\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint} \usepackage[dvips]{color} \usepackage[tikz]{bclogo} \usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl} \usepackage[francais]{babel} \everymath{\displaystyle} %\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref} \textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset -1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt \renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} \renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} \pagestyle{fancy} % pour le pied de page central \cfoot{Page \thepage/2} \begin{document} %\tableofcontents \begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de baccalauréat sur la fonction logarithme }}\end{center} \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{1pt} \setlength{\columnsep}{2 cm} \subsection{\textcolor{blue}{Centres étrangers mai 2022 sujet 2}} Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par \[f(x) = x\ln (x) + 1\] On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $0$ ainsi que sa limite en $+\infty$.\index{limite de fonction} \item \begin{enumerate} \item On admet que $f$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et on notera $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que pour tout réel $x$ strictement positif : \[f'(x) = 1 + \ln (x).\]\index{dérivée} \item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0~;~ +\infty[$. On y fera figurer la valeur exacte de l'extremum de $f$ sur $]0~;~ +\infty[$ et les limites.\index{tableau de variations} \item Justifier que pour tout $x \in ]0~;~1[,\:f(x) \in ]0~;~1[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $(T)$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse 1.\index{equation de tangente@équation de tangente} \item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.\index{convexité} \item En déduire que pour tout réel $x$ strictement positif :\[f(x) \geqslant x\] \end{enumerate} \item On définit la suite $\left(u_n\right)$ par son premier terme $u_0$ élément de l'intervalle ]0~;~1[ et pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = f\left(u_n\right)\] \begin{enumerate} \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, on a : $0 < u_n < 1$.\index{récurrence} \item Déduire de la question 3. c. la croissance de la suite $\left(u_n\right)$. \item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.\index{convergence de suite} \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{Asie mai 2022 sujet 1}} Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On considère les points A(1~;~3) et B(3~;~5). On donne ci-dessous $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal du plan, ainsi que la tangente (AB) à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A. \medskip \begin{center} \psset{unit=0.7cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-7,-2.25)(8,6.25) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-7,-2.25)(8,6.25) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{8}{x dup mul 1 add ln 3 add 2 ln sub} \psplot[linestyle=dashed]{-7}{8}{x 2 add} \uput[dr](1,3){A}\uput[ul](3,5){B} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](1,3)(3,5) \uput[d](-5.5,5.75){\red $\mathcal{C}_f$} \end{pspicture*} \end{center} \emph{Les trois parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.} \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Partie A}} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$.\index{lecture graphique} \item La fonction $f$ est définie par l'expression $f(x) = \ln \left(ax^2 + 1\right) + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels positifs.\index{fonction logarithme} \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression de $f'(x)$.\index{dérivée} \item Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ à l'aide des résultats précédents. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Partie B}} \medskip On admet que la fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2).\] \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que $f$ est une fonction paire.\index{fonction paire} \item Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $-\infty$.\index{limite de fonction} \item Déterminer l'expression de $f'(x)$.\index{dérivée} Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. Dresser le tableau des variations de $f$ en y faisant figurer la valeur exacte du minimum ainsi que les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.\index{tableau de variations} \item À l'aide du tableau des variations de $f$, donner les valeurs du réel $k$ pour lesquelles l'équation $f(x) = k$ admet deux solutions.\index{valeurs intermédiaires} \item Résoudre l'équation $f(x) = 3 + \ln 2$.\index{equation@équation} \end{enumerate} \newpage \textbf{\textcolor{red}{Partie C}} On rappelle que la fonction $f$ est définie sur $R$ par $f(x) = \ln \left(x^2 + 1\right) + 3 - \ln (2)$. \begin{enumerate} \item Conjecturer, par lecture graphique, les abscisses des éventuels points d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.\index{lecture graphique} \item Montrer que, pour tout nombre réel $x$, on a : $f''(x) = \dfrac{2\left(1 - x^2\right)}{\left(x^2 + 1\right)^2}$.\index{dérivée seconde} \item En déduire le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.\index{convexité} \end{enumerate} \subsection{\textcolor{blue}{Antilles-Guyane juin 2017}} Dans tout l'exercice, $n$ désigne un entier naturel strictement positif. Le but de l'exercice est d'étudier l'équation \[\left(E_n\right) : \qquad \dfrac{\ln (x)}{x} = \dfrac{1}{n}\] ayant pour inconnue le nombre réel strictement positif $x$. \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Partie A}} \medskip Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par \[f(x) = \dfrac{\ln (x)}{x}.\] On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$. On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal. \begin{center} \psset{xunit=0.5cm,yunit=20cm,comma=true} \begin{pspicture*}(-2,-0.15)(14,0.4) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(-2,-0.15)(14,0.4) \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(14,0.4) \psline(-2,0.2)(14,0.2) \psline(-2,0.25)(14,0.25) \psline(-2,0.333)(14,0.333) \uput[u](11,0.333){$y=\dfrac{1}{3}$} \uput[u](11,0.25){$y=\dfrac{1}{4}$} \uput[d](5,0.2){$y=\dfrac{1}{5}$} \psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.8}{14}{x ln x div} \uput[r](1,-0.1){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture*} \end{center} \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $f$. \item Déterminer son maximum. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\textcolor{red}{Partie B}} \medskip \begin{enumerate} \item Montrer que, pour $n \geqslant 3$, l'équation $f(x) = \dfrac{1}{n}$ possède une unique solution sur [1~;~e] notée $\alpha_n$. \item D'après ce qui précède, pour tout entier $n \geqslant 3$, le nombre réel $\alpha_n$ est solution de l'équation $\left(E_n\right)$. \begin{enumerate} \item Sur le graphique sont tracées les droites $D_3$, $D_4$ et $D_5$ d'équations respectives :\\ $y= \dfrac{1}{3}$, $y= \dfrac{1}{4}$, $y= \dfrac{1}{5}$. Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(\alpha_n\right)$. \item Comparer, pour tout entier $n \geqslant 3$, $f\left(\alpha_n\right)$ et $f\left(\alpha_{n+1}\right)$. Déterminer le sens de variation de la suite $\left(\alpha_n\right)$. \item En déduire que la suite $\left(\alpha_n\right)$ converge. \index{suite} \emph{Il n'est pas demandé de calculer sa limite.} \end{enumerate} \item On admet que, pour tout entier $n \geqslant 3$, l'équation $\left(E_n\right)$ possède une autre solution $\beta_n$ telle que \[1 \leqslant \alpha_n \leqslant \text{e} \leqslant \beta_n.\] \begin{enumerate} \item On admet que la suite $\left(\beta_n\right)$ est croissante. Établir que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 3, \[\beta_n \geqslant n\dfrac{\beta_3}{3}.\] \item En déduire la limite de la suite $\left(\beta_n\right)$.\index{limite de suite} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{multicols} \label{fin} \end{document}