subsection*{\textcolor{blue}{ActivitÃ© A page 176}}

\subsection{\textcolor{blue}{La fonction exponentielle}}

\subsection{\textcolor{blue}{DÃ©finition et propriÃ©tÃ©s algÃ©briques}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Il existe une fonction $f$ et une seule dÃ©finie et dÃ©rivable sur $\mathbb{R}$ telle que : \\
pour tout rÃ©el x, $f â€™(x) = f (x)$ et $f (0) =1$.\\
Cette fonction est appelÃ©e fonction exponentielle et notÃ©e $\exp :  : x\mapsto \exp(x)$
\end{bclogo}

\textcolor{red}{\textbf{DÃ©monstration} }:
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'existence est admise

\item UnicitÃ© :\\
Montrons d'abord que $f$ ne s'annule pas.\\
On dÃ©finit la fonction $h$ par $h(x)=f(-x)\times f(x)$.\\
$f(-x)=f(ax+b)$ avec $a=-1$ et $b=0$ donc la dÃ©rivÃ©e de $u : x\mapsto f(-x)$ est $u'(x)=-f'(-x)$.\\
$h=uf$ avec $u(x)=f(-x)$.\\
$h'=u'f+uf'$ d'oÃ¹ $h'(x)=-f'(-x)\times f(x)+f(-x)\times f(x)=0$.\\
Comme $h'=0$, $h$ est \textbf{\textcolor{red}{constante}}.\\
Pour tout $x$, $h(x)=h(0)=\left[f(0)\right]^2=1^2=1$ donc $f(-x)f(x)=1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.\\
$f$ ne peut pas s'annuler, sinon il existerait ue valeur de $x$ pour laquelle on aurait $f(-x)f(x)=0$.

\bigskip
Supposons qu'il existe une autre fonction $g$ vÃ©rifiant $\begin{cases}g'=g\\g(0)=1\end{cases}$\\
ConsidÃ©rons alors la fonction $k=\dfrac{f}{g}$.\\
$k$ est dÃ©finie sur $\mathbb{R}$ puisque $g$ ne s'annule pas.\\
$k'=\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}=\dfrac{fg-fg}{g^2}=0$ car $f'=f$ et $g'=g$.\\
$k'=0$ donc $k$ est \textbf{constante}.\\
$k(0)=\dfrac{f(0)}{g(0)}=\dfrac{1}{1}=1$.\\
Puisque $\dfrac{f}{g}=1$, pour tout $x$, $\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$ donc $f(x)=g(x)$ d'oÃ¹ $\boxed{\textcolor{red}{f=g}}$.\\
IL n'y a donc qu'une seule fonction possible.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $\exp$ ne s'annule pas et $\exp(0)=1&gt;0$ donc, pour tout $x$, $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x)&gt;0}}$

\subsection{\textcolor{blue}{PropriÃ©tÃ©s algÃ©briques}}


\subsubsection{\textcolor{red}{Relation fonctionnelle}}


\begin{minipage}{12cm}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Relation fonctionnelle}}
Pour tous rÃ©els $x$ et $y$, on a $\exp(x + y) = \exp(x) \times  \exp(y)$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\textbf{\textcolor{blue}{DÃ©monstration}} :\\
Soit $y$ un bel fixÃ©, quelconque.\\
On dÃ©finit la fonction $g : x\mapsto \dfrac{\exp[x+y]}{\exp(x)}$. La variable est donc $x$.\\
$g=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=\exp(x+y)\\v(x)=\exp(x)\end{cases}$.\\
$g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $u'(x)=1\times u'(x+y)=\exp'(x+y)=\exp(x+y)\\v'(x=\exp'(x)=\exp(x))$.\\
Alors : $g'(x)=\dfrac{\exp(x+y)\times \exp(x)-\exp(x)\times \exp(x+y)}{\left[\exp(x)\right]^2}=0$.\\
$g'=0$ donc $g$ est constante. Cette constante vaut $g(0)=\dfrac{\exp(y)}{\exp(0)}=\exp(y)$.\\
Donc, pour tout $x$, $\dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)}=\exp(y)$ d'oÃ¹ $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)}}$

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : Pour $n$ nombres $xÂ°1$, $x_2$, \dots, $x_n$, on obtient en gÃ©nÃ©ralisant :\\
$\mathrm{e}^{x_1+x_2+\cdots+x_n}=\mathrm{e}^{x_1}\times \mathrm{e}^{x_2}\times \cdots\times \mathrm{e}^{x_n}$

\subsubsection{\textcolor{red}{Exponentielle d'une diffÃ©rence}}


\begin{minipage}{12cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Pour tous nombres $x$ et $y$, $\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$
\end{bclogo}

\end{minipage}
\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration}} :\\
$\exp(x)=\exp((x-y)+y)=\exp(x-y)\times \exp(y)$ donc $\exp(x-y)=\dfrac{\exp(x)}{\exp(y)}$.



\subsubsection{\textcolor{red}{Lien avec les suites gÃ©omÃ©trique}s}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Soit $a$ un rÃ©el et $\left(u_n\right)$ la suite de terme gÃ©nÃ©ral $\exp(na)$ oÃ¹ $n$ est un entier naturel.\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  La suite $\left(u_n\right)$ est une suite gÃ©omÃ©trique de premier terme $u_0 = 1$ et de raison $\exp(a)$.

\item  Pour tout entier $n$ et tout rÃ©el $a$, $\exp(na) = (\exp(a))^n$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration:}}.\\
Pour tout $n$, $u_ {n+1}=\exp((n+1)a)=\exp(a+na)=\exp(a)\times \exp(na)=\exp(a)\times u_n$.\\
La suite $\left(u_n\right)$ est bien gÃ©omÃ©trique, de raison $q=\exp(a)$ et de premier terme $\exp(0)=1$.\\
Alors $u_n=u_0q^n=1\times \left(\exp(a)\right)^n=\left(\exp(a)\right)^n$.


\subsubsection{\textcolor{red}{Notation $\mathrm{e}^{x}$}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition et notation}}
On note $\mathrm{e}=\exp(1)$.\\
On a $\mathrm{e}\approx \numprint{2,718281828459045}\cdots$ ; $\mathrm{e}\approx 2,72$ suffit dans la plupart des cas.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : D'aprÃ¨s une propriÃ©tÃ© prÃ©cÃ©dente, on a $\exp(n)=\exp(n\times 1)=\exp(1)^n=\mathrm{e}^{n}$.

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Notation}}
Par extension de la notation prÃ©cÃ©dente Ã&nbsp; l'ensemble des rÃ©els, on pose :
\begin{center}
Pour tout rÃ©el $x$ : $\exp(x)=\mathrm{e}^{x}$
\end{center}
\end{bclogo}

\begin{minipage}{6.5cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{RÃ©sumÃ© des propriÃ©tÃ©s :}}
Pour tout rÃ©el $x$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $\exp (x)&gt;0$

\item $\exp (0)=1$

\item $\mathrm{e}^{-x}=\dfrac{1}{\mathrm{e}^{x}}$

\item $\exp '(x)=\exp (x)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\end{minipage}

\subsection{\textcolor{blue}{Ã‰tude de la fonction exponentielle :}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Sens de variation :}}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
La fonction exponentielle est croissante sur $\mathbb{R}$.
\end{bclogo}
\end{minipage}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration : }}La fonction exponentielle est dÃ©rivable sur $\mathbb{R}$ et $\exp'=\exp$, donc pour tout rÃ©el $x$, $\exp'(x)&gt;0$ puisque $\exp(x)&gt;0$.
\noindent
La fonction $\exp$ est donc croissante.
\noindent

\bigskip

\begin{minipage}{9cm}

\subsubsection{\textcolor{red}{Limites Ã&nbsp; l'infini}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me (admis)}}
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0$
\end{bclogo}
\end{minipage}
\noindent
\bigskip

%\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration}} :
%\noindent
%Soit $f$ la fonction dÃ©finie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=\exp(x)-x$.
%\noindent
%$f$ est dÃ©rivable et, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=\exp'(x)-1=\exp(x)-1$.
%\noindent
%$\exp$ est croissante et $\exp(0)=1$, donc, pour tout $x\geqslant 0$, $f'(x)\geqslant 0$.
%\noindent
%On en dÃ©duit que $f$ est croissante et comme $f(0)=\exp(0)-0=\exp(0)=1&gt;0$ donc $f(x)&gt;0$.
%\noindent
%Par consÃ©quent : $f(x)&gt;0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x)&gt;x}}$.
%\noindent
%Or $\lim_{x\rightarrow =\infty}x=+\infty$, donc, d'aprÃ¨s le thÃ©orÃ¨me des gendarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)=+\infty}}$.
%\noindent
%
%\noindent On a vu au dÃ©but que, pour tout $x$, $\exp(x)\times \exp(-x)=1$ donc $\exp(-x)=\dfrac{1}{\exp(x)}$.
%\noindent
%En posant $X=-x$, donc $x=-X$, on a : $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\exp(-X)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{\exp(X)}=0$.


\textbf{\textcolor{blue}{ConsÃ©quences :}}

\begin{enumerate}

\item Pour tout $a&gt;0$, $\exp(a)&gt;0$

\item Pour tous rÃ©els $a$ et $b$, $\exp a=\exp b\Leftrightarrow a=b$.

\item Pour tous rÃ©els $a$ et $b$, $\exp a&lt; \exp b\Leftrightarrow a&lt;b$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{red}{DÃ©monstration :}

\begin{enumerate}

\item $\exp$ est croissante et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0$ donc $\exp$ est une fonction positive.
\item 
\begin{enumerate}
\item $a=b\Rightarrow \exp(a)=\exp(b)$ comme pour n'importe quelle fonction.

\item $\exp(a)=\exp(b)\Rightarrow a=b $ car la fonction $\exp$ est croissante
\end{enumerate}


\item MÃªme dÃ©monstration que dans le cas d'Ã©galitÃ©
\end{enumerate}

%\subsection{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©s algÃ©briques}}
%
%\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle de l'opposÃ© d'un rÃ©el :}}
%\begin{minipage}{6cm}
%\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
%$\forall x\in\mathbb{R}$, $\exp(-x)=\frac{1}{\exp x}$\
%\end{bclogo}
%\end{minipage}
%
%\bigskip
%
%\noindent \textbf{\textcolor{blue}{DÃ©monstration :}}
%\noindent
%On a dÃ©jÃ&nbsp; vu que $\exp(x)\times \exp(-x)=1$  donc $\exp(-x)=\frac{1}{\exp x}$.
%\noindent
%
%\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle de la somme de deux rÃ©els:}}
%\begin{minipage}{9cm}
%\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
%$\forall x\in\mathbb{R}$, $\forall y\in\mathbb{R}$, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$.
%\end{bclogo}
%\end{minipage}
%\noindent
%
%\bigskip
%
%\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration}}
%\noindent
%Soit $y$ un rÃ©el quelconque fixÃ©. On considÃ¨re alors la fonction $f:x\mapsto \dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(x+y)$ (la variable est $x$).
%\noindent
%$f$ est dÃ©rivable, comme  composÃ©e de fonctions dÃ©rivables ; $\dfrac{1}{\exp(y)}$ est une constante.
%\noindent
%La dÃ©rivÃ©e de $x\mapsto \exp(x+y)$ est $x\mapsto 1\times \exp'(x+y)=\exp(x+y)$.
%$\forall x\in\mathbb{R}$, $f'(x)=\dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(x+y)$ donc $f'=f$.
%\noindent
%$f(0)=\dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(0=y)=\dfrac{1}{\exp(y)}\times \exp(y)=1$.
%\noindent
%On en dÃ©duit que la fonction $f$ est la fonction exponentielle (unicitÃ© de la fonction vÃ©rifiant ces propriÃ©tÃ©s).
%\noindent
%Par consÃ©quent : $f(x)=\exp(x)$ donc, pour tout $x$, $\dfrac{1}{\exp(y)}\exp(x+y)=\exp(x)$, d'oÃ¹ $\boxed{\textcolor{red}{\exp(x+y)=\exp(x)\times \exp(y)}}$
%\noindent
%
%\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on a vu dans le I que la seule fonction vÃ©rifiant cette relation fonctionnelle et $f(0)=1$ devait vÃ©rifier $f'=f$, donc Ã©tait la fonction exponentielle (par unicitÃ© de la fonction vÃ©rifiant les deux conditions $f'=f$ et $f(0)=1$).
%
%\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle de la diffÃ©rence de deux rÃ©els:}}
%\begin{minipage}{10cm}
%\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
%Pour tous rÃ©els $x$ et $y$ : $\exp(x-y)=\frac{\exp x}{\exp y}$
%\end{bclogo}
%\end{minipage}
%
%\bigskip
%
%\textbf{\textcolor{blue}{DÃ©monstration :}} 
%\noindent
%$\exp(x-y)=\exp(x+(-y))=\exp(x)\times \exp(-y)=\exp(x)\times \frac{1}{\exp( x)}=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}$
%\noindent
%
%\textcolor{red}{Exemple :}
%\noindent
%Pour tout rÃ©el $x$, $\frac{\exp(2x+3)}{\exp(2x-1)}=\exp[(2x-3)-(2x-1)]=\exp 4$
%\noindent
%
%\subsubsection{\textcolor{blue}{Exponentielle d'une somme de rÃ©els:}}
%\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
%Pour tous rÃ©els $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$, $\exp(x_1+x_2+...+x_n)=\exp(x_1)\times \exp(x_2)\times\dots\times \exp(x_n)$.
%\noindent
%\textbf{\textcolor{blue}{Ã‰criture symbolique}} :
%$\exp\left(\sum_{i=1}^nx_i\right)=\prod_{i=1}^n\exp(x_i)$
%\noindent
%\end{bclogo}
%
%\bigskip
%
%\textbf{\textcolor{blue}{DÃ©monstration :}}
%\noindent
%On dÃ©montre la propriÃ©tÃ© par rÃ©currence sur $n$.
%\noindent
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item \textbf{\textcolor{red}{Initialisation}} : Pour $n=1$, il n'y a qu'un terme $x_{1}$ ; on a Ã©videmment $\exp\left(x_{1}\right)=\exp\left(x_{1}\right)$ !
%
%\item \textbf{\textcolor{red}{HÃ©rÃ©ditÃ©}} : on suppose la propriÃ©tÃ© vraie pour un entier $n$ quelconque.
%\noindent
%$\exp\left(x_{1}+x_{2}+\cdots x_{n}\right)=\exp\left(x_{1}\right)\times \exp\left(x_{2}\right)\times \cdots\exp\left(x_{n}\right)$.
%\noindent
%Alors : $\exp\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}+x_{n+1}\right)=\exp\left[\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)+x_{n+1}\right]=\exp\left(\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)\right)\times \exp\left(x_{n+1}\right)$ (d'aprÃ¨s la propriÃ©tÃ© fonctionnelle de l'exponentielle)
%\noindent
%$=\left[\exp\left(x_{1}\right)\times \exp\left(x_{2}\right)\times \cdots\exp\left(x_{n}\right)\right]\times \exp\left(x_{n+1}\right)=\exp\left(x_{1}\right)\times \exp\left(x_{2}\right)\times \cdots\exp\left(x_{n}\right)\times \exp\left(x_{n+1}\right)$. (c.q.f.d.)
%\end{enumerate}
%
%\bigskip
%
%\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
%Pour tout rÃ©el $x$, $\exp(nx)=(\exp (x))^n$.
%\end{bclogo}
%
%\bigskip
%
%\textbf{\textcolor{blue}{DÃ©monstration : }}
%\noindent
%Lorsque $n&gt;0$, on applique la propriÃ©tÃ© prÃ©cÃ©dente en prenant tous les $x_i$ Ã©gaux Ã&nbsp; $x$.
%\noindent
%Pour $n=0$, l'Ã©galitÃ© est vÃ©rifiÃ©e.
%\noindent
%Si $n&lt;0$, $\exp(nx)=\exp((-n)(-x))=(\exp(-x))^{-n}=\left[\frac{1}{\exp x}\right]^{-n}=(\exp(x))^n$
%\noindent

\subsubsection{\textcolor{red}{Le nombre e ; la notation $\mathbf{e^x}$:}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
$e=\exp(1)$.
\noindent
Valeur approchÃ©e : $e\approx \numprint{2.71828182845904523536028747135266249775724709369995}$.

\noindent Pour la plupart des exercices, il suffit d'utiliser $\mathrm{e}\approx 2,7$ sou $\mathrm{e}\approx 2;72$.

\noindent Remarque : $\mathrm{e}$ est, comme $\pi$, un nombre transcendant, c'est-Ã&nbsp;-dire solution d'aucune Ã©quation polynomiale, donc en particulier non rationnel)
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Notation}}
Pour tout entier $n$, on a : $\exp(n)=\exp(n\times 1)=(\exp1)^n=e^n$ en utilisant la notation prÃ©cÃ©dente.
\noindent
Plus gÃ©nÃ©ralement, on convient de noter $\exp (x)$ par $e^x$.
\end{bclogo}

\subsubsection{\textcolor{red}{RÃ©sumÃ© des diffÃ©rentes propriÃ©tÃ©s avec cette notation:}}
\begin{center}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©s}}
Pour tous rÃ©els $x$, $y$ et tout entier relatif $n$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $e^0=1$

\item $e^x&gt;0$

\item $e^{x+y}=e^x\times e^y$

\item $e^{-x}=\frac{1}{e^x}$

\item $e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y}$

\item $(e^x)^n=e^{nx}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}
\end{center}

\subsubsection{\textcolor{red}{Courbe reprÃ©sentative avec les tangentes en 0 et 1}}


%\begin{multicols}{2}
%\setlength{\columnseprule}{1pt}
%\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La tangente en 0 a pour coefficient directeur $\exp'(0)=\exp(0)=\mathrm{e}^{0}=1$.

\item La tangente en 1 a pour Ã©quation $y=exp'(1)(x-1)+\mathrm{e}^1=\mathrm{e}x$ ; cette tangente passe donc par l'origine.

\item Le fonction $\exp$ est croissante ; l'axe des abscisses est asymptote Ã&nbsp; $\mathscr{C}$ au voisinage de $-\infty$ puisque $\lim_{x\rightarrow -\infty}\mathrm{e}^{x}=0$.

\item $\mathrm{e}^{1}=\mathrm{e}\approx 2,7$ et $\mathrm{e}^2\approx 7,4$
\end{enumerate}




\begin{center}
\textbf{\textcolor{red}{Courbe reprÃ©sentative de $\boldmath{\exp}$}}
\bigskip

\psset{xunit=1,yunit=0.7}
\begin{pspicture}(-6,-2)(3,10)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](-5,0)(5,0)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red](0,-1)(0,20)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{-&gt;}(0,0)(1,0)
%\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{-&gt;}(0,0)(0,1)
\uput[dr](0,0){O}
\psaxes[Dx=1,Dy=1,linewidth=2pt](0,0)(-4,0)(3,10)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabelcolor=white](-5,-1)(3,10)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-5}{2.302585092994046}{2.71828 x exp}
\psdots(1,2.71828)
\uput[l](0,2.71828){e}
\psline[linestyle=dashed](0,2.71828)(1,2.71828)
\psline[linestyle=dashed](1,2.71828)(1,0)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=red]{&lt;-&gt;}(-0.5,0.5)(0.5,1.5)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3,8,155)
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La tangente en 0 a un coefficient directeur Ã©gal Ã&nbsp; 1.\\
En effet : $\exp'(0)=\exp(0)=1$.

\item La tangente en 1 passe par l'origine.\\
En effet, son Ã©quation est : $y=\exp'(1)(x-1)+\exp(1)\Leftrightarrow y=\mathrm{e}(x-1)+\mathrm{e}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=\mathrm{e}x}}$ (fonction linÃ©aire)
\end{enumerate}
%
%\end{multicols}






\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>