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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Enseignement de spécialité : contrôle (récurrence ; suites) sur 20 points}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par :$\begin{cases}u_0=5\\u_{n+1}=-2u_n+6,\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}.$
\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$.
$u_1=-2u_0+6=-2\times 5+6=-4$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_1=-4}}$

\item %Démontrer, par récurrence, que pout tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=2+3\times (-2)^n$.
Soit $\mathscr{P}_n$ la propriété : \og{}$u_n=2+3\times (-2)^n$\fg{}.\\
Effectuons une démonstration par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : au rang $n=0$ : $2+3\times (-2)^0=2+3\times 1=5=u_0$ donc $\mathscr{P}_0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose $\mathscr{P}_n$ vraie pour un entier $n$ quelconque, donc $u_n=2+3\times (-2)^n$ (hypothèse de récurrence).\\
Alors : $u_{n+1}=-2u_n+6=-2\left(2+3\times (-2)^n\right)+6=-4+3\times (-2)\times (-2)^n+6=\boxed{\textcolor{red}{2+3\times (-2)^{n+1}}}$, ce qu'il fallait démontrer.\\
La propriété $\mathscr{P}_n$ est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, $\mathscr{P}_n$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
%Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $4^n-1$ est divisible par 3.
Soit $\mathscr{P}_n$ la propriété : \og{}$4^n-1=3k_n,~n\in\mathbb{Z}$\fg{}.\\
Démontrons cette propriété par récurrence.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}} : $4^0-1=1-1=0=3k_0$ avec $k_0=0\in\mathbb{Z}$, donc $\mathscr{P}_0$ est vraie.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}} : on suppose $\mathscr{P}_n$ vraie pour un entier $n$ quelconque, donc $4^n-1=3k_n$ (hypothèse de récurrence).\\
Alors $4^{n+1}-1=4\times 4^n-1=4\times \left(3k_n+1\right)-1=3\times 4k_n+3=3\left(4k_n+1\right)=3k_ {n+1}$ en posant $k_{n+1}=4k_n+1\in\mathbb{Z}$.\\
$\mathscr{P}_{n+1}$ est vraie.\\
La propriété $\mathscr{P}_n$ est héréditaire.
\end{enumerate}
D'après l'axiome de récurrence, $\mathscr{P}_n$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=-5$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+n^2+1$.\\
%Étudier les variations de cette suite.
Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=n^2+1>0$ donc la suite $\left(_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.



\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
%Rappeler la définition d'une suite arithmétique.
C'est du cours !

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
%Calculer la somme $S=1+3+5+7+\cdots+195+197+199$.
Soit la somme $S=1+3+5+7+\cdots+195+197+199$.\\
On reconnait la somme des premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme $u_0=11$ et de raison $r=2$.\\
Le dernier terme est $u_N=2N+1=199$ donc $N=\dfrac{199-1}{2}=99$.\\
Alors : $S=(N+1)\left(\dfrac{u_0+u_N}{2}\right)=100\times \dfrac{1+199}{2}=100\times \dfrac{200}{2}=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{10000}}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(4,5 points)}}

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=5$ et de raison $r=3$. %Calculer $u_{20}$.
$u_n=u_0+nr$ donc $u_{20}=u_0+20r=5+20\times 3=65$ ; $\boxed{\textcolor{red}{u_{20}=65}}$.

\item $\left(u_n\right)$ est la suite arithmétique telle que $u_{12}=6$ et $u_{21}=9$.\\
%Calculer $u_{14}$.
$u_{21}=u_{12}+(21-12)r=u_{12}+9r$ donc $r=\dfrac{u_{21}-u_{12}}{9}=\dfrac{9-6}{9}=\dfrac{1}{3}$.\\
La raison de cette suite est $\boxed{\textcolor{red}{r=\dfrac{1}{3}}}$.\\
Alors : $u_{14}=u_{12}+2r=6+2\times \dfrac{1}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{20}{3}}}$.

\item $\left(u_n\right)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0=5$ et de raison $r=3$.\\
%Calculer $S=u_3+u_4+\cdots+u_{128}$.
Calculons $S=u_3+u_4+\cdots+u_{128}$.\\
Le nombre de termes dans cette somme $S$ est $128-3+1=126$.\\
Alors : $S=126\times \dfrac{u_3=u_{128}}{2}$.\\
Or : $u_3=u_0+3r=5+3\times 3=14$.\\
$u_{128}=u_0+128r=5+3\times 128=389$.\\
D'où : $S=126\times \left(\dfrac{14+389}{2}\right)=63\times 403=\numprint{25389}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{S=\numprint{25389}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $\begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=4-\dfrac{4}{u_n}\end{cases}$.\\
On admet que, pour tout $n$, $u_n\neq 2.$\\
Pour tout $n$, on pose $v_n=\dfrac{1}{u_n-2}$.
\begin{enumerate}
\item %Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2}$.
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{u_{n+1}-2}-\dfrac{1}{u_n-2}=\dfrac{1}{4-\frac4{u_n}-2}-\dfrac{1}{u_n-2}=\dfrac{1}{2-\frac4{u_n}}-\dfrac{1}{u_n-2}\\
=\dfrac{1}{\frac{2u_n-4}{u_n}}-\dfrac{1}{u_n-2}=\dfrac{u_n}{2u_n-4}-\dfrac{1}{u_n-2}=\dfrac{u_n-2}{2\left(u_n-2\right)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2}}}$.\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2}}}$.

\item %En déduire que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique ; on précisera son premier terme et sa raison.
On en déduit que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique, de raison $r=\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $v_0=\dfrac{1}{u_0-2}=1$.

\item %En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
On en déduit que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=v_0+nr=1+\dfrac{n}{2}=\dfrac{n+2}{2}$.

\item %Donner alors l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
$v_n=\dfrac{1}{u_n-2}\Leftrightarrow u_n-2=\dfrac{1}{v_n}$ donc $u_n=2+\dfrac{1}{v_n}=2+\dfrac{2}{n+2}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2n+6}{n+2}}}$.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  