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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{red}{\Roman{subsection}.}\textcolor{red}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Produits scalaire de deux vecteurs dans le plan}}\end{center}

\tableofcontents

\subsection*{\textcolor{blue}{Activités préparatoires du livre page 205}}
Exercices \no 1~;~2~;~3~;~4~;~5~;~6~;~8 page 207

\subsection{\textcolor{blue}{Produit scalaire}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Définition du produit scalaire}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition du produit scalaire}}
Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ et trois points $A$, $B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.\\
Le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, noté $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$, est le nombre réel défini par : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  si $\overrightarrow{u}\neq \overrightarrow{0}$ et $\overrightarrow{v}\neq \overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\left\vert\left\vert \overrightarrow{u} \right\vert\right\vert\times \left\vert\left\vert \overrightarrow{v} \right\vert\right\vert\times \cos\left(\widehat{BAC}\right)$.

\item si $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$, $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0$. 
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}
Soient A, B et C trois points distincts tels que $AB =5$, $AC =3$ et $\widehat{BAC}=\dfrac{\pi}{6}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,2)
\psset{PointSymbol=none}
\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){A}\pstGeonode[PosAngle=-90](5,0){B}
\pstGeonode(2.598,1.5){C}
%\pstLineAB{A}{B}\pstLineAB{A}{C}
\psline{->}(0,0)(5,0)
\psline{->}(0,0)(2.598,1.5)
\pstMarkAngle{B}{A}{C}{$\pi\slash 6$}
\uput[d](2.5,0){5}
\uput[ul](1.3,0.8){3}
\end{pspicture}
\end{center}

\noindent On a :\\
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\left\vert\left\vert \overrightarrow{AB} \right\vert\right\vert\times \left\vert\left\vert \overrightarrow{AC} \right\vert\right\vert\times \cos\left(\widehat{BAC}\right)=5\times 3\times \cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=15\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.


\subsubsection{\textcolor{red}{Vecteurs colinéaires, carré scalaire}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls et colinéaires.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item   Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ vont le même sens, alors $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\left\vert\left\vert \overrightarrow{u} \right\vert\right\vert\times \left\vert\left\vert \overrightarrow{v} \right\vert\right\vert$.\\
En particulier : $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}^2=\left\vert\left\vert \overrightarrow{u} \right\vert\right\vert\times \left\vert\left\vert \overrightarrow{u} \right\vert\right\vert=\left\vert\left\vert \overrightarrow{u} \right\vert\right\vert^2$. ($\overrightarrow{u}^2$ est appelé le carré scalaire de $\overrightarrow{u}$).

\item Si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont de sens contraire, alors :\\
$\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=-\left\vert\left\vert \overrightarrow{u} \right\vert\right\vert\times \left\vert\left\vert \overrightarrow{v} \right\vert\right\vert$.\
\end{enumerate}
\end{bclogo}

En effet, si $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires de même sens, $\cos\left(\widehat{BAC}\right)=\cos(0)=1$ et si  $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont colinéaires de sens sontraires, $\cos\left(\widehat{BAC}\right)=\cos(\pi)=-1$


\subsubsection{\textcolor{red}{Projection orthogonale et vecteurs orthogonaux}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient trois points A, B et C (A et B distincts).\\
Si H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB), alors : $AB\cdot\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}$.
\end{bclogo} 

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} :\\
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AH}$ sont colinéaires. \\

\parbox{10cm}{Si $\widehat{BAC}<\dfrac{\pi}{2}$ (angle aigu), $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\
=\left\vert\left\vert \overrightarrow{AB} \right\vert\right\vert\times \left\vert\left\vert \overrightarrow{AC} \right\vert\right\vert \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)\\
=AB\times AC\times \cos\widehat{BAC}=AB\times AH=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}$ car \\
$AH=AC\times \cos\left(\widehat{BAC}\right)$.}\hfill
\parbox{8cm}{
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(6,4)
\psset{PointSymbol=none}
\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){A}\pstGeonode[PosAngle=-90](5,0){B}
\pstGeonode(3,3.5){C}
\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0){H}
\pstLineAB{A}{B}\pstLineAB{A}{C}\pstLineAB{C}{H}
\pstRightAngle{C}{H}{A}
\pstMarkAngle{B}{A}{C}{}
\end{pspicture}
\end{center}}


\bigskip

\parbox{8cm}{
Si $\widehat{BAC}>\dfrac{\pi}{2}$ (angle obtus), \\
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\\
=\left\vert\left\vert \overrightarrow{AB} \right\vert\right\vert\times \left\vert\left\vert \overrightarrow{AC} \right\vert\right\vert \times \cos\left(\widehat{BAC}\right)$.\\
Or, $\widehat{BAC}=\pi-\widehat{HAC}$, donc \\
$\cos\left(BAC\right)=\cos\left(\pi-\widehat{HAC}\right)\\
=-\cos\left(\widehat{HAC}\right)$.\\
On en déduit : \\
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-AB\times AC\times \cos\left(\widehat{HAC}\right)\\
=-AB\times AH=\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AH}$.}\hfill
\parbox{10cm}{
\begin{center}
\begin{pspicture}(-6,-1)(6,4)
\psset{PointSymbol=none,xunit=0.8}
\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){A}\pstGeonode[PosAngle=-90](5,0){B}
\pstGeonode(-3,3.5){C}
\pstGeonode[PosAngle=-90](-3,0){H}
\pstLineAB{A}{B}\pstLineAB{A}{C}\pstLineAB{C}{H}\pstLineAB{A}{H}
\pstRightAngle{C}{H}{A}
\pstMarkAngle{B}{A}{C}{}
\end{pspicture}
\end{center}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux lorsque $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=0$.
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient trois points A, B et C distincts.\\
Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux si, et seulement si, les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exemple :}}

$ABC$ est un triangle équilatéralde côté 2.\\
$I$ est le milieu du segment $[AB]$.\\
Calculer les produits scalaires : 
\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}$

\item $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AC}$

\item $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA}$
\end{enumerate}

Solution :

\parbox{8cm}{\psset{unit=3,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-1)(3,2)
\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){B}
\pstTriangleSSS[linecolor=red!60,PosAngle={-90,90}]{B}(2,2,2){C}{A}
\pstMarkAngle[LabelSep=0.5]{C}{B}{A}{$\dfrac{\pi}{3}$}
\pstMarkAngle[LabelSep=0.5]{A}{C}{B}{$\dfrac{\pi}{3}$}
\pstMarkAngle[LabelSep=0.6]{B}{A}{C}{$\dfrac{\pi}{3}$}
\pstMiddleAB{A}{B}{I}
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{10cm}{
\begin{enumerate}[a)]
\item $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{BA}=\left\vert\left\vert \overrightarrow{BC} \right\vert\right\vert\times \left\vert\left\vert \overrightarrow{BA} \right\vert\right\vert\times \cos\left(\widehat{CBA}\right)\\
=BC\times BA\times \cos\left(\widehat{CBA}\right)=2\times 2\times \cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=4\times \dfrac{1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{2}}$.

\item $\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AC}=AI\times AC\times \cos\left(\widehat{IAC}\right)=1\times 2\times \dfrac{1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{1}}$

\item $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CA}=-CB\times CA\times \cos\left(\widehat{ACB}\right)\\
=-2\times 2\times \cos\dfrac{\pi}{3}=-4\times \dfrac{1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{-2}}$
\end{enumerate}}

\newpage


\subsection{\textcolor{blue}{Propriétés du produit scalaire}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Symétrie et bilinéarité}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ des vecteurs et $k$ un réel.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}$ (symétrie)

\item $\overrightarrow{u}\cdot\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{w}$

\item $\overrightarrow{u}\cdot\left(k\overrightarrow{v}\right)=k\left(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}\right)$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : \\
Comme le produit scalaire est symétrique, on aurait aussi :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)\cdot \overrightarrow{u}=\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{u}+\overrightarrow{w}\cdot\overrightarrow{u}$

\item $\left(k\overrightarrow{u}\right)\cdot \overrightarrow{v}=k\left(\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}\right)$
\end{enumerate}
Le produit scalaire est linéaire à gauche et à droite, on dit qu'il est bilinéaire.

\subsubsection{\textcolor{red}{Expression du produit scalaire dans un repère orthonormé}}
On suppose que le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ qu'on appelle aussi base.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=xx'+yy'$

\item $\overrightarrow{u}^2=\left\vert\left\vert \overrightarrow{u} \right\vert\right\vert^2=x^2+y^2$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Démonstration}} :

On a : $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ et $\overrightarrow{u}=x'\overrightarrow{i}+y'\overrightarrow{j}$.\\
Alors : \\
$\overrightarrow{u}cdot \overrightarrow{v}\\
=\left(x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\right)\cdot\left(x'\overrightarrow{i}+y'\overrightarrow{j}\right)\\
=x\overrightarrow{i}\cdot x'\overrightarrow{i}+x\overrightarrow{i}\cdot y'\overrightarrow{j}+y\overrightarrow{j}\cdot x'\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\cdot y'\overrightarrow{j}\\
=xx'\overrightarrow{i}^2+xy'\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}+x'y\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{i}+yy'\overrightarrow{j}^2\\
=xx'+yy'$ car $\overrightarrow{i}^2=\left\vert\left\vert \overrightarrow{i} \right\vert\right\vert^2=1^2=1=\left\vert\left\vert \overrightarrow{j} \right\vert\right\vert^2$ et $\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j}=0$ (vecteurs orthogonaux)

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} :

Soient :$\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}-8\\7\end{pmatrix}$.\\
$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=3\times (-8)+5\times 7=-24+35=\boxed{\textcolor{red}{11}}$

\subsubsection{\textcolor{red}{Norme et produit scalaire}}
En appliquant les règles de clauses précédentes, on obtient :

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
Soient deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left\vert\left\vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right\vert\right\vert^2=\left\vert\left\vert \overrightarrow{u} \right\vert\right\vert^2+2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+\left\vert\left\vert v \right\vert\right\vert^2$

\item $\left\vert\left\vert \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v} \right\vert\right\vert^2=\left\vert\left\vert \overrightarrow{u} \right\vert\right\vert^2-2\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+\left\vert\left\vert v \right\vert\right\vert^2$

\item $\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\cdot \left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)=\left\vert\left\vert \overrightarrow{u} \right\vert\right\vert^2-\left\vert\left\vert \overrightarrow{v} \right\vert\right\vert^2$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\bigskip

On en déduit :

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\left\vert\left\vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right\vert\right\vert^2-\left\vert\left\vert \overrightarrow{u} \right\vert\right\vert^2-\left\vert\left\vert \overrightarrow{v} \right\vert\right\vert^2\right)$

\item $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(\left\vert\left\vert \overrightarrow{u}) \right\vert\right\vert^2+\left\vert\left\vert \overrightarrow{v} \right\vert\right\vert^2-\left\vert\left\vert \overrightarrow{u}- \overrightarrow{v}\right\vert\right\vert^2\right)$

\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{Exercice}}
Soit $ABCD$ un carré de côté $a$ ; $I$ est le milieu de $[AD]$ et $J$ est le milieu de $[CD]$.\\
Montrer que les droites $(BI)$ et $(AJ)$ sont perpendiculaires.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,5)
\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){A}\pstGeonode[PosAngle=-90](4,0){B}\pstGeonode[PosAngle=90](4,4){C}\pstGeonode[PosAngle=90](0,4){D}
\pspolygon(A)(B)(C)(D)
\pstMiddleAB{A}{D}{I}
\pstMiddleAB[PosAngle=90]{C}{D}{J}
\pstLineAB{A}{J}\pstLineAB{B}{I}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{\textcolor{red}{Solution}} :
Pour montrer que les droites $(AJ)$ et $(BI)$ sont perpendiculaires, on va montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AJ}$ et $\overrightarrow{BI}$ sont orthogonaux, en calculant leur produit scalaire et en utilisant la relation de Charles.\\
$\overrightarrow{AJ}\cdot \overrightarrow{BI}\\
=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DJ}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AI}\right)\\
=\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{DJ}\cdot\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DJ}\cdot\overrightarrow{AI}\\
=0+a\times \dfrac{a}{2}+\left(-\dfrac{a}{2}\times a\right)+0=\boxed{\textcolor{red}{0}}$.\\
En effet :\\
$\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont orthogonaux donc leur produit scalaire est nul.\\
De même pour $\overrightarrow{DJ}$ et $\overrightarrow{AI}$.\\
$\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont colinéaires de même sens.\\
$\overrightarrow{DJ}$ et $\overrightarrow{BA}$ sont colinéaires de sens contraires.

\noindent On en déduit que les droites $(AJ)$ et $(BI)$ sont perpendiculaires.

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Exercice}}\\
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=7$, $BC=5$ et $AC=3$.\\
Calculer $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ et la mesure de $\widehat{BAC}$.

\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(8,3)
\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){A}
\pstTriangleSSS[linecolor=red!60,PosAngle={-90,90}]{A}(5,3,7){B}{C}
\uput[d](3.5,0){7}
\uput[u](4,1.2){5}
\uput[u](1,1){3}
\pstMarkAngle{B}{A}{C}{}
\end{pspicture}
\end{center}

On a :\\
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}
=\dfrac{1}{2}\left(\left\vert\left\vert \overrightarrow{AB} \right\vert\right\vert^2+\left\vert\left\vert \overrightarrow{AC} \right\vert\right\vert^2-\left\vert\left\vert \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right\vert\right\vert^2\right)\\
=\dfrac{1}{2}\left(\left\vert\left\vert \overrightarrow{AB} \right\vert\right\vert^2+\left\vert\left\vert \overrightarrow{AC} \right\vert\right\vert^2-\left\vert\left\vert \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA} \right\vert\right\vert^2\right)\\
=\dfrac{1}{2}\left(\left\vert\left\vert \overrightarrow{AB} \right\vert\right\vert^2+\left\vert\left\vert \overrightarrow{AC} \right\vert\right\vert^2-\left\vert\left\vert \overrightarrow{CB} \right\vert\right\vert^2\right)\\
=\dfrac{1}{2}\left(7^2+3^2-5^2\right)=\dfrac{1}{2}\left(49+9-25\right)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{33}{2}}}$.

\bigskip
On en déduit que $BAC\approx \boxed{\textcolor{red}{38,21\text{\degre}}}$


\subsection{\textcolor{blue}{Applications du produit scalaire}}

\subsubsection{\textcolor{red}{Théorème de la médiane}}
\parbox{10cm}{\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soient deux points du plan et $I$ le milieu de $[AB]$.\\
Pour tout point $M$ du plan, on a :
\[\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}^2-\dfrac{AB^2}{4}\]
\end{bclogo}}\hfill
\parbox{8cm}{\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(5,5)
\pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle=-90](0,0){A}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle=-90](5,0){B}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle=90](3,2){M}
\pstMiddleAB[,PosAngle=-90]{A}{B}{I}
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{A}{M}
\pstLineAB{B}{M}
\pstLineAB{M}{I}
\end{pspicture}
\end{center}}

\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}\\
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}\\
=\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\right)\cdot\left(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}\right)\\
=\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}\cdot\overrightarrow{IB}\\
=MI^2+\overrightarrow{MI}\cdot\underbrace{\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}\right)}_{\overrightarrow{0}}-IA\times IB\\
=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}$ car $\overrightarrow{IA}$ et $\overrightarrow{IB}$ sont colinéaires de sens contraires donc $\overrightarrow{IA}\cdot \overrightarrow{IB}=-IA\times IB=-\dfrac{AB}{2}\times \dfrac{AB}{2}=-\dfrac{AB^2}{4}$.

\subsubsection{\textcolor{red}{Formule d'Al-Kashi}}
\parbox{10cm}{\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soit un triangle $ABC$ avec $AB=c$, $BC=a$ et $AC=b$.\\
Alors : $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\left(\widehat{A}\right)$
\end{bclogo}}\hfill
\parbox{8cm}
{\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(7,5)
\psset{PointSymbol=none}
\pstGeonode[PosAngle=-90](0,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=-90](7,0){C}
\pstGeonode[PosAngle=90](3,4){A}
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB{A}{C}
\pstLineAB{C}{B}
\pstMarkAngle{B}{A}{C}{$\widehat{A}$}
\uput[d](3.5,0){a}
\uput[r](5,2){b}
\uput[l](1.5,2){c}
\end{pspicture}
\end{center}
}
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}

\noindent $a^2=\overrightarrow{BC}^2\\
=\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)^2$ (relation de Chasles)\\
$=\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)^2\\
=\overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{AB}^2-2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}\\
=b^2+c^2-2bc\cos\left(\widehat{A}\right)$

\bigskip

\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque : }}
La formule d'Al-Kashi est une \textbf{\textcolor{red}{généralisation du théorème de Pythagore}} au cas des triangles quelconques.

\subsubsection{\textcolor{red}{Caractérisation du cercle}}
\parbox{8cm}{\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
Soient trois points A, B et M du plan.\\
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$ si, et seulement si, $M$ appartient au cercle de diamètre $[AB]$
\end{bclogo}}\hfill
\parbox{10cm}{\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-4,-4)(4,4)
\pstGeonode[PosAngle=180](0,0){A}
\pstGeonode[PosAngle=0](8,0){B}
\pstGeonode[PosAngle=-90](4,0){I}
\pstGeonode[PosAngle=90](6.05,3.44){M}
\pstLineAB{A}{M}
\pstLineAB{B}{M}
\pstLineAB{A}{B}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{I}{M}
\pstCircleOA{I}{A}
\end{pspicture}}

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Démonstration : }}
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=MI^2-\dfrac{AB^2}{4}=\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2-\dfrac{AB^2}{4}=0$ car $MI=IA=IB=\dfrac{AB}{2}$




















\label{fin}
\end{document}  