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\begin{document}
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\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices sur les suites arithmétiques et géométriques}}\end{center}

%Source : https://cdn.website-editor.net/0017151f9ff140c59187af1a28e481fc/files/uploaded/Feuille%2520d%2527ex.%2520-%2520suites%2520arithm%2520et%2520ge%25CC%2581om.pdf




\begin{multicols}{2}
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\section*{\textcolor{blue}{Suites arithmétiques}}

\subsection{}
Dans cet exercice, les suites sont toutes arithmétiques.

\begin{enumerate}
\item 1) On a $u_0 =4$ et $r=2$. Déterminer $u_{35}$.

\item On a $u_1 =3$ et $r=-2$. Déterminer $u_{17}$.

\item On a $u_2 = 3$ et $u_{14} = 9$. Déterminer la raison.

\item On a $u_4=1$ et $u_9 =4$. Déterminer $u_{21}$.

\item On a $u_{100} =650$ et $r=8$. Déterminer $u_0$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Suite arithmétique auxiliaire}}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 =0$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, \\
$u_{n+1}=\sqrt{5+u_n^2}$.\\
Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout $n\in\mathbb{N}$, par $v_n=u_n^2$.

\begin{enumerate}
\item 1) Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique.

\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

\item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Suite auxiliaire}}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2u_n+1}$.\\
On admet que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\neq 0$. (Remarque : cela se démontrerait par récurrence).\\
On définit  la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n=\dfrac{1}{u_n}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite arithmétique, dont on précisera la raison et le premier terme.

\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.

\item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul : \\
$0 < u_n \leqslant \dfrac{1}{3}$.

\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.

\end{enumerate}


\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique de raison $\dfrac{1}{2}$ telle que \\
$u_1 = -1$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_{100}$.

\item Déterminer à partir de quel rang $N$ on a $u_N \geqslant  50$.

\item Calculer la somme $S = u_1 +u_2 +\cdots+u_{25}=\sum_{i=1}^{i=25}u_i$.

\item Calculer la somme $S’ = u_{26} + u_{27} +\cdots+ u_{50}=\sum_{i=26}^{i=50}u_i$.

\end{enumerate}


\section*{\textcolor{blue}{Suites géométriques}}


\subsection{}
 Les suites suivantes sont-elles géométriques ? Si oui, préciser leur premier terme et leur raison. 
 
\begin{enumerate}[a)]
\item $u_ n=2^n$

\item $u_n =-4n$

\item $u_n =\dfrac{2^{n+1}}{3^n}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Dans cet exercice, toutes les suites sont géométriques.

\begin{enumerate}
\item On a $u_0 =8$ et $q=\dfrac{1}{2}$. Déterminer $u_7$.

\item On a $u_1 =243$ et $q=\dfrac{1}{3}$. Déterminer $u_9$

\item On a $u_1 = 12$ et $u_5 = \numprint{3072}$. Déterminer les valeurs possibles pour $q$.
\end{enumerate}


\subsection{}
En 1999, un parking de 2000 places est construit.\\
On observe une fréquentation moyenne de 250 véhicules par jour en 1999 (calculée avec 365 jours par an).\\
Les spécialistes prévoient une augmentation moyenne de 10\:\% par an de la fréquentation moyenne quotidienne par rapport à
l’année précédente (cette prévision est vraie pour toutes les années).\\
On pose $f_0$ la fréquentation moyenne quotidienne en 1999, $f_n$ étant la fréquentation moyenne quotidienne de l’année 
$1999 + n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $f_1$ et $f_2$ .


\item Justifier que la suite $\left(f_n\right)$ est une suite géométrique dont on donnera la raison $q$.

\item Exprimer $f_n$ en fonction de $n$.

\item Calculer la fréquentation moyenne en 2018. On arrondira le résultat à l’entier près par excès.

\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Suite auxiliaire}}

Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 =3$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} =\dfrac{4u_n -2}{u_n +1}$.

\begin{enumerate}


\item 

\begin{enumerate}
 \item Calculer $u_0$, $u_1$ et $u_2$ .

\item La suite $\left(u_n\right)$ est-elle arithmétique, géométrique ?
\end{enumerate}

Soit $\left(v_n\right)$ la suite définie, pour tout $n\in\mathbb{N}$, par $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n-1}$.\\
On admet que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n>1$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $v_0$ ,$v_1$ et $v_2$.

\item Quelle est la nature de la suite $\left(v_n\right)$ ?
\end{enumerate}

\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. En déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.

\end{enumerate}


\end{multicols}
 
\label{fin}
\end{document}   
