\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
%\usepackage{ProfCollege,ProfLycee}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 24cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de type bac sur ls intégrales}}\end{center}


\subsection{}%https://jaicompris.com/lycee/math/fonction/integrale/integrale_exercice_bac.php


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

Pour tout entier naturel $n$, on pose : \[u_n=\int_0^1\dfrac{1}{1+x^n}\text{ d}x.\]
$f_n$ désigne la fonction définie sur [0~;~1) par \[f_n(x)=\dfrac{1}{1+x^n}.\]
$\mathscr{C}_n$ désigne la courbe de $f_n$.\\
On a tracé $\mathscr{C}_0$, $\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_2$, $\mathscr{C}_3$et $\mathscr{C}_4$ dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}[1)]
\item  À l'aide du graphique, conjecturer le sens de variation de $\left(u_n\right)$.

\item Déterminer le sens de variation de $\left(u_n\right)$ par un calcul.

\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, et tout $x \in [0~;~1]$ : \[\dfrac{1}{1+x^n}\leqslant 1.\]

\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.

\end{enumerate}
\columnbreak

\begin{center}
\psset{unit=5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-.2,-.2)(1.2,1.2)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=.2,Dy=.2]{->}(0,0)(0,0)(1,1)
\psgrid[subgriddiv=5,gridlabels=0](0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=2pt]{0}{1}{1/(2)}
\psplot[linewidth=2pt]{0}{1}{1/(1+x)}
\psplot[linewidth=2pt]{0}{1}{1/(1+x^2)}
\psplot[linewidth=2pt]{0}{1}{1/(1+x^3)}
\psplot[linewidth=2pt]{0}{1}{1/(1+x^4)}
\uput[d](.2,.5){$\mathscr{C}_0$}
\uput[d](.2,.83){$\mathscr{C}_1	$}
\uput[d](.4,.86){$\mathscr{C}_2$}
\uput[d](.5,.89){$\mathscr{C}_3$}
\uput[u](.6,.885){$\mathscr{C}_4$}
\end{pspicture}

\end{center}


\end{multicols}

\subsection{}%https://jaicompris.com/lycee/math/fonction/integrale/integrale_exercice_bac.php
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par  $f(x)=\int_1^x\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}\text{ d}t$.
.
\begin{enumerate}[1)]
\item  Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, $f'(x)$ puis les variations de $f$.

\item En déduire le tableau de signe de $f(x)$.

\item Démontrer que pour tout réel $t\in]0~;~+\infty[$ , $\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}\geqslant \dfrac{1}{t}$.

\item Déduire du 3) que pour tout $x\in[1~;~+\infty[$, $f(x)\geqslant \ln(x)$.

\item Déduire du 3) que pour tout $x\in]0~;~1]$, $f(x)\leqslant \ln(x)$.

\item En déduire $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}f(x)$.
.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  