\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Enseignement de spécialité : contrôle (récurrence ; suites) sur 20 points}}\end{center}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par :$\begin{cases}u_0=5\\u_{n+1}=-2u_n+6,\text{ pour tout }n\in\mathbb{N}\end{cases}.$
\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.

\item Démontrer, par récurrence, que pout tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n=2+3\times (-2)^n$.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $4^n-1$ est divisible par 3.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0=-5$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=u_n+n^2+1$.\\
Étudier les variations de cette suite.



\subsection{\textcolor{blue}{(1 point)}}
Rappeler la définition d'une suite arithmétique.

\subsection{\textcolor{blue}{(2,5 points)}}
Calculer la somme $S=1+3+5+7+\cdots+195+197+199$.

\subsection{\textcolor{blue}{(4,5 points)}}

\begin{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite arithmétique de premier terme $u_0=5$ et de raison $r=3$. Calculer $u_{20}$.

\item $\left(u_n\right)$ est la suite arithmétique telle que $u_{12}=6$ et $u_{21}=9$.\\
Calculer $u_{14}$.

\item $\left(u_n\right)$ est la suite arithmétique de premier terme $u_0=5$ et de raison $r=3$.\\
Calculer $S=u_3+u_4+\cdots+u_{128}$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(4 points)}}
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $\begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=4-\dfrac{4}{u_n}\end{cases}$.\\
On admet que, pour tout $n$, $u_n\neq 2.$.\\
Pour tout $n$, on pose $v_n=\dfrac{1}{u_n-2}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2}$.

\item En déduire que la suite $\left(v_n\right)$ est arithmétique ; on précisera son premier terme et sa raison.

\item En déduire l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.

\item Donner alors l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  