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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité Terminale : contrôle (fonctions, suites)}}\end{center}

\subsection{}
Étudier les variations des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}[a) ]
%\item $f(x)=x^3+3x-5$ sur $\mathbb{R}$.

\item $f(x)=x^3+x^2-5x$ sur $\mathbb{R}$

\item $h(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$.

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2-12x+27}{x^2-4x+5}$.
\begin{enumerate}
\item Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?

\item Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.\\
On précisera les extrema locaux.
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que : $u_{0}=3\text{ et }u_0+u_1+\cdots+u_{15}=768$.\\
Calculer la raison de cette suite.

\subsection{}%Bac ES Liban mai 2013 (extrait)
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n,$

\[ u_{n+1} = 0,9u_{n} + 1,2.\]
 
\begin{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n} = u_{n} - 12$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison. 
		\item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n,\: u_{n} = 12 - 2 \times  0,9^n$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_{n}\right)$ et en déduire celle de la suite $\left(u_{n}\right)$.
\end{enumerate}

\subsection{}%Odyssée
La suite $\left(u_n\right)$ est définie sur $\mathbb{N}^*$ par : $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$.

\item Quelle est la limite de $\left(u_n\right)$ ?
\end{enumerate}

\item La suite $\left(v_n\right)$ est définie par $v_n=\dfrac{u_1+u_2+\cdots+u_n}{\sqrt{n}}$.\\
Quelle est la limite de $\left(v_n\right)$ ?

\end{enumerate}


\subsection{}%Bac S Pondichéry avril 2017
On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$   :\:  $u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ; 
\item[$\bullet~~$] la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.
\end{itemize}

\bigskip 

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A : Conjectures}}

\medskip 

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &A   			&B   	&C\\ \hline  
1 &rang $n$	&terme $u_n$&terme $v_n$\\ \hline    
2 &0   			& 1    	&1 \\ \hline     
3 &1   			&5     	&2\\ \hline      
4 &2   			&12    	&4\\ \hline      
5 &3   			&25    	&8 \\ \hline     
6 &4   			&50    	&16\\ \hline 
\end{tabularx}     
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ? 
\item Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textsc{}}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
12   &10   	&\np{3080}   &\np{1024} \\ \hline     
13   &11   	&\np{6153}   &\np{2048} \\ \hline     
14   &12   	&\np{12298}  &\np{4096}\\ \hline      
15   &l3    &\np{24587}  &\np{8192}\\ \hline      
\end{tabularx}     
\end{center}

Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.\index{limite de suite} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{blue}{\textbf{Partie B : Étude de la suite} \boldmath $\left(u_n\right)$}\unboldmath

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a \index{récurrence}

$u_n = 3 \times  2^n + n - 2$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. \index{limite de suite}
\item Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{blue}{\textbf{Partie C : Étude de la suite } \boldmath$\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$} \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang 3. 
\item On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal  à 4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$. 

Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$.\index{limite de suite} 
\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  