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% pour le pied de page central
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\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices sur les suites arithmétiques et géométriques}}\end{center}

%Source : https://cdn.website-editor.net/0017151f9ff140c59187af1a28e481fc/files/uploaded/Feuille%2520d%2527ex.%2520-%2520suites%2520arithm%2520et%2520ge%25CC%2581om.pdf




\section*{\textcolor{blue}{Suites arithmétiques}}

\subsection{}
Dans cet exercice, les suites sont toutes arithmétiques.

\begin{enumerate}
\item 1) On a $u_0 =4$ et $r=2$.%Déterminer $u_{35}$.
On sait que, pour tout $n$, $u_n=u_0+nr$ donc $u_{35}=u_0+35r=4+35\times 2=\boxed{\textcolor{red}{74}}$.

\item On a $u_1 =3$ et $r=-2$. %Déterminer $u_{17}$.
De même, $u_n=u_p+(n-p)r$ donc $u_{17}=u_1+16r=3+16\times (-2)=3-32=\boxed{\textcolor{red}{-29}}$.

\item On a $u_2 = 3$ et $u_{14} = 9$. %Déterminer la raison.
$u_{14}=u_2+12r$ donc $r=\dfrac{u_{14}-u_2}{12}=\dfrac{6}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$

\item On a $u_4=1$ et $u_9 =4$. %Déterminer $u_{21}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Calculons d'abord $r$ : $r=\dfrac{u_9-u_4}{5}=\dfrac{3}{5}$ (en calquant sur le calcul précédent).

\item Alors : $u_{21}=u_9+(21-9)r=4+12\times \dfrac{3}{5}=4+\dfrac{36}{5}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{56}{5}}}$
\end{enumerate}

\item On a $u_{100} =650$ et $r=8$. %Déterminer $u_0$.
$u_{100}=u_0+100r$ donc $u_0=u_{100}-100r=\boxed{\textcolor{red}{-150}}$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Suite arithmétique auxiliaire}}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 =0$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, \\
$u_{n+1}=\sqrt{5+u_n^2}$.\\
Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout $n\in\mathbb{N}$, par $v_n=u_n^2$.

\begin{enumerate}
\item % Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}^2=\sqrt{5+u_n^2}^2=5+u_n^2=5+v_n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=v_n+5}}$.\\
On en déduit que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{r=5}}$ et de premier terme $v_0=u_0^2=\boxed{\textcolor{red}{0}}$.

\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Pour tout $n$, $v_n=v_0+5n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_n=5n}}$.

\item %En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$v_n=u_n^2$ et $u_n\geqslant 0$ donc $u_n=\sqrt{v_n}=\sqrt{5n}$ : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\sqrt{5n}}}$

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Suite auxiliaire}}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2u_n+1}$.\\
On admet que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\neq 0$. (Remarque : cela se démontrerait par récurrence).\\
On définit  la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=\dfrac{1}{u_n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\begin{enumerate}
\item  %Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique, dont on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=\dfrac{1}{u_{n+1}}=\dfrac{2u_n+1}{u_n}=\dfrac{2u_n}{u_n}+\dfrac{1}{u_n}=2+\dfrac{1}{u_n}=2+v_n$.\\
Donc : $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=v_n+2}}$.\\
La suite $\left(v_n\right)$ est donc arithmétique, de raison $r=2$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0}=1$.

\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
On en déduit : $v_n=v_0+nr=1+2n$ dnc $\boxed{\textcolor{red}{v_n=2n+1}}$.

\item %En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$v_n=\dfrac{1}{u_n}$ donc, en calculant leurs inverses, $u_n=\dfrac{1}{v_n}$, donc, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{v_n=\dfrac{1}{2n+1}}}$

\item %Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : \\
%$0 < u_n \leqslant \dfrac{1}{3}$.
Cela ne se montre pas par récurrence mais directement.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_n=\dfrac{1}{2n+1}$ donc $u_n>0$ car $2n+1\geqslant 1$.

\item Pour tout $n$ non nul, $n\geqslant 1\Rightarrow 2n\geqslant 1\Rightarrow2n+1\geqslant 3\Rightarrow\dfrac{1}{2n+1}\leqslant \dfrac{1}{3}$ (car la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}$ est décroisante sur $]0~;~+\infty[$).\\

\end{enumerate}
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{0 < u_n \leqslant \dfrac{1}{3}}}$.

\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
Pour tout $n$, $u_{n+1}=\dfrac{1}{2(n+1)+1}=\dfrac{1}{2n+3}$ ; $2n+3>2n+1$ donc $\dfrac{1}{2n+3}<\dfrac{1}{2n+1}\Leftrightarrow u_{n+1}<u_n$.\\
$\left(u_n\right)$ est bien une suite décroissante.

\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{2}$ telle que \\
$u_1 = -1$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_{100}$.
$u_{100}=u_1+99r=-1+99\times \dfrac{1}{2}=-1+\dfrac{00}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{97}{2}}}$.

\item %Déterminer à partir de quel rang $N$ on a $u_N \geqslant  50$.
$u_n=u_1+(n_1)r=-1+\dfrac{n_1}{2}$.\\
$u_n\geqslant 50\Leftrightarrow -1+\dfrac{n-1}{2}\geqslant 50\Leftrightarrow \dfrac{n-1}{2}\geqslant 51\Leftrightarrow n-1\geqslant 102\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{n\geqslant 103}}$.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{N=103}}$.

\item %Calculer la somme $S = u_1 +u_2 +\cdots+u_{25}=\sum_{i=1}^{i=25}u_i$.
$S = u_1 +u_2 +\cdots+u_{25}=\sum_{i=1}^{i=25}u_i=25\times \dfrac{u_1+u_{25}}{2}=25\times \dfrac{-1+11}{2}=125$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{S=125}}$

\item %Calculer la somme $S’ = u_{26} + u_{27} +\cdots+ u_{50}=\sum_{i=26}^{i=50}u_i$.
Calculons : $S’ = u_{26} + u_{27} +\cdots+ u_{50}=\sum_{i=26}^{i=50}u_i$.\\
Cette somme contient 25 termes.\\
Donc $S'=25\times \dfrac{u_{26}+u_{50}}{2}=25\times \dfrac{\frac{23}2+\frac{47}2}{2}=\dfrac{875}{2}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{S'=\dfrac{875}{2}}}$

\end{enumerate}


\section*{\textcolor{blue}{Suites géométriques}}


\subsection{}
 Les suites suivantes sont-elles géométriques ? Si oui, préciser leur premier terme et leur raison. 
 
\begin{enumerate}[a)]
\item $u_ n=2^n$ ; pour tout $n$, $u_{n+1}=2^{n+1}=2\times 2^n=2u_n$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $q=2$ et de premier terme $u_0=1$.

\item $u_n =-4n$ : $u_{n+1}=-4(n+1)=-4n-4=u_n-4=u_n-4$ donc $\left(_n\right)$ est arithmétique, pas géométrique

\item $u_n =\dfrac{2^{n+1}}{3^n}$.\\
Pour tout $n$, $u_{n+1}=\dfrac{2^{n+2}}{3^n+1}=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{2^n+1}{3^n}=\dfrac{2}{3}u_n$ donc $\left(_n\right)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{2}{3}$ ey de premier terme $u_0=2$.
\end{enumerate}

\bigskip
\noindent \textbf{\textcolor{red}{Remarque}} : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\left(u_n\right)$ est arithmétique si, et seulement si, pour tout $n$, $u_n=an+b$ (fonction. affine de $n$, la raison est $a$ et le premier terme $b$)

\item $\left(u_n\right)$ est géométrique si, et seulement si, pour tout $n$, $u_n=a\times q^n$ ($q$ est alors la raison et $u_0=a$)
\end{enumerate}
\subsection{}
Dans cet exercice, toutes les suites sont géométriques.

\begin{enumerate}
\item On a $u_0 =8$ et $q=\dfrac{1}{2}$. Déterminer $u_7$.\\
$u_7=u_0q^7=8\times \left(\dfrac{1}{2}\right)^7=\dfrac{8}{128}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{16}}}$.

\item On a $u_1 =243$ et $q=\dfrac{1}{3}$. Déterminer $u_9$.\\
$u_n=u_pq^n-p$ donc $u_9=u_1q^8=243\times \left(\dfrac{1}{3}\right)^8=3^5\times \dfrac{1}{3^8}=\dfrac{1}{3^3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{27}}}$.

\item On a $u_1 = 12$ et $u_5 = \numprint{3072}$. %Déterminer les valeurs possibles pour $q$.`
$u_5=u_1q^4$ donc $q^4=\dfrac{u_5}{u_1}=\dfrac{3072}{122}=256$ donc $\boxed{\textcolor{red}{q=\pm 4}}$.
\end{enumerate}


\subsection{}
En 1999, un parking de 2000 places est construit.\\
On observe une fréquentation moyenne de 250 véhicules par jour en 1999 (calculée avec 365 jours par an).\\
Les spécialistes prévoient une augmentation moyenne de 10\:\% par an de la fréquentation moyenne quotidienne par rapport à
l’année précédente (cette prévision est vraie pour toutes les années).\\
On pose $f_0$ la fréquentation moyenne quotidienne en 1999, $f_n$ étant la fréquentation moyenne quotidienne de l’année 
$1999 + n$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f_1$ et $f_2$ .
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 10\:\% est $q=1+10\:\%=1,1$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f_1=1,1f_0=275$.

\item $f_2==1,1f_1\approx 303$.
\end{enumerate}


\item %Justifier que la suite $\left(f_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison $q$.
Pour tout $n$, $f_{n+1}=1,1f_n$ donc $\left(f_n\right)$ est géométrique de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=1,1}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{f_0=250}}$.

\item %Exprimer $f_n$ en fonction de $n$.
Pour tout $n$, $f_n=f_0q^n=\boxed{\textcolor{red}{250\times 1,1^n}}$.

\item %Calculer la fréquentation moyenne en 2018. On arrondira le résultat à l’entier près par excès.
La fréquentions est 2018 est $f_{19}=250\times 1,1^{19}\approx \numprint{1529}$

\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Suite auxiliaire}}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 =3$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\dfrac{4u_n -2}{u_n +1}$.

\begin{enumerate}


\item 

\begin{enumerate}
 \item %Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$ .
 \begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\boxed{\textcolor{red}{u_0=3}}$

\item $\boxed{\textcolor{red}{u_1=\dfrac{5}{2}}}$

\item $u_2=\dfrac{4\times \frac52-2}{\frac52+1}=\dfrac{8}{\frac72}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{16}{7}}}$
\end{enumerate}

\item% La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithmétique, géométrique ?
$u_1-u_0=-\dfrac{1}{2}$ et $u_2-u_1=\dfrac{16}{7}-\dfrac{5}{2}=-\dfrac{3}{14}\neq u_1-u_0$ donc la suite 'est pas arithmétique.\\
$\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{5}{6}$ et $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{32}{35}\neq \dfrac{u_1}{u_0}$ donc la suite n'est pas géométrique.

\end{enumerate}

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout $n\in\mathbb{N}$, par $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n-1}$.\\
On admet que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n>1$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $v_0$ ,$v_1$ et $v_2$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $v_0=\dfrac{1}{2}$

\item $v_1=\dfrac{\frac12}{\frac32}==\dfrac{1}{3}$

\item $v_2=\dfrac{\frac27}{\frac97}=\dfrac{2}{9}$
\end{enumerate}

\item %Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ?
Pour tout $n$, $v_ {n+1}=\dfrac{u_{n+1}-2}{u_{n+1}-1}=\dfrac{\frac{4u_n-2}{u_n+1}-2}{\frac{4u_n-2}{u_n+1}-1}=\dfrac{\frac{2u_n-2}{u_n+1}}{\frac{3u_n-3}{u_n+1}}=\dfrac{2u_n-4}{3u_n-3}=\dfrac{2\left(u_n-2\right)}{3\left(u_n-1\right)}=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{u_n-2}{u_n-1}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}v_n}}$.\\
La suite $\left(v_n\right)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=\dfrac{2}{3}}}$ et de premier terme $\boxed{\textcolor{red}{v_0=\dfrac{1}{2}}}$.

\end{enumerate}

\item %Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{v_n=\dfrac{1}{2}\times \left(\dfrac{2}{3}\right)^n}}$.

\bigskip

$v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n-1}\Leftrightarrow v_nu_n-v_n=u_n-2\Leftrightarrow v_nu_n-u_n=v_n-2\Leftrightarrow u_n\left(v_n-1\right)=v_n-2\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{v_n-2}{v_n-1}}}$.\\
En remplaçant : $\boxed{\textcolor{red}{u_n=\dfrac{\dfrac{1}{2}\times \left(\frac{2}{3}\right)^n-2}{\dfrac{1}{2}\times \left(\frac{2}{3}\right)^n-1}}}$

\end{enumerate}



 
\label{fin}
\end{document}   
