\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Rappels sur la loi binomiale}}\end{center}


\subsection{\textcolor{red}{Schéma de Bernoulli}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Définition}}
On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire à deux issues, appelées en général succès et échec.\\
Si $p$ est la probabilité d'un succès, la probabilité d'un échec est $q=1-p$.\\

\noindent On appelle schéma de Bernoulli une répétition de $n$ fois la même épreuve de Bernoulli, les épreuves successives étant indépendantes.\\
Les paramètres sont $n$ (nombre d'épreuves) et $p$, probabilité d'un succès
\end{bclogo}


\bigskip

\noindent On peut représenter la situation par un arbre pondéré.\\

\noindent \textbf{\textcolor{red}{Exemple avec trois épreuves :}}
\begin{center}
%\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-eps,pst-fill,pst-node,pst-math}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=7mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $p$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $p$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $p$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}
}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$S$}\taput{ $p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $p$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$S$}\taput{ $p$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{S}$}\tbput{ $1-p$}
}
}
}
\end{center}

On a : $p\left(S\cap\overline{S}\cap S\right)=p(1-p)p=p^{2}(1-p)$




\subsection{\textcolor{red}{Loi binomiale}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Retour sur l'exemple précédent}}
Notons $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès au cours des trois épreuves. On a :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(X=3)=p(SSS)=p^3$

\item $p(X=2)=p\left(\left(SS\overline{S}\right) \cup \left(S\overline{S}S\right) \cup \left(\overline{S}SS\right)\right)=3p^2q$

\item $p(X=1)=p\left(\left(S\overline{S}\overline{S}\right) \cup \left(\overline{S}S\overline{S}\right) \cup \left(\overline{S}\overline{S}S\right)\right)=3pq^2$

\item $p(X=0)=q^3$
\end{enumerate}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Cas général}}
\noindent Soit $n$ un entier naturel.
Imaginons la répétition de $n$ épreuves identiques de Bernoulli.\\
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès au cours des $n$ épreuves.\\
Soit $k$ un entier ($0\leqslant k\leqslant n$).\\
Chaque chemin qui compte $k$ succès et donc $n-k$ échecs a une probabiité égale à $p^k(1-p)^{n-k}$.\\
$\binom{n}{k}$ compte le nombre de positions possibles des $k$ succès parmi les $n$ positions possibles de $S$ et $\overline{S}$, donc le nombre de chemins contenant $k$ succès .\\

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriété}}
On dit que $X$  suit la loi binomiale $\mathscr{B}(n~;~p)$. (on peut écrire $X\hookrightarrow\mathscr{B}(n~;~p)$).\\
Pour tout $k$ avec $0\leqslant k\leqslant n$, $p(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$
\end{bclogo}



\subsubsection{\textcolor{blue}{Espérance}}


\begin{minipage}{9cm}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Propriétés (admises)}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $E(X)=np$ (espérance)

\item $V(X)=npq$ (variance) où $q=1-p$

\item $\sigma(X)=\sqrt{npq}$ (écart-type).
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}

\subsection{\textcolor{red}{Exemple : exercice du bac blanc}}
Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs.\\
On a trouvé (première partie) que la probabilité d'avoir un conifère est $p=0,525$.

On choisit au hasard un échantillon de $10$~arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à  un tirage avec remise de $10$~arbres dans le stock.
 
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale\index{loi binomiale} dont on précisera les paramètres. 
		\item Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$~conifères? 

On arrondira à  $10^{-3}$. 
		\item Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
		 
On arrondira à  $10^{-3}$.

\item Quelle est l'espérance de cette loi ?\\
Interpréter le résultat.
	\end{enumerate} 

\bigskip
\textbf{\textcolor{red}{Correction}}
On a répétition d'épreuves identiques indépendantes à deux issues, donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,525$.\\
On a alors $p(X=k)=\binom{10}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\binom{10}{k}\times 0,525^{k}\times 0,475^{10-k}}}$.

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement $5$~conifères? 
%On arrondira à $10^{-3}$. 
La probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères est :\\
$p(X=5)=\binom{10}{5}\times 0,525^{5}\times 0,475^{5}\\
\approx \boxed{\textcolor{red}{0,243\text{ à }10^{-3}\text{ près}}}$.


\item %Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ?
		 
%On arrondira à $10^{-3}$.
La probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus est :\\
$p(X\leqslant 8)=1-[p(X=9)+p(X=10)]\approx \boxed{\textcolor{red}{0,984}}$.\\
On peut aussi calculer directement $p(X\leqslant 8)$ avec la fonction BinomialFRep de la calculatrice (menu Distrib).\\
On tape BinomialFrep(n,p,k) pour calculer $p(X\leqslant k)$.
	\end{enumerate} 

\subsection{\textcolor{red}{Exemple : Bac Métropole juin 2012}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Énoncé}}

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\:\% des dossiers reçus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\:\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\:\% des candidats rencontrés. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 

On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{3mm}
\begin{itemize}
\item $D$ : \og Le candidat est retenu sur dossier \fg, 
\item $E_{1}$ : \og Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien \fg, 
\item $E_{2}$ : \og Le candidat est recruté \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
 
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{\ldots}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{\ldots}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{\ldots}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{\ldots}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{\ldots}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{\ldots}		 		
}
\end{center} 
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$. 
		\item On note $F$ l'évènement \og Le candidat n'est pas recruté \fg.
		 
Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.
	\end{enumerate} 
\item Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. 
		\item Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
	\end{enumerate} 		 
\item Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?
	\end{enumerate} 	

\subsubsection{\textcolor{blue}{Correction}}
%Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40\:\% des dossiers reÁus sont validés et transmis à l'entreprise. Les candidats ainsi sélectionnés passent un premier entretien à l'issue duquel 70\:\% d'entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur des ressources humaines qui recrutera 25\:\% des candidats rencontrés. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 

%On choisit au hasard le dossier d'un candidat.
 
%On considère les évènements suivants :

%\setlength\parindent{3mm}
%\begin{itemize}
%\item D : \og{}Le candidat est retenu sur dossier\fg{}, 
%\item E$_{1}$ : \og{}Le candidat est retenu à l'issue du premier entretien\fg{}, 
%\item E$_{2}$ : \og{}Le candidat est recrut?\fg{}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
	\begin{enumerate}
		\item %Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
 
\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$D$}\taput{0,4}}
	  { 
	\pstree{\TR{$E_{1}$}\taput{0,7}}
		{\TR{$E_{2}$}\taput{0,25}
		\TR{$\overline{E_{2}}$}\tbput{0,75}
		}

		\TR{$\overline{E_{1}}$}\tbput{0,3}
	  }	 	   
	 	 \TR{$\overline{D}$}\tbput{0,6}		 		
}
\end{center}
\medskip
 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement $E_{1}$.
On a $p\left(E_{1}\right) = p\left(D \cap E_{1}\right) = p(D) \times p_{D}\left(E_{1}\right) = 0,4 \times 0,7 = 0,28$. 
		\item %On note $F$ l'évènement \og{}Le candidat n'est pas recruté\fg{}.
		 
%Démontrer que la probabilité de l'évènement $F$ est égale à $0,93$.
Calculons la probabilité de ne pas être recruté, soit :

$p(F) = p\left(\overline{D}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{1}}\right) + p\left(D \cap \overline{E_{2}}\right) = 0,6 + 0,4 \times 0,3 + 0,4 \times 0,7 \times 0,75 = 0,6 + 0,12 + 0,21 = 0,93$. D'o\`u $p\left(\overline{F}\right) = 1 - p(F) = 1 - 0,93 = 0,07$.

On peut directement calculer la probabilité d'être recruté, soit :

$p\left(\overline{F}\right) = p\left(D \cap E_{1}\cap E_{2}\right) = 0,4 \times 0,7 \times 0,25 = 0,07$.

D'o\`u $p(F) = 1 - p\left(\overline{F}\right) = 1 - 0,07 = 0,93$.
	\end{enumerate} 
\item %Cinq amis postulent à un emploi de cadre dans cette entreprise. Les études de leur dossier sont faites indépendamment les unes des autres. On admet que la probabilité que chacun d'eux soit recruté est égale à $0,07$.
 
%On désigne par $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq candidats. 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $X$ suit une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi.
		Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité d'être recruté égale à $0,07$.  La variable $X$ suit donc une loi binomiale $(\mathcal{B},n=5,\:p=0,07)$. 
		\item %Calculer la probabilité que deux exactement des cinq amis soient recrutés. On arrondira à $10^{-3}$.
		On a $p(X = 2) = \binom{5}{2}0,07^2 \times 0,93^3  = 10 \times 0,07^2 \times 0,93^3 \approx \np{0,0394} \approx 0,039$ à $10^{-3}$ près
	\end{enumerate} 		 
\item %Quel est le nombre minimum de dossiers que le cabinet de recrutement doit traiter pour que la probabilité d'embaucher au moins un candidat soit supérieure à $0,999$ ?
On reprend ici la loi binomiale mais avec $n$ candidats chacun ayant une probabilité d'être recruté égale à $0,07$.

La probabilité qu'aucun ne soit retenu est égale à : $\binom{0}{n}\times 0,07^0 \times 0,93^n = 0,93^n$.

La probabilité qu'un au moins des $n$ candidats soit recruté est donc égale à $1 - 0,93^n$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$1 - 0,93^n > 0,999 \iff 0,001 > 0,93^n \iff \ln 0,001 > n \ln 0,93$ \:(par croissance de la fonction $\ln$) \\
$\iff n > \dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93}$ car $\ln 0,93 < 0$.

Or $\dfrac{\ln 0,001}{\ln 0,93} \approx 95,1$.

Il faut donc traiter au moins 96 dossiers pour avoir une probabilité supérieure à 0,999 de recruter au moins un candidat.

\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  