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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction des exercices de type bac sur ls intégrales}}\end{center}


\subsection{}%https://jaicompris.com/lycee/math/fonction/integrale/integrale_exercice_bac.php


Pour tout entier naturel $n$, on pose : \[u_n=\int_0^1\dfrac{1}{1+x^n}\text{ d}x.\]
$f_n$ désigne la fonction définie sur [0~;~1) par \[f_n(x)=\dfrac{1}{1+x^n}.\]
$\mathscr{C}_n$ désigne la courbe de $f_n$.\\
On a tracé $\mathscr{C}_0$, $\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_2$, $\mathscr{C}_3$et $\mathscr{C}_4$ dans un repère orthonormé.

\begin{enumerate}[1)]
\item  %À l'aide du graphique, conjecturer le sens de variation de $\left(u_n\right)$.
$u_n$ représente l'aire de la partie du plan comprise entre l'axe des abscisses, la courbe $\mathscr{C}_n$, la droite d'équation $x=0$ et celle d'équation $x=1$.\\
On conjecture alors que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

\item %Déterminer le sens de variation de $\left(u_n\right)$ par un calcul.
Pour tout $n$ : \\
\begin{align*}
u_ {n+1}-u_n&=\int_0^1\dfrac{1}{1+x^{n+1}}\text{ d}x-\int_0^1\dfrac{1}{1+x^n}\text{ d}x\\
&=\int_0^1\left[\dfrac{1}{1+x^{n+1}}-\dfrac{1}{1+x^n}\right]\text{ d}x\text{ (par linéarité)}\\
&=\int_0^1\dfrac{1+x^n-1-x^{n+1}}{\left(1+x^{n+1}\right)\left(1+x^n\right)}\text{ d}x\\
&=\int_0^1\dfrac{x^n-x^{n+1}}{\left(1+x^{n+1}\right)\left(1+x^n\right)}\\
&=\int_0^1\dfrac{x^n(1-x)}{\left(1+x^{n+1}\right)\left(1+x^n\right)}.\\
\end{align*}
$\forall x\in[0~;~1]$, $x^n\geqslant 0$, $\left(1+x^{n+1}\right)\left(1+x^n\right)\geqslant 0$ et $1-x\geqslant 0$.
$u_ {n+1}-u_n$ est l'intégrale d'une fonction positive , donc par positivité, c'est un nombre positif.\\
On en déduit que la suite $\left(u_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{croissante}}.

\item %Démontrer que pour tout entier naturel $n$, et tout $x \in [0~;~1]$ : \[\dfrac{1}{1+x^n}\leqslant 1.\]
$\forall x\in[0~;~1]$, $x^n\geqslant 0\Rightarrow 0\leqslant 1+x^n\geqslant 1\Rightarrow0\leqslant \dfrac{1}{1+x^n}\leqslant 1\Rightarrow0\leqslant u_n=\int_0^1\dfrac{1}{1+x^n}\text{ d}x\leqslant \int_0^11\text{ d}x=1$.\\
Donc, pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_n\leqslant 1}}$

\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
La suite $\left(u_n\right)$ est croissante et majorée par 1 ; elle est \textbf{\textcolor{red}{convergente}}, d'après le théorème de convergence monotone.

\end{enumerate}

\newpage



\subsection{}%https://jaicompris.com/lycee/math/fonction/integrale/integrale_exercice_bac.php
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par  $f(x)=\int_1^x\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}\text{ d}t$.
.
\begin{enumerate}[1)]
\item  %Justifier que $f$ est définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$, $f'(x)$ puis les variations de $f$.
$f$ est clairement définie sur $]0~;~+\infty[$ car $t\neq 0$ sur cet intervalle.\\
$f$ est dérivable sur cet intervalle comme quotient de fonctions dérivables.\\
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Remarque}}
Notons $g$ une fonction définie et continue sur $]0~;~+\infty$ dont une primitive est $G$.\\
Soit $f(x)=\int_1^xg(t)\text{ d}t$. Par propriété, $f(x)=G(x)-G(1)$.\\
Alors : $f'(x)=G'(x)-0$ car $G(1)$ est une constante et $G'(x)=g(x)$ donc $f'(x)=g(x)$.\\
$f$ est donc une primitive de $g$.
\end{bclogo}
Ici, on a $g(t)=\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}$ donc $f'(x)=g(x)=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}}}$

\item %En déduire le tableau de signe de $f(x)$.
$\forall x\in]0~;~+\infty[$, $\dfrac{\mathrm{e}^{x}}{x}>0$ donc $f'(x)\geqslant 0$.\\
Alors : $f$ est croissante sur $]0~;~+\infty[$.\\
Remarque : $f(1)=\int_1^1\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}\text{ d}t$ donc $f(1)=0$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation et de signes}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&&0&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&\bb&&&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\bb&&\cb&\m{0}&\ch&\\
\hline
f(x)&\bb&&-&\z&+&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item %Démontrer que pour tout réel $t\in]0~;~+\infty[$ , $\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}\geqslant \dfrac{1}{t}$.
$\forall t\in]0~;~+\infty[$, $\mathrm{e}^{t}\geqslant 1$ donc, en divisant par $t\geqslant 0$, $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}\geqslant \dfrac{1}{t}}}$

\item %Déduire du 3) que pour tout $x\in[1~;~+\infty[$, $f(x)\geqslant \ln(x)$.
Par comparaison, en en déduit : \\
$\int_1^x\dfrac{\mathrm{e}^{t}}t{\text{ d}t}\geqslant \int_1^x\dfrac{1}{t}\text{ d}t\iff f(x)\geqslant \left[\ln(t)\right]_1^x=\ln(x)$.\\
Donc : pour tout $x\in]1~;~+\infty[$, $\boxed{\textcolor{red}{f(x)\geqslant \ln(x)}}$.

\item %Déduire du 3) que pour tout $x\in]0~;~1]$, $f(x)\leqslant \ln(x)$.
On suppose que $x\in]0~;~1]$.\\
On a toujours : $\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}\geqslant \dfrac{1}{t}$.\\
\danger : Pour appliquer la conservation de l'ordre avec les intégrales, il faut que la borne inférieure de l'intégrale soit inférieur à l'autre borne.\\
Donc : $\int_x^1\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}\text{ d}t\leqslant \int_x^1\dfrac{1}{t}\text{ d}t\\
\iff -\int_1^x\dfrac{\mathrm{e}^{t}}{t}\text{ d}t\leqslant -\int_1^x\dfrac{1}{t}\text{ d}t\iff -f(x)\geqslant -\ln(x)\iff \boxed{\textcolor{red}{f(x)\leqslant \ln(x)}}$

\item %En déduire $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}f(x)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Pour $x\geqslant 1$, $f(x)\geqslant \ln(x)$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln(x)=+\infty$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty}}$

\item Pour $0<x\leqslant 1$, $f(x)\leqslant \ln(x)$ et $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\ln(x)=-\infty$, donc, par comparaison, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}f(x)=-\infty}}$
\end{enumerate}
.

\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  