<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{SpÃ©cialitÃ© mathÃ©matiques : devoir sur feuille \no 2}}\end{center}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Bac ES juin 2016
Le 1\ier{} septembre 2015, un ensemble scolaire compte \np{3000} Ã©lÃ¨ves.\\
Une Ã©tude statistique interne a montrÃ© que chaque 1\ier{} septembre :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 10\,\% de l'effectif quitte l'Ã©tablissement ;

\item 250 nouveaux Ã©lÃ¨ves s'inscrivent.

\end{enumerate}

On cherche Ã&nbsp; modÃ©liser cette situation par une suite $(u_n)$ oÃ¹, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ reprÃ©sente le nombre d'Ã©lÃ¨ves le 1\ier{} septembre de l'annÃ©e $2015+n$.\index{suite}

\begin{enumerate}[1)]
\item Justifier qu'on peut modÃ©liser la situation avec la suite $\left(u_n\right)$ telle que 

$u_0=\np{3000}$ et, pour tout entier naturel $n$, \\
$u_{n+1}= 0,9\,u_n+250$.

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-\np{2500}$.

	\begin{enumerate}
		\item DÃ©montrer que la suite $(v_n)$ est gÃ©omÃ©trique de raison 0,9. PrÃ©ciser $v_0$.
		\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.

En dÃ©duire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=500\times 0,9^n + \np{2500}$.
	\end{enumerate}
\item DÃ©montrer que pour tout entier naturel $n$, \\
$u_{n+1}-u_n = -50\times 0,9^n$.

En dÃ©duire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

\item La capacitÃ© optimale d'accueil est de \np{2800} Ã©lÃ¨ves. Ainsi, au 1\ier{} septembre 2015, l'ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 Ã©lÃ¨ves.

Ã‰crire un algorithme permettant de dÃ©terminer Ã&nbsp; partir de quelle annÃ©e, le contexte restant le mÃªme, l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.

\end{enumerate}

%\subsection{}%https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/math1spe/Ctrle_devoir_19_20/02_ctrle_12_12_2019.pdf
%Soit la suite $\left(u_n\right)$ dÃ©finie par $u_0 =5$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_ {n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+1$.\\
%On a tracÃ© ci-dessous la courbe reprÃ©sentative de la fonction $f$ dÃ©finie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x+1$ et la droite dâ€™Ã©quation $y = x$.
%
%\begin{enumerate}[1)]
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Sur le graphique , construire les termes $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ sur lâ€™axe des abscisses.
%
%\item Quelles conjectures peut-on Ã©mettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
%\end{enumerate}
%
%\item Pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, on pose : $v_n=u_n-\dfrac{3}{2}$.
%
%\begin{enumerate}
%\item DÃ©montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite gÃ©omÃ©trique dont on donnera la raison $q$ et le premier terme $v_0$.\\
%En dÃ©duire les variations de $\left(v_n\right)$ puis de $\left(u_n\right)$. 
%
%\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
%
%\item En dÃ©duire la monotonie de la suite puis la limite de la suite $\left(u_n\right)$ en vous justifiant.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\end{multicols}
%\begin{center}
%\psset{unit=1.5,comma=true,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(6,4.5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{-&gt;}(0,0)(0,0)(6,4)
%\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0](0,0)(6,4)
%\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{6}{x/3+1}
%\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{0}{4}{x}
%\uput[u](6,3){$y=\dfrac{1}{3}x+1$}
%\uput[u](4,4){$y=x$}
%\end{pspicture}
%
%\end{center}

%\subsection{}%https://mathovore.fr/wp-content/uploads/2014/10/devoir-maison-maths-premiere-s-4.pdf
%%Correction ici : https://mathovore.fr/wp-content/uploads/2014/10/corrige-devoir-maison-maths-premiere-s-4.pdf
%Soit (E) lâ€™Ã©quation dâ€™inconnue x : $(m-1)x^2 -4mx+m-6=0$, oÃ¹ $m$ est un rÃ©el.
%
%\begin{enumerate}
%\item On Ã©tudie le cas oÃ¹ $m = 1$/\\
%Ã©crire lâ€™Ã©quation (E), puis la rÃ©soudre.
%
%\item On suppose dÃ©sormais que $m\neq1$.\\
%DÃ©terminer $m$ dans chacun des cas suivants : 
%
%\begin{enumerate}
%\item 1 est solution de (E).
%
%\item E) a une seule solution.
%
%\item (E) nâ€™admet pas de racine rÃ©elle.
%
%\item Pour tout rÃ©el x, $(m-1)x^2-4mx + m - 6 &lt; 0$.
%
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $f$ une fonction dÃ©rivable sur un intervalle $I$.\\
Soit $a$ un nombre appartenant Ã&nbsp; $I$ et $h$ un nombre non nul tel que $a+h\in I$.

\begin{enumerate}[1)]
\item Si $h$ est trÃ¨s proche de 0, alors, d'aprÃ¨s la dÃ©finition du nombre dÃ©rivÃ©, on peut dire que le taux de variation entre $a$ et $a+h$ est trÃ¨s proche de $f'(a)$.\\
En dÃ©duire que si $h$ est trÃ¨s proche de zÃ©ro, on peut Ã©crire : $f(a+h)\approx f'(a)\times h+f(a)$.

\item 
\begin{enumerate}
\item On considÃ¨re la fonction $f : x\mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$.\\
Justifier que si $h $est proche de 0, alors on peut Ã©crire $(1+h)^2\approx 1+2h$.

\item En dÃ©duire sans une valeur rapprochÃ©e de $1,005^2$  et $0,999^2$.\\
Comparer avec les valeurs exactes  de $f(1,005)$ et de $f(0,999)$. 
\end{enumerate}

\item On considÃ¨re la fonction racine carrÃ©e $g : x\mapsto \sqrt{x}$, dÃ©rivable sur $]O~;~+\infty[$.\\
Justifier que, si $h$ est proche de 0, alors on peut Ã©crire $\sqrt{1+h}\approx 1+\dfrac{h}{2}$.

\item En dÃ©duire, sans calculatrice, une valeur approchÃ©e de $\sqrt{1,02}$ et de $\sqrt{0,96}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Le plan est rapportÃ© Ã&nbsp; un repÃ¨re $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ orthonormÃ©. On considÃ¨re dans ce repÃ¨re la parabole $\mathscr{P}$ d'Ã©quation $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x-1$.

\begin{enumerate}
\item ReprÃ©senter cette parabole dans le repÃ¨re.

\item DÃ©terminer une Ã©quation de la tangente Ã&nbsp; cette parabole au point d'abscisse $x=0$ et tracer cette droite.

\item Montrer qu'il existe un point de la courbe $\mathscr{P}$ oÃ¹ la tangente a pour coefficient directeur $\dfrac{7}{2}$.\\
Tracer cette droite.

\item Soit $a$ un nombre rÃ©el. DÃ©terminer en fonction de $a$ l'Ã©quation de la tangente Ã&nbsp; $\mathscr{P}$ au point $A$ d'abscisse $a$.\\
En dÃ©duire les Ã©quations des tangentes Ã&nbsp; $\mathscr{P}$ passant par le point $B(0~;~1)$.

\end{enumerate}


\subsection{}%DM4 2007-2008
Soient $f:x\longmapsto -x^2+3$ une fonction dÃ©finie sur $\mathbb{R}$ et $g:x\longmapsto \dfrac{2}{x}$ une fonction dÃ©finie sur $\mathbb{R}^*$.\\
On appelle $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ leurs courbes reprÃ©sentatives dans un repÃ¨re orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$. 
\begin{enumerate}

\item Tracer les deux courbes dans le mÃªme repÃ¨re $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.

\item  Montrer que les deux courbes ont une tangente commune $T$ au point $A$ de coordonnÃ©es $(1~;~2)$ et donner l'Ã©quation de cette tangente.

\item Ã‰tudier la position de chacune des courbes par rapport Ã&nbsp; la tangente $T$.
\end{enumerate}

\end{multicols}



\subsection{\textcolor{blue}{Triangle de Sierpinski}}%http://www.gymomath.ch/javmath/1_3option_spec/corrige_suites/CorrigÃ©%202.41.pdf
Le triangle de Sierpinski (Waclaw Sierpinski, 1882-1969), dessinÃ© en 1915. est un exemple de fractale.\\
Il peut Ãªtre construit en commenÃ§ant par un triangle Ã©quilatÃ©ral, de couleur bleue.\\
On construit un triangle central, dont les sommets sont les milieux des cÃ´tÃ©s du triangle initial.\\ 
Ainsi obtient-on quatre triangles Ã©quilatÃ©raux. On colorie en blanc le triangle central (voir figure).
Chacun. des trois triangles restants est divisÃ© en quatre triangles Ã©quilatÃ©raux selon le mÃªme procÃ©dÃ©, puis on colorie en blanc chaque triangle central (voir figure).\\
Lors de la troisiÃ¨me Ã©tape. neuf triangles sont coloriÃ©s en blanc. Si l'on poursuit ce processus Ã&nbsp; l'infini. on obtient le trianglc de Sierpinski, 

\begin{center}
\def\trianglewidth{2.5cm}%
\pgfdeclarelindenmayersystem{Sierpinski triangle}{
    \symbol{X}{\pgflsystemdrawforward}
    \symbol{Y}{\pgflsystemdrawforward}
    \rule{X -&gt; X-Y+X+Y-X}
    \rule{Y -&gt; YY}
}%
\foreach \level in {0,...,5}{%
\tikzset{
    l-system={step=\trianglewidth/(2^\level), order=\level, angle=-120}
}%
\begin{tikzpicture}
    \fill [cyan!50] (0,0) -- ++(0:\trianglewidth) -- ++(120:\trianglewidth) -- cycle;
    \draw [draw=none] (0,0) l-system
    [l-system={Sierpinski triangle, axiom=X},fill=white];
\end{tikzpicture}}
\end{center}


\begin{enumerate}[a)]
\item DÃ©terminer une suite gÃ©omÃ©trique $\left(a_n\right)$ qui donne le nombre de  triangles coloriÃ©s en blanc lors de la $n$-iÃ¨me Ã©tape. 

\item Calculer le nombre de triangles coloriÃ©s en blanc lors de la quinziÃ¨me Ã©tape.

\item Calculer le nombre total de triangles coloriÃ©s en blanc aprÃ¨s quinze Ã©tapes.

\item En supposant que le triangle de dÃ©part ait une surface de 1unitÃ©, . dÃ©terminer une suite $\left(b_n\right)$ qui donne la surface des piÃ¨ces coloriÃ©es en blanc lors de la $n$-iÃ¨me Ã©tape.\\
Montrer que cette suite est une suite gÃ©omÃ©trique.

\item DÃ©terminer la surface coloriÃ©e en blanc lors de la septiÃ¨me Ã©tape.

\item DÃ©terminer la surface totale coloriÃ©e en blanc de la piÃ¨ce aprÃ¨s la  septiÃ¨me etape.

\item DÃ©terminer quelle proportion de I' aire du triangle de dÃ©part est encore bleue lorsque le nombre d'Ã©tapes tend vers l' infini. 


\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>