<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/3}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{SpÃ©cialitÃ© mathÃ©matiques : correction du devoir sur feuille \no 2}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}%Bac ES juin 2016
Le 1\ier{} septembre 2015, un ensemble scolaire compte \np{3000} Ã©lÃ¨ves.\\
Une Ã©tude statistique interne a montrÃ© que chaque 1\ier{} septembre :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item 10\,\% de l'effectif quitte l'Ã©tablissement ;

\item 250 nouveaux Ã©lÃ¨ves s'inscrivent.

\end{enumerate}

On cherche Ã&nbsp; modÃ©liser cette situation par une suite $(u_n)$ oÃ¹, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ reprÃ©sente le nombre d'Ã©lÃ¨ves le 1\ier{} septembre de l'annÃ©e $2015+n$.\index{suite}

\begin{enumerate}[1)]
\item %Justifier qu'on peut modÃ©liser la situation avec la suite $\left(u_n\right)$ telle que 
%
%$u_0=\np{3000}$ et, pour tout entier naturel $n$, \\
%$u_{n+1}= 0,9\,u_n+250$.
En septembre 2005, il y \numprint{3000} Ã©lÃ¨ves donc $u_0=\numprint{3000}$.\\
Le coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une baisse de 10\:\% est $C=1-\dfrac{10}{100}=0,9$.\\
On en dÃ©duit $\boxed{\textcolor{red}{u_{n+1}=0,9u_n+250}}$ puisque 250 nouveaux Ã©lÃ¨ves d'inscrivent.

\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n-\np{2500}$.

	\begin{enumerate}
		\item %DÃ©montrer que la suite $(v_n)$ est gÃ©omÃ©trique de raison 0,9. PrÃ©ciser $v_0$.
		Pour tout $n$ : 
		\begin{align*}
v_ {n+1}&amp;=u_ {n+1}-\numprint{2500}\\
&amp;=\left(0,9u_n+250\right)-\numprint{2500}\\
&amp;=0,9u_n-\numprint{2250}\\
&amp;-0,9\left(u_n-\dfrac{\numprint{2250}}{0,9}\right)\\
&amp;=0,9\left(u_n-\numprint{2500}\right)\\
&amp;=0,9v_n
\end{align*}\\
Pour tout $n$ : $v_{n+1}=0,9v_n$.\\
La suite $(v_n)$ est gÃ©omÃ©trique de raison $q=0,9$ et de premier terme $v_0=u_0-\numprint{2500}=\numprint{3000}-\numprint{2500}=\numprint{500}$.

		\item %Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
		On en dÃ©duit que, pour tout $n$ : $v_n=v_0\times q^n$ donc :
		\[\boxed{\textcolor{red}{v_n=500\times 0,9^n}}\]

%En dÃ©duire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=500\times 0,9^n + \np{2500}$.
Comme $u_n=v_n+\np{2500}$, on peut en dÃ©duire que pour tout entier naturel $n$, 

\[\boxed{\textcolor{red}{u_n=500\times 0,9^n + \np{2500}.}}\]

	\end{enumerate}
\item %DÃ©montrer que pour tout entier naturel $n$, \\ $u_{n+1}-u_n = -50\times 0,9^n$.
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n \\
= \left [500\times 0,9^{n+1}+\np{2500}\right ] - \left [500\times 0,9^n + \np{2500} \right ] \\
= 500\times 0,9 \times 0,9^n - 500 \times 0,9^n\\
=500\times 0,9^n\left(0,9-1\right)=500\times 0,9^n\times (-0,1)\\
\boxed{\textcolor{red}{=-50\times 0,9^n&lt;0}}\textbf{}$.

%En dÃ©duire le sens de variation de la suite $(u_n)$.
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n&lt;0$ : la suite $\left(u_n\right)$ est dÃ©croissante.

\item La capacitÃ© optimale d'accueil est de \np{2800} Ã©lÃ¨ves. Ainsi, au 1\ier{} septembre 2015, l'ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 Ã©lÃ¨ves.

%Ã‰crire un algorithme permettant de dÃ©terminer Ã&nbsp; partir de quelle annÃ©e, le contexte restant le mÃªme, l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.

On veut dÃ©terminer Ã&nbsp; partir de quelle annÃ©e, le contexte restant le mÃªme, l'ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif; cela arrivera la premiÃ¨re annÃ©e pour laquelle l'effectif sera infÃ©rieur ou Ã©gal Ã&nbsp; \np{2800}.

Comme la suite $(u_n)$ est dÃ©croissante, ce sera Ã©galement le cas pour les annÃ©es qui suivront.

Voici un algorithme qui rÃ©pond au problÃ¨me:


\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|&gt;\bf{l} l|}
\hline
Variables &amp; $n$ entier et $u$ rÃ©el\\
\hline
Initialisation &amp; $n$ prend la valeur 0\\
               &amp; $u$ prend la valeur \np{3000}\\
\hline
Traitement &amp; Tant que $u &gt; \np{2800}$ faire\\
           &amp; \hspace*{1cm} $n$ prend la valeur $n+1$\\
           &amp; \hspace*{1cm} $u$ prend la valeur $0,9\times u + 250$\\
           &amp; Fin de Tant que\\
\hline
Sortie &amp; Afficher $n$\\
\hline
\end{tabular}

\end{center}
\end{enumerate}

%\subsection{}%https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/math1spe/Ctrle_devoir_19_20/02_ctrle_12_12_2019.pdf
%Soit la suite $\left(u_n\right)$ dÃ©finie par $u_0 =5$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_ {n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+1$.\\
%On a tracÃ© ci-dessous la courbe reprÃ©sentative de la fonction $f$ dÃ©finie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{3}x+1$ et la droite dâ€™Ã©quation $y = x$.
%
%\begin{enumerate}[1)]
%\item 
%\begin{enumerate}
%\item Sur le graphique , construire les termes $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ sur lâ€™axe des abscisses.
%
%\item Quelles conjectures peut-on Ã©mettre sur le sens de variation et sur la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
%\end{enumerate}
%
%\item Pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, on pose : $v_n=u_n-\dfrac{3}{2}$.
%
%\begin{enumerate}
%\item DÃ©montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite gÃ©omÃ©trique dont on donnera la raison $q$ et le premier terme $v_0$.\\
%En dÃ©duire les variations de $\left(v_n\right)$ puis de $\left(u_n\right)$. 
%
%\item Exprimer $v_n$ puis $u_n$ en fonction de $n$.
%
%\item En dÃ©duire la monotonie de la suite puis la limite de la suite $\left(u_n\right)$ en vous justifiant.
%\end{enumerate}
%\end{enumerate}
%
%\end{multicols}
%\begin{center}
%\psset{unit=1.5,comma=true,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(6,4.5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{-&gt;}(0,0)(0,0)(6,4)
%\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0](0,0)(6,4)
%\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{6}{x/3+1}
%\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=red]{0}{4}{x}
%\uput[u](6,3){$y=\dfrac{1}{3}x+1$}
%\uput[u](4,4){$y=x$}
%\end{pspicture}
%
%\end{center}

%\subsection{}%https://mathovore.fr/wp-content/uploads/2014/10/devoir-maison-maths-premiere-s-4.pdf
%%Correction ici : https://mathovore.fr/wp-content/uploads/2014/10/corrige-devoir-maison-maths-premiere-s-4.pdf
%Soit (E) lâ€™Ã©quation dâ€™inconnue x : $(m-1)x^2 -4mx+m-6=0$, oÃ¹ $m$ est un rÃ©el.
%
%\begin{enumerate}
%\item On Ã©tudie le cas oÃ¹ $m = 1$/\\
%Ã©crire lâ€™Ã©quation (E), puis la rÃ©soudre.
%
%\item On suppose dÃ©sormais que $m\neq1$.\\
%DÃ©terminer $m$ dans chacun des cas suivants : 
%
%\begin{enumerate}
%\item 1 est solution de (E).
%
%\item E) a une seule solution.
%
%\item (E) nâ€™admet pas de racine rÃ©elle.
%
%\item Pour tout rÃ©el x, $(m-1)x^2-4mx + m - 6 &lt; 0$.
%
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $f$ une fonction dÃ©rivable sur un intervalle $I$.\\
Soit $a$ un nombre appartenant Ã&nbsp; $I$ et $h$ un nombre non nul tel que $a+h\in I$.

\begin{enumerate}[1)]
\item %Si $h$ est trÃ¨s proche de 0, alors, d'aprÃ¨s la dÃ©finition du nombre dÃ©rivÃ©, on peut dire que le taux de variation entre $a$ et $a+h$ est trÃ¨s proche de $f'(a)$.\\
%En dÃ©duire que si $h$ est trÃ¨s proche de zÃ©ro, on peut Ã©crire : $f(a+h)\approx f'(a)\times h+f(a)$.
Par dÃ©finition : $f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0 }\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ donc pour $h$ proche de 0, $f'(x)\approx \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$, d'oÃ¹ :\\
$f(a+h)-f(a)\approx f'(a)h$ et donc : $\boxed{\textcolor{red}{f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h}}$.

\item 
\begin{enumerate}
\item %On considÃ¨re la fonction $f : x\mapsto x^2$ sur $\mathbb{R}$.\\
%Justifier que si $h $est proche de 0, alors on peut Ã©crire $(1+h)^2\approx 1+2h$.
$f(x)=x^2$ donc $f'(x)=2x$.\\
On applique la formule prÃ©cÃ©dente avec $a=1$ : \\
$f(1+h)=(1+h)^2\approx f(1)+f'(1)h=1^2+2\times 1\times h$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f(1+h)=(1+h)^2\approx 1+2h}}$

\item %En dÃ©duire sans une valeur rapprochÃ©e de $1,005^2$  et $0,999^2$.\\
On en dÃ©duit : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $1,005^2\approx 1+2\times 0,005=\boxed{\textcolor{red}{1,01}}$ avec $h=0,005$

\item $0,999^2=f(1-0,001)\approx 1-2\times 0,001=1-0,00\\
2=\boxed{\textcolor{red}{0,998}}$
\end{enumerate}
%Comparer avec les valeurs exactes  de $f(1,005)$ et de $f(0,999)$ (en prenant $h=-0,001$). 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item La valeur exacte de $f(1,005)$ est \\
$f(1,005)=1,005^2=\numprint{1,010025}$ donc nous avons truffÃ© une bonne approximation.

\item La valeur exacte de $f(0,999)$ est \\
$f(0,999)=0,999^2=\numprint{0,998001}$ donc nous avons trouvÃ© une bonne approximation.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\item On considÃ¨re la fonction racine carrÃ©e $g : x\mapsto \sqrt{x}$, dÃ©rivable sur $]O~;~+\infty[$.\\
%Justifier que, si $h$ est proche de 0, alors on peut Ã©crire $\sqrt{1+h}\approx 1+\dfrac{h}{2}$.
$g(x)=\sqrt{x}$ ; $g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$.\\
Pour $h$ proche de 0, on a donc : $g(1+h)\approx g(1)+g'(1)h=\sqrt{1}+\dfrac{1}{2\sqrt{1}}\times h=\boxed{\textcolor{red}{1+\dfrac{h}{2}}}$.

\item %En dÃ©duire, sans calculatrice, une valeur approchÃ©e de $\sqrt{1,02}$ et de $\sqrt{0,96}$.
On en dÃ©duit : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\sqrt{1,02}\approx 1+\dfrac{0,02}{2}=\boxed{\textcolor{red}{1,01}}$

\item $\sqrt{0,96}\approx 1-\dfrac{0,04}{2}=\boxed{\textcolor{red}{0,98}}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : cela bien de ce que localement, on approximativement la courbe en un point par sa tangente en ce point.

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Le plan est rapportÃ© Ã&nbsp; un repÃ¨re $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$ orthonormÃ©. On considÃ¨re dans ce repÃ¨re la parabole $\mathscr{P}$ d'Ã©quation $y=-\dfrac{1}{2}x^2+x-1$.\\
On pose $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x-1$.

\begin{enumerate}
\item %ReprÃ©senter cette parabole dans le repÃ¨re.
ReprÃ©sentation graphique en fin d'exercice.\\
Le sommet a pour coordonnÃ©es $\left(1~;~-\dfrac{1}{2}\right)$ et cette parabole a pour axe de symÃ©trie la droite d'Ã©quation $x=1$.\\
On calcule les coordonnÃ©s de quelques points d'abscisses supÃ©rieures Ã&nbsp; 1 et on complÃ¨te la courbe par symÃ©trie.\\

\begin{tabular}{|*{7}{c|}}\hline
$x$&amp;1&amp;1,5&amp;2&amp;2,5&amp;3&amp;4\\
\hline
$f(x)$&amp;-0,5&amp;0,625&amp;-1&amp;-1,625&amp;-2,5&amp;-5\\
\hline
\end{tabular}


\item %DÃ©terminer une Ã©quation de la tangente Ã&nbsp; cette parabole au point d'abscisse $x=0$ et tracer cette droite.
L'Ã©quation de la tangente Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$ en $a$ est \\
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$.\\
En 0 : $y=f'(0)x+f(0)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=-1$

\item $f'(x)=-x+1$ donc $f'(0)=1$
\end{enumerate}
La tangente Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$ en 0 est : $\boxed{\textcolor{red}{y=x-1}}$. (reprÃ©sentÃ©e sur la courbe).

\item %Montrer qu'il existe un point de la courbe $\mathscr{P}$ oÃ¹ la tangente a pour coefficient directeur $\dfrac{7}{2}$.\\
%Tracer cette droite.
On cherche $a$ tel que $f'(a)=\dfrac{7}{2}$ donc $-a+1=\dfrac{7}{2}$ qui a pour solution $a=1-\dfrac{7}{2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{5}{2}}}$.\\


\item Soit $a$ un nombre rÃ©el. %DÃ©terminer en fonction de $a$ l'Ã©quation de la tangente Ã&nbsp; $\mathscr{P}$ au point $A$ d'abscisse $a$.\\
L'Ã©quation de la tangente en $a$ est :\\
$y=f'(a)(x-a)+f(a)\Leftrightarrow y=(-a+1)(x-a)-\dfrac{a^2}{2}+a-1\\
\Leftrightarrow y=(-a+1)x+a^2-a-\dfrac{a^2}{2}+a-1\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=(-a+1)x+\dfrac{a^2}{2}-1}}$.\\
%En dÃ©duire les Ã©quations des tangentes Ã&nbsp; $\mathscr{P}$ passant par le point $B(0~;~1)$.
On cherche les tangentes passant par $B(0~;~1)$.\\
Les coordonnÃ©es de $B$ doivent vÃ©rifier l'Ã©quation de la tangente, donc :\\
$1=\dfrac{a^2}{2}-1\Leftrightarrow 2=\dfrac{a^2}{2}\Leftrightarrow a^2=4\Leftrightarrow a=\pm 2$.\\
Les tangentes en -2 et 2 Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$ passent par $B$.\\
Elles ont pour Ã©quations : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $a=-2$ : $\boxed{\textcolor{red}{y=3x+1}}$

\item Pour $a=2$ : $\boxed{\textcolor{red}{y=-x+1}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=0.9,yunit=0.9,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-12)(5,2)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-5,-12)(5,2)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-12)(5,2)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3}{5}{-x^2/2+x-1}
%\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-2}{2}{x-1}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-3}{-2}{3.5*x+2.13}
\psdot[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](-2.5,-6.625)
\psplotTangent[arrows=&lt;-&gt;,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{0}{2}{-0.5*x^2+x-1}
\psplotTangent[arrows=&lt;-&gt;,linecolor=green,linewidth=2pt]{-2.5}{2}{-0.5*x^2+x-1}
\psplotTangent[arrows=&lt;-&gt;,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{-2}{7}{-0.5*x^2+x-1}
\psplotTangent[arrows=&lt;-&gt;,linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{2}{4}{-0.5*x^2+x-1}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=2](1,-0.5)(1.5,-0.625)(2,-1)(2.5,-1.625)(3,-2.5)(4,-5)
\uput[r](4,-5){$\mathscr{C}_f$}
\end{pspicture}

\end{center}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}%DM4 2007-2008
Soient $f:x\longmapsto -x^2+3$ une fonction dÃ©finie sur $\mathbb{R}$ et $g:x\longmapsto \dfrac{2}{x}$ une fonction dÃ©finie sur $\mathbb{R}^*$.\\
On appelle $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_{g}$ leurs courbes reprÃ©sentatives dans un repÃ¨re orthonormal $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$. 

\newpage

\begin{enumerate}

\item %Tracer les deux courbes dans le mÃªme repÃ¨re $\left(O~;~\overrightarrow{i}~;~\overrightarrow{j}\right)$.
Courbes : 
\begin{center}
\psset{xunit=0.8,yunit=0.3,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-9)(5,7)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{-&gt;}(0,0)(-5,-9)(5,7)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-9)(5,7)
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=red]{-3.2}{3.2}{3-x^2}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{-5}{-0.25}{2/x}
\psplot[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0.3}{5}{2/x}
\uput[u](-1,2){$\mathscr{C}_f$}
\uput[u](4,0.5){$\mathscr{C}_g$}
%\psplot[linewidth=2pt]{&lt;-&gt;}{0}{2}{-2*x+4}
\psplotTangent[arrows=&lt;-&gt;,linecolor=green,linewidth=2pt]{1}{2}{2/x}
\uput[ur](1,2){$A$}
\end{pspicture}

\end{center}

\item  %Montrer que les deux courbes ont une tangente commune $T$ au point $A$ de coordonnÃ©es $(1~;~2)$ et donner l'Ã©quation de cette tangente.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(1)=3-1^2=2$ et $g(1)=\dfrac{2}{1}=2$ donc $A(1~;~2)$ appartient Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f$ et $\mathscr{C}_g$

\item $f'(x)=-2x$ donc $f'(1)=-2$

\item $g(x)=2\times \dfrac{1}{x}$ donc $g'(x)=2\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=-\dfrac{2}{x^2}$. Alors : $g'(1)=-2$

\item En $A$, $f$ et $g$ admettent lue mÃªme nombre dÃ©rivÃ© donc les deux courbes admettent la mÃªme tangente en $A$.
\\

\item L'Ã©quation de la tangente $T$ en $A$ est : \\
$y=f'(1)(x-1)+f(1)\Leftrightarrow y=-2(x-1)+2\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{y=-2x+4}}$
\end{enumerate}

\item %Ã‰tudier la position de chacune des courbes par rapport Ã&nbsp; la tangente $T$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Position de $T$ par rapport Ã&nbsp; $\mathscr{C}_f $ :\\
$\forall x\in\mathbb{R}$, $f(x)-(-2x+4)=3-x^2+2x-4=-x^2+2x-1\\
=-\left(x^2-2x+1\right)=\boxed{\textcolor{red}{-\left(x-1\right)^2\leqslant 0}}$.\\
Pour tout $x\in\mathbb{R}$, $f(x)-(-2x+4)\leqslant 0$ donc $\mathscr{C}_f$ est en dessous de la tangente $T$ en $A$.

\item Position de $T$ par rapport Ã&nbsp; $\mathscr{C}_fg$ :\\
$\forall x\neq 0$, $g(x)-(-2x+4)=\dfrac{2}{x}+2x-4=\dfrac{2x^2-4x+2}{x}\\
=\dfrac{2\left(x^2x+1\right)}{x}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2(x-1)^2}{x}}}$ qui est du signe de $x$, donc nÃ©gatif pour $x&lt;0$ et positif pour $x&gt;0$.\\
$\mathscr{C}_g$ est en dessous le tangente $T$ pour $x&lt;0$ et au-dessus pour $x&gt;0$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{multicols}


\hrule


\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}\textcolor{blue}{Triangle de Sierpinski}}%http://www.gymomath.ch/javmath/1_3option_spec/corrige_suites/CorrigÃ©%202.41.pdf
%Le triangle de Sierpinski (Waclaw Sierpinski, 1882-1969), dessinÃ© en 1915. est un exemple de fractale.\\
%Il peut Ãªtre construit en commenÃ§ant par un triangle Ã©quilatÃ©ral, de couleur bleue.\\
%On construit un triangle central, dont les sommets sont les milieux des cÃ´tÃ©s du triangle initial.\\ 
%Ainsi obtient-on quatre triangles Ã©quilatÃ©raux. On colorie en blanc le triangle central (voir figure).
%Chacun. des trois triangles restants est divisÃ© en quatre triangles Ã©quilatÃ©raux selon le mÃªme procÃ©dÃ©, puis on colorie en blanc chaque triangle central (voir figure).\\
%Lors de la troisiÃ¨me Ã©tape. neuf triangles sont coloriÃ©s en blanc. Si l'on poursuit ce processus Ã&nbsp; l'infini. on obtient le trianglc de Sierpinski, 

\begin{center}
\def\trianglewidth{2.5cm}%
\pgfdeclarelindenmayersystem{Sierpinski triangle}{
    \symbol{X}{\pgflsystemdrawforward}
    \symbol{Y}{\pgflsystemdrawforward}
    \rule{X -&gt; X-Y+X+Y-X}
    \rule{Y -&gt; YY}
}%
\foreach \level in {0,...,5}{%
\tikzset{
    l-system={step=\trianglewidth/(2^\level), order=\level, angle=-120}
}%
\begin{tikzpicture}
    \fill [cyan!50] (0,0) -- ++(0:\trianglewidth) -- ++(120:\trianglewidth) -- cycle;
    \draw [draw=none] (0,0) l-system
    [l-system={Sierpinski triangle, axiom=X},fill=white];
\end{tikzpicture}}
\end{center}




\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[a)]
\item %DÃ©terminer une suite gÃ©omÃ©trique $\left(a_n\right)$ qui donne le nombre de  triangles coloriÃ©s en blanc lors de la $n$-iÃ¨me Ã©tape. 
On note $a_n$ le nombre de triangles coloriÃ©s en blanc lors de la $n$-iÃ¨me Ã©tape.\\
On a : $a_1=1$ ; $a_2=3$ ; $a_3=9$ et, de maniÃ¨re plus gÃ©nÃ©rale, $a_{n+1}=3a_n$.

\item %Calculer le nombre de triangles coloriÃ©s en blanc lors de la quinziÃ¨me Ã©tape.
La suite $\left(a_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique, de premier terme $a_1=1$ et de raison $q=3$.\\
Par consÃ©quent : $a_n=a_1\times q^{n-1}=\boxed{\textcolor{red}{3^{n-1}}}$.\\
Alors : $a_{15}=1\times 3^{14}=\boxed{\textcolor{red}{3^{14}=\numprint{4782969}}}$.\\
Le nombre de triangles coloriÃ©s en blanc lors de la quinziÃ¨me Ã©tape est $\boxed{\textcolor{red}{\numprint{4782969}}}$.

\item% Calculer le nombre total de triangles coloriÃ©s en blanc aprÃ¨s quinze Ã©tapes.
Le nombre total de triangles coloriÃ©s en blanc aprÃ¨s quinze Ã©tapes est :\\
$a_1+a_2+\cdots+a-{15}=1+3+\cdots+3^{14}=\dfrac{3^{15}-1}{3-1}=\dfrac{3^{15}-1}{2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{7174453}}}$

\item %En supposant que le triangle de dÃ©part ait une surface de 1unitÃ©, . dÃ©terminer une suite $\left(b_n\right)$ qui donne la surface des piÃ¨ces coloriÃ©es en blanc lors de la $n$-iÃ¨me Ã©tape.\\
%Montrer que cette suite est une suite gÃ©omÃ©trique.
Notons $b_n$ la surface des triangles coloriÃ©s en blanc lors de la $n$-iÃ¨me Ã©tape.\\
On a : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $b_1=\dfrac{1}{4}$

\item $b_2=3\times \dfrac{1}{16}$ (car l'aire de chaque nouveau triangle coloriÃ© est celle du triangle de l'Ã©tape prÃ©cÃ©dente divisÃ©e par 4)

\item $b_3=9\times \dfrac{1}{64}$

\item Plus gÃ©nÃ©ralement : $b_n=a_n\times \dfrac{1}{4^n}=3^{n-1}\times \dfrac{1}{4^n}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1}}}$.\\
$\left(b_n\right)$ est une suite gÃ©omÃ©trique, de premier terme $b_1=\dfrac{1}{4}$ et de raison $q'=\dfrac{3}{4}$.
\end{enumerate}

\item %DÃ©terminer la surface coloriÃ©e en blanc lors de la septiÃ¨me Ã©tape.
Lors de la septiÃ¨me Ã©tape, la surface coloriÃ©e en blanc est $b_7=\dfrac{1}{4}\times \left(\dfrac{3}{4}\right)^7=\boxed{\textcolor{red}{\frac{729}{16384}\approx 0.045}}$ soit $\boxed{\textcolor{red}{4,45\:\%}}$

\item %DÃ©terminer la surface totale coloriÃ©e en blanc de la piÃ¨ce aprÃ¨s la  septiÃ¨me etape.
La surface totale coloriÃ©e en blanc de la piÃ¨ce aprÃ¨s la  septiÃ¨me Ã©tape est :\\
$b_1+b_2+\cdots+b_7=b_1\times \dfrac{1-q'^6}{1-q'}=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1-\left(\frac34\right)^7}{1-\frac34}\\
=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{14197}{16384}\approx 0.867}}$ soit environ  86,7\:\%.

\item %DÃ©terminer quelle proportion de I' aire du triangle de dÃ©part est encore bleue lorsque le nombre d'Ã©tapes tend vers l' infini. 
Au bout de $n$ Ã©tapes, la surface coloriÃ©e en blanc est :\\
$b_1+b_2+\cdots+b_n=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1-\left(\frac34\right)^n}{1-\frac34}=\boxed{\textcolor{red}{1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n}}$ qui tend vers 1 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.\\
La proportion de l'aire de dÃ©part qui reste en bleu tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.


\end{enumerate}


\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>