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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité 1\iere{} Correction du DM \no 2}}\end{center}

\subsection{}%http://pierrelux.net/documents/bts/cours/module_suite/exercices_suites.pdf
On dispose d'un crédit de \numprint{414000} euros pour atteindre dans un désert une nappe souterraine . Le coût du forage est fixé à \numprint{1000} euros pour le premier mètre creusé, \numprint{1200} pour le deuxième, \numprint{1400} pour le troisième et ainsi de suite en augmentant de 200 euros par mètre creusé.\\
On pose $u_0=\numprint{1000}$ , $u_1=\numprint{1200}$ \dots \\
$u_n$ désigne donc le coût en euros du (n+1)-ième mètre creusé.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_5$.
On a $u_1=\numprint{1200}$, $u_2=\numprint{1400}$, $u_3=\numprint{1600}$, $u_4=\numprint{1800}$ et $\boxed{\textcolor{red}{u_5=\numprint{2000}}}$.

\item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ , pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on a $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=u_n+200}}$

\item %En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
On en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est arithmétique de raison $\boxed{\textcolor{red}{r=200}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{u_0=\numprint{1000}}}$.

\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ , pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Alors, pour tout $n$, $u_n=u_0+nr=1000+200n$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_n=200n+\numprint{1000}}}$.
\end{enumerate}

\item Pour tout $n\in\mathbb{N}$ (avec $n\neq 0$) , on désigne par $S_n$ le coût total en euros d'un puits de $n$ mètres.\\
%Déterminer le coût total d'un puits de $n$ mètres.
On a : $S_n=u_0+\cdots+u_{n-1}=n\times \left(\dfrac{u_0+u_{n-1}}{2}\right)=n\times \dfrac{\left(\numprint{1000}+200(n-1)+\numprint{1000}\right)}{2}=n\times \dfrac{200n+1800}{2}\\
=n\times \dfrac{\cancel{2}(100n+\numprint{900})}{\cancel{2}}=(100n+\numprint{900})=100n(n+9)$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{S_n=100n(n+9)}}$.

\item %Déterminer la profondeur maximale que l'on peut atteindre avec le crédit de \numprint{414000} euros.
On cherche pour quelle valeur de $n$ on a : $S_n=\numprint{414000}$.\\
$S_n=\numprint{414000}\Leftrightarrow 100n(n+9)=\numprint{414000}\Leftrightarrow n(n+9)=\numprint{4140}\Leftrightarrow n^2+9n=\numprint{4140}\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{n^2+9n-\numprint{4140}=0}}$.\\
$\Delta=9^2-4\times1\times (-\numprint{4140}) =81+\numprint{16560}=\numprint{16641}>0$.\\
L'équation a deux solutions :\\
$n_1=\dfrac{-9-\sqrt{\numprint{16641}}}{2}<0$ (donc solution à exclure)\\
$n_2=\dfrac{-9+\sqrt{\numprint{16641}}}{2}=\dfrac{-9+129}{2}=60$.\\
La profondeur maximale que l'on peut atteindre avec u crédit de \numprint{414000} \euro{} et de 60 m.
\end{enumerate}




\subsection{}
On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies pour tout $n\in\mathbb{N}$ par :
\[u_n=\dfrac{3\times 2^n-4n+3}{2}\text{ et }v_n=\dfrac{3\times 2^n+4n-3}{2}.\]

\begin{enumerate}
\item On définit la suite $\left(w_n\right)$ par $w_n=u_n+v_n$.\\

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison, son premier terme ainsi que son sens de variation.
Pour tout $n$, $w_n==\dfrac{3\times 2^n-4n+3}{2}+\dfrac{3\times 2^n+4n-3}{2}=\dfrac{\cancel{2}\times 3^n}{\cancel{2}}=\boxed{\textcolor{red}{3\times 2^n}}$.\\
$\left(w_n\right)$ est donc géométrique de raison 2 et de premier terme terme $w_0=3$.\\
Comme 3>1 et $w_0>0$, la suite $\left(w_n\right)$ est croissante.

\item %Donner le terme général de $w_n$.
$w_n=\boxed{\textcolor{red}{3\times 2^n}}$ (voir question précédente)
\end{enumerate}


\item  On définit la suite $\left(t_n\right)$ par $t_n=u_n-v_n$.\\

\begin{enumerate}
\item %Montrer que la suite $\left(t_n\right)$ est arithmétique. Préciser sa raison, son premier terme ainsi que son sens de variation.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $t_n=\dfrac{3\times 2^n-4n+3}{2}-\dfrac{3\times 2^n+4n-3}{2}=\dfrac{3\times 2^n-4n+3-\left(3\times 2^n+4n-3\right)}{2}\\
=\dfrac{\cancel{3\times 2^n}-4n+3-\cancel{3\times 2^n}-4n+3}{2}=\dfrac{\cancel{2}(-4n+3)}{\cancel{2}}=\boxed{\textcolor{red}{-4n+3}}$.\\
C'est une fonction affine de $n$ donc $\left(t_n\right)$ est arithmétique de raison $\boxed{\textcolor{red}{r=-4}}$.\\
$r=-4<0$ donc $\left(t_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\item %Donner le terme général de $t_n$.
$\boxed{\textcolor{red}{t_n=-4n+3}}$ (voir question précédente)
\end{enumerate}

\item %Donner le terme général de $u_n$ (indication : calculer $w_n+t_n$)
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $w_n+t_n=\left(u_n+v_n\right)+\left(u_n-v_n\right)=2u_n$ donc \\
$\boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{1}{2}\left(w_n+t_n\right)=\dfrac{1}{2}\left(3\times 2^n-4n+3\right)}}$

\item %Donner le terme général de $v_n$.
De même, $w_n-t_n=2v_n$ donc $v_n=\dfrac{1}{2}\left(w_n-t_n\right)$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{v_n=\dfrac{1}{2}\left(3\times 2^n+4n-3\right)}}$.


\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item $(x - u)(x - v) = 0\Leftrightarrow  x^2 - (u + v)x + uv = 0$ soit $x^2 - Sx + P = 0$ en posant $S=u+v$ et $P=uv$.

\item Les réels $u$ et $v$ étant les racines du polynôme $(x - u)(x - v)$, ils sont aussi les solutions de l'équation \\
$x^2-Sx+P=0$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item S’il existe deux nombres réels $u$ et $v$ dont le produit est 6 et la somme 4, alors ces deux nombres réels sont les racines
De l'équation  $x^2 - 4x + 6$.\\
Le discriminant est $\Delta = (-4)2 - 4  \times  1 \times  6 = -8$.\\
$\Delta <0$, l'équation n'a pas de solution, donc il n'existe aucun nombres $u$ et $v$ dans $\mathbb{R}$ dont la somme vaut 4 est le produit 6.

\item S’il existe deux nombres réels $u$ et $v$ dont le produit est 6 et la somme 8, alors ces deux nombres réels sont les solutions
de l'équation $x^2 - 8x + 6=0$.\\`
Le discriminant est $\Delta=(-8)^2 - 4  \times  1 \times  6 = 40$.\\
$\Delta>0$, l'équation admet deux solutions :\\
$u=\dfrac{8-\sqrt{40}}{2}=\dfrac{8-2\sqrt{10}}{2}=\dfrac{\cancel{2}\left(4-\sqrt{10}\right)}{\cancel{2}}=\boxed{\textcolor{red}{4-\sqrt{10}}}$.\\
$v=\dfrac{8+\sqrt{40}}{2}=\dfrac{8+2\sqrt{10}}{2}=\dfrac{\cancel{2}\left(4+\sqrt{10}\right)}{\cancel{2}}=\boxed{\textcolor{red}{4+\sqrt{10}}}$.\\
Les deux nombres dont la somme vaut 8 et le produit vaut 6 sont $4-\sqrt{10}$ et $4+\sqrt{10}$.

\end{enumerate}

\item %Écrire en langage naturel un algorithme qui permet de déterminer deux entiers dont la somme et le produit sont deux réels fixés et entrés par l’utilisateur.
\textbf{\textcolor{red}{Algorithme}}\\
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{8cm}
Saisir $S$ et $P$.\\
Calculer $\Delta = S^2-4P$\\
Si $\Delta<0$\\
\hspace{2cm}retourner  \og{}pas de solution réelle\fg{}\\
Sinon si $\Delta = 0$\\
\hspace{2cm}retourner $\dfrac{S}{2}$\\
Sinon \\
\hspace{2cm}retourner $\dfrac{S-\sqrt{\Delta}}{2}$ et $\dfrac{S+\sqrt{\Delta}}{2}$\\
FinSi

\end{minipage}}

\end{center}\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Équation bicarrée}}
On veut résoudre l'équation  $(E) : ~x^4-9x^2+14=0$
\begin{enumerate}
\item On pose $X=x^2$.\\
%Écrire l'équation $(E)$ en fonction de $X$.
$(E)$ s'écrit : $X^2-9X+14=0$.

\item %Résoudre l'équation d'inconnue $X$.
$\Delta=(-9)^2-4\times 1\times 14=81-56=\boxed{\textcolor{red}{25}}$.\\
$\Delta>0$ ; l'équation a deux solutions :$X_1=\dfrac{9-\sqrt{25}}{2}=2$ et $X_2=\dfrac{9+\sqrt{25}}{2}=7$.

\item %En déduire les quatre solutions de $(E)$.
On a $x^2=X$.\\
On résout : $x^2=2$ qui a pour solutions $-\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ et\\
$x^2=7$ qui a pour solutions $-\sqrt{7}$ et $\sqrt{7}$.\\
Les solutions de $(E)$ sont $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{-\sqrt{7}~;~-\sqrt{2}~;~\sqrt{2}~;~\sqrt{7}\}}}$
\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-3\right\}$ par $f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}$ et soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-x-5$.
\begin{enumerate}
\item -3 est une valeur interdite pour $f$ car on ne peut pas diviser par 0.

\item On donne la courbe représentative de $f$.\\
Tracer sur ce graphique la courbe représentative de $g$.
\begin{center}
\psset{xunit=.5,yunit=.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-12,-6)(6,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-12,-6)(6,7)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](-12,-6)(6,7)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-12}{-3.65}{(x-1)/(x+3)}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{-2.45}{6}{(x-1)/(x+3)}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=2pt](-3,-6)(-3,7)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue,linewidth=2pt](-12,1)(6,1)
\uput[u](-9,1.6){$\mathscr{C}_f$}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{-12}{1}{-x-5}
\uput[d](-4,-1){$\mathscr{C}_g$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item %Résoudre l'inéquation $f(x)\geqslant g(x)$.\\
%En déduire la position relative des deux courbes (c'est-à-dire trouver pour quelles valeurs de $x$ $\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ et en dessous).
Pour tout $x\neq -3$, $f(x)\geqslant g(x)\Leftrightarrow \dfrac{x-1}{x+3}\geqslant -x-5\leqslant \dfrac{x-1}{x+3}-(-x-5)\geqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{(x-1)}{x+3}+x+5\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{(x-1)+(x+5)(x+3)}{x+3}\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{x-1+x^2+3x+5x+15}{x+3}\geqslant 0\Leftrightarrow \dfrac{x^2+9x+14}{x+3}\geqslant 0$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Signe de $x^2+9x+14$ : $\Delta=9^2-4\times 1\times 14=25>0$.\\
L'expression a deux racines : $x_1=\dfrac{-9-\sqrt{25}}{2}=-7$ et $x_2=\dfrac{-9+\sqrt{25}}{2}=-2$.\\
$x^2+9x+14$ est positif (du signe du coefficient de $x^2$) à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et négatif entre les racines.

\item $x+3>0\Leftrightarrow x>-3$

\item On renseigne un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-7&&-3&&-2&&\pI\\
\hline
x^2+9x+14&&+&\z&-&\bb&-&\z&+&\\
\hline
x+3&&-&\l&-&\bb&+&\l&+&\\
\hline
\dfrac{x^2+9x+14}{x+3}&&-&\z&+&\bb&-&\l&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
$\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ si, et seulement si, $f(x)\geqslant g(x)$ donc si, et seulement si, $f(x)-g(x)\geqslant 0$.\\
$\mathscr{C}_f$ est au-dessus de $\mathscr{C}_g$ pour $\boxed{\textcolor{red}{x\in[-7~;~-3[ \cup [2~;~+\infty[}}$ et en dessous pour $\boxed{\textcolor{red}{x\in]-\infty~;~-7] \cup ]-3~;~7]}}$.
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection{}%\textcolor{blue}{D'après le livre CQFD 1\iere{}}
%Dans un lointain futur, sur la planète Thêta, vivent Horion et Apolline au sein d’une colonie d’humains, gouvernée avec bienveillance par une I.A. Mais tout n’est pas si paisible sur la planète Thêta\dots
%\og{}Le tapis est mité\fg{} constate Horion.\og{}Tu pourrais au moins
%cacher ta joie\fg{} s’emporte Apolline qui adorait son tapis laineux.\\
%Le tapis carré de 1 m de côté, ravissant, selon les goûts d’Apolline, hideux selon les critères d’Horion, est effectivement attaqué par des mites.
%\og{}Il s’agit de mites de l’espèce Waclaw\fg{}, croit bon de préciser l’I.A. à qui personne n’avait rien demandé, exaspérant davantage Apolline.\\
%Les mites ont leur stratégie ; le premier jour, elles s’attaquent à la partie centrale du tapis : si on partage le tapis
%carré en 9 carrés de même aire, les mites mangent le carré central. Le second jour, elles s’attaquent de la même
%manière aux 8 carrés autour du carré manquant, et ainsi de suite pour les autres jours.\\
%(Remarque : la figure \og{}limite\fg{} qu'on obtient ainsi d'appelle le \og{}tapis de Sierpinski\fg{}, du nom du mathématicien polonais Waclaw Franciszek Sierpinski 1882-1961)



%\begin{center}
%\begin{multicols}{3}
%\setlength{\columnseprule}{0pt}
%\setlength{\columnsep}{1 cm}
%
%\psset{unit=0.25,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(1.81,-9.24)(12,3.94)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=1](1.48,-6.4)(11.48,-6.4)(11.48,3.6)(1.48,3.6)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.813333333333334,0.26666666666666383)(8.146666666666667,0.26666666666666167)(8.146666666666668,-3.06666666666667)(4.813333333333334,-3.0666666666666687)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](1.48,-6.4)(11.48,-6.4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](11.48,-6.4)(11.48,3.6)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](11.48,3.6)(1.48,3.6)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](1.48,3.6)(1.48,-6.4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](8.146666666666667,0.26666666666666167)(8.146666666666668,-3.06666666666667)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](8.146666666666668,-3.06666666666667)(4.813333333333334,-3.0666666666666687)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](4.813333333333334,-3.0666666666666687)(4.813333333333334,0.26666666666666383)
%%\psline[linewidth=2pt](22.49,1.72)(26.49,1.72)
%%\begin{scriptsize}
%%\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=*](23.49,1.72)
%%\end{scriptsize}
%\uput[d](7,-7){$n=1$}
%\end{pspicture*}
%
%\psset{unit=1,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1.6pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
%\begin{pspicture*}(1.81,-9.24)(12,3.94)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,fillcolor=cyan!50,fillstyle=solid,opacity=1](1.48,-6.4)(11.48,-6.4)(11.48,3.6)(1.48,3.6)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.813333333333334,0.26666666666666383)(8.146666666666667,0.26666666666666167)(8.146666666666668,-3.06666666666667)(4.813333333333334,-3.0666666666666687)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](2.5911111111111143,2.488888888888887)(3.702222222222224,2.4888888888888867)(3.7022222222222267,1.3777777777777753)(2.591111111111114,1.3777777777777755)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](5.924444444444447,2.488888888888888)(7.03555555555556,2.4888888888888876)(7.035555555555562,1.3777777777777753)(5.924444444444447,1.3777777777777767)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.257777777777777,2.488888888888881)(10.368888888888891,2.4888888888888783)(10.368888888888877,1.377777777777764)(9.257777777777777,1.3777777777777662)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.257777777777786,-0.8444444444444505)(10.368888888888907,-0.8444444444444529)(10.36888888888889,-1.9555555555555648)(9.257777777777779,-1.9555555555555615)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.257777777777774,-4.177777777777778)(10.368888888888886,-4.177777777777776)(10.368888888888891,-5.288888888888893)(9.25777777777778,-5.288888888888893)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](5.924444444444446,-4.177777777777775)(7.035555555555562,-4.177777777777771)(7.035555555555562,-5.288888888888886)(5.924444444444446,-5.28888888888889)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](2.5911111111111116,-4.177777777777779)(3.7022222222222227,-4.17777777777778)(3.702222222222222,-5.2888888888888905)(2.5911111111111103,-5.28888888888889)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](2.5911111111111125,-0.8444444444444466)(3.7022222222222236,-0.8444444444444479)(3.7022222222222223,-1.955555555555558)(2.5911111111111116,-1.9555555555555568)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](1.48,-6.4)(11.48,-6.4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](11.48,-6.4)(11.48,3.6)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](11.48,3.6)(1.48,3.6)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](1.48,3.6)(1.48,-6.4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](8.146666666666667,0.26666666666666167)(8.146666666666668,-3.06666666666667)
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%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](8.51703703703704,-1.2148148148148203)(8.887407407407395,-1.2148148148148248)(8.887407407407379,-1.5851851851851892)(8.517037037037024,-1.5851851851851806)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](10.739259259259256,-1.2148148148148243)(11.109629629629644,-1.2148148148148248)(11.109629629629579,-1.5851851851852088)(10.739259259259255,-1.5851851851852043)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](2.9614814814814854,-2.325925925925928)(3.331851851851853,-2.3259259259259295)(3.3318518518518547,-2.6962962962962993)(2.9614814814814854,-2.6962962962962993)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.072592592592588,-2.3259259259259255)(4.442962962962955,-2.325925925925927)(4.44296296296296,-2.6962962962962984)(4.072592592592587,-2.6962962962962957)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](8.517037037037039,-2.3259259259259317)(8.887407407407393,-2.325925925925937)(8.887407407407409,-2.69629629629629)(8.517037037037039,-2.6962962962962878)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.628148148148144,-2.3259259259259264)(9.998518518518525,-2.3259259259259175)(9.998518518518525,-2.696296296296305)(9.628148148148144,-2.696296296296318)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](10.739259259259265,-2.325925925925936)(11.109629629629623,-2.325925925925932)(11.109629629629561,-2.696296296296307)(10.739259259259233,-2.6962962962963104)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](1.8503703703703724,-3.437037037037035)(2.2207407407407422,-3.437037037037033)(2.220740740740742,-3.8074074074074082)(1.8503703703703702,-3.8074074074074082)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](2.9614814814814774,-3.437037037037039)(3.331851851851849,-3.4370370370370362)(3.3318518518518485,-3.807407407407407)(2.9614814814814787,-3.8074074074074105)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.072592592592596,-3.437037037037036)(4.442962962962969,-3.437037037037035)(4.442962962962956,-3.8074074074074074)(4.07259259259259,-3.807407407407407)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](5.183703703703712,-3.437037037037033)(5.554074074074089,-3.4370370370370327)(5.55407407407409,-3.807407407407402)(5.1837037037037135,-3.8074074074074047)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](6.294814814814807,-3.437037037037035)(6.66518518518519,-3.43703703703703)(6.665185185185169,-3.8074074074074047)(6.294814814814794,-3.8074074074074096)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](7.405925925925922,-3.4370370370370438)(7.776296296296307,-3.4370370370370518)(7.776296296296293,-3.807407407407418)(7.405925925925922,-3.8074074074074127)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](8.517037037037056,-3.437037037037034)(8.887407407407427,-3.4370370370370473)(8.887407407407395,-3.807407407407411)(8.51703703703704,-3.807407407407398)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.628148148148162,-3.437037037037024)(9.998518518518559,-3.4370370370370265)(9.99851851851854,-3.8074074074074047)(9.62814814814816,-3.8074074074074082)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](10.739259259259216,-3.4370370370370367)(11.109629629629541,-3.4370370370370344)(11.10962962962967,-3.807407407407409)(10.739259259259283,-3.8074074074074065)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](1.8503703703703698,-4.548148148148151)(2.2207407407407382,-4.548148148148157)(2.220740740740742,-4.918518518518525)(1.8503703703703684,-4.918518518518519)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.072592592592593,-4.548148148148139)(4.442962962962967,-4.548148148148138)(4.442962962962967,-4.918518518518503)(4.072592592592601,-4.918518518518501)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](5.183703703703713,-4.548148148148147)(5.554074074074098,-4.548148148148154)(5.554074074074084,-4.91851851851852)(5.183703703703707,-4.918518518518518)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](7.405925925925925,-4.548148148148159)(7.776296296296313,-4.548148148148161)(7.776296296296314,-4.918518518518528)(7.405925925925926,-4.918518518518532)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](8.517037037037026,-4.548148148148156)(8.88740740740738,-4.548148148148172)(8.887407407407379,-4.918518518518521)(8.51703703703704,-4.9185185185185105)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](10.73925925925923,-4.548148148148133)(11.109629629629648,-4.548148148148106)(11.109629629629595,-4.918518518518486)(10.739259259259272,-4.918518518518513)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](1.850370370370368,-5.659259259259264)(2.2207407407407467,-5.659259259259264)(2.2207407407407342,-6.029629629629632)(1.8503703703703642,-6.029629629629632)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](2.961481481481491,-5.65925925925926)(3.3318518518518685,-5.659259259259262)(3.331851851851854,-6.029629629629627)(2.961481481481485,-6.0296296296296275)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](4.0725925925926045,-5.659259259259261)(4.442962962962967,-5.65925925925926)(4.442962962962951,-6.029629629629632)(4.0725925925925885,-6.029629629629633)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](5.183703703703706,-5.659259259259259)(5.554074074074077,-5.659259259259264)(5.554074074074079,-6.02962962962963)(5.183703703703702,-6.02962962962963)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](6.294814814814825,-5.6592592592592625)(6.665185185185207,-5.659259259259261)(6.665185185185207,-6.029629629629642)(6.294814814814825,-6.029629629629642)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](7.405925925925942,-5.659259259259266)(7.776296296296301,-5.659259259259267)(7.776296296296301,-6.029629629629628)(7.405925925925942,-6.029629629629633)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](8.51703703703703,-5.659259259259268)(8.887407407407384,-5.659259259259283)(8.887407407407384,-6.029629629629637)(8.51703703703703,-6.0296296296296275)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](9.62814814814815,-5.659259259259256)(9.998518518518484,-5.659259259259249)(9.9985185185185,-6.029629629629616)(9.628148148148133,-6.029629629629615)
%\pspolygon[linewidth=0.8pt,linecolor=white,fillcolor=white,fillstyle=solid,opacity=1](10.739259259259278,-5.659259259259268)(11.109629629629636,-5.659259259259255)(11.109629629629637,-6.029629629629641)(10.73925925925928,-6.029629629629651)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](1.48,-6.4)(11.48,-6.4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](11.48,-6.4)(11.48,3.6)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](11.48,3.6)(1.48,3.6)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](1.48,3.6)(1.48,-6.4)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](8.146666666666667,0.26666666666666167)(8.146666666666668,-3.06666666666667)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](8.146666666666668,-3.06666666666667)(4.813333333333334,-3.0666666666666687)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=white](4.813333333333334,-3.0666666666666687)(4.813333333333334,0.26666666666666383)
%\uput[d](7,-7){$n=3$}
%\end{pspicture*}
%
%
%\end{multicols}

%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Montrer que $\left(c_n\right)$ est une suite géométrique et, pour tout entier $n>1$, exprimer $c_n$ en fonction de $n$.
Il est clair que, par construction, on a $c_{n+1}=\dfrac{1}{3}c_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
La suite $\left(c_n\right)$ est donc géométrique, de raison $q=\dfrac{1}{3}$ et de premier terme $c_0=1$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{c_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\item %Quelle est la valeur de $A_1$ ?\\
%Vérifier ensuite que $A_2=\dfrac{17}{81}$
$A_1=c_1^2=\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\dfrac{1}{9}$.\\
À l'étape suivante, les mites mangent $\dfrac{1}{9}$ de ce qui reste, donc $\dfrac{1}{9}\left(1-\dfrac{1}{9}\right)=\dfrac{1}{9}\times \dfrac{8}{9}=\dfrac{8}{81}$. La surface totale mangée est alors $A_2=\dfrac{8}{81}+\dfrac{1}{9}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{17}{81}}}$.

\item Chaque jour, les mites mangent $\dfrac{1}{9}$ de la partie du tapis restante.\\
%Montrer que, pour tout entier n>1, on a $A_{n+1}=\dfrac{8}{9}A_n+\dfrac{1}{9}$.
À l'étape $n+1$, les mites mangent $\dfrac{1}{9}$ de la partie non encore mangée, donc $\dfrac{1}{9}\left(1-A_n\right)$.\\
La partie mangée est donc $\dfrac{1}{9}\left(1-A_n\right)+A_n=\dfrac{8}{9}A_n+\dfrac{1}{9}$.\\
On en déduit que, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{A_{n+1}=\dfrac{8}{9}A_n+\dfrac{1}{9}}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item Pour tout entier $n>1$, on pose $B_n= A_n-1$. 
%Montrer que $\left(B_n\right)$ est une suite géométrique.
Pour tout $n>1$, $B_{n+1}=A_{n+1}-1=\dfrac{8}{9}A_n+\dfrac{1}{9}-1=\dfrac{8}{9}A_n-\dfrac{8}{9}=\dfrac{8}{9}\left(A_n-1\right)=\dfrac{8}{9}B_n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{B_{n+1}=\dfrac{8}{9}B_n}}$.\\
La suite $\left(B_n\right)$ est donc géométrique, de raison $q=\dfrac{8}{9}$ et de premier terme $B_1=A_1-1=-\dfrac{8}{9}$.

\item% Pour tout entier $n>1$, en déduire l’expression de $B_n$, puis de $A_n$ en fonction de $n$.
On en déduit que, pour tout $n>1$, $B_n=B_1\times q^{n-1}=-\dfrac{8}{9}\times \left(\dfrac{8}{9}\right)^{n-1}=-\left(\dfrac{8}{9}\right)^n$.\\
Alors : $\boxed{\textcolor{red}{A_n=1+B_n=1-\left(\dfrac{8}{9}\right)^n}}$

\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %À partir de combien de jours la surface du tapis sera-t-elle mangée à 99\:\% au moins ?
$-1<\dfrac{8}{9}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}A_n=1$, donc $A_n$ va finir par dépasser 99\:\%.\\
$A_n\geqslant 99\:\%=0,99\Leftrightarrow \left(\dfrac{8}{9}\right)^n\leqslant 0,01$.\\
En cherchant un tableau de valeurs de la suite $\left(A_n\right)$, on trouve que $n$ doit être supérieur à 40.\\
Au bout de 40 jours, les mites auront mangé au moins 99 \:\% du tapis.

\item %Sachant qu’à une distance supérieure à 1 m, un oeil humain normalement constitué ne peut distinguer de détail sur un tapis inférieur à 0,5 mm, au bout de combien de jours ne verra-t-on plus les nouveaux trous formés ?
On cherche pour quelles valeurs de $n$ la longueur $c_n$ est inférieure ou égale à 0,5 mm = 0,0005 m.\\
%$-1<\dfrac{1}{3}<1$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}c_n=0$ puisque $c_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n$.\\
On trouve à la calculatrice qu'il faut avoir $n\geqslant 7$.
\end{enumerate}

\item %Que penser de chacune des affirmations de Horion et d’Apolline ?
Les trous vont effectivement devenir tellement petits qu'on ne les verra plus mais le tapis va finir par disparaître puisque la limite de $\left(A_n\right)$ est 1.\\
Horion et Apolline ont tous les deux raison.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  