\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité Terminale : correction du contrôle (fonctions, suites)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}
Étudier les variations des fonctions suivantes :

\begin{enumerate}[a) ]
\item $f(x)=x^3+x^2-5x$ sur $\mathbb{R}$.\\
$f'(x)=3^2+2x-5$.\\
$\Delta=64>0$ ; ce trinôme a deux racines : $x_1=-\dfrac53$ et $x_2=1$.\\
Il est du signe de 3, donc positif, à l'extérieur des racines.\\
On en déduit le tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac53&&1&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&&\d&-2&\c&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item $h(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$.\\
$h'(x)=2x-\dfrac1{x^2}=\dfrac{2x^3-1}{x^2}$.\\
$2x^3-1$ s'annule pour $x^3=\frac12$, donc pour $x=\sqrt[3]{\dfrac12}$\\
La fonction $\mapsto x^3$ est croissante donc $h'(x)<0$ pour $x<\sqrt[3]{\dfrac12}$.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&&0&&&\sqrt[3]{\dfrac12}&&\pI\\
\hline
h'(x)&&-&&\bb&&&\z&+&\pI\\
\hline
\m{h(x)}&&\d&&\bb&&\d&\approx1,89&\c&\\
\hline
\end{variations}

\end{center}
\end{enumerate}

\subsection{}
Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^2-12x+27}{x^2-4x+5}$.
\begin{enumerate}
\item %Quel est l'ensemble de définition de $f$ ?
Le dénominateur est un polyynôme du second degré ; $\Delta=(-4)^2-4\times 1\times 5=16-20=-4<0$.\\
On en déduit que ce polynôme ne s'annule pas, donc l'ensemble de définition de $f(x)$ est $\mathbb{R}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}}}$.

\item %Étudier les variations de $f$ et dresser son tableau de variation.\\
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme quotient de fonctions dérivables.
%On précisera les extrema locaux.
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=x^2-12x+27\\v(x)=x^2-4x+5\end{cases}$.\\
$f'=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)=22x-12\\v'(x)=2x-4\end{cases}$.\\
On en déduit que : \\
$f'(x)==\dfrac{(2x-12)\left(x^2-4x+5\right)-(22x-4)\left(x^2-12x+27\right)}{\left(x^2-4x+5\right)^2}\\
=\dfrac{\left[2x^3-20x^2+58x-60\right]-\left[2x^3-28x^2+102x-108\right]}{\left(x^2-4x+5\right)^2}\\=\dfrac{8x^2-44x+48}{\left(x^2-4x+5\right)^2}\\
=\boxed{\textcolor{red}{4\times \dfrac{2x^2-11x+12}{\left(x^2-4x+5\right)^2}}}$.\\
Le dénominateur est positif (carré d'un réel) et 4 est positif donc $f'(x)$ est du signe de $2x^2-11x+12$.\\
Le discriminant est \\
$\Delta=(-11)^-4\times 2\times 12=121-96=25>0$.\\
Le numérateur de $f'(x)$ a deux racines : \\
$x_1=\dfrac{11-5}{4}=\dfrac{3}{2}$ et $x_2=\dfrac{11+5}{4}=4$.\\
Il est du signe du coefficient de $x^2$, 1, donc positif, à l'extérieur de l'intervalle formé par les racines et négatif entre les racines.
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&\dfrac{3}{2}&&4&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&&\c&\h{9}&\d&-1&\c\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $\left(u_n\right)$ une suite arithmétique telle que : \\
$u_{0}=3\text{ et }u_0+u_1+\cdots+u_{15}=768$.\\
%Calculer la raison de cette suite.
D'après le cours, $u_0+u_1+\cdots+u_n=\boxed{\textcolor{red}{(n+1)\times \dfrac{u_0+u_n}{2}}}$ donc :\\
$u_0+u_1+\cdots+u_{15}=16\times \dfrac{\left(u_0+u_{15}\right)}{2}=8\left(u_0+u_{15}\right)$.\\
Or $u_{15}=u_0+15r$ donc $8\left(u_0+u_{15}\right)=8\left(u_0+u_0+15r\right)=8\left(2u_0+15r\right)$.\\
Cette somme vaut 768 donc $8\left(2u_0+15r\right)=768$ d'où $2u_0+15r=\dfrac{768}{8}=96$, soit $2\times 3+15r=96$.\\
On en déduit : $15r=96-6=90$ d'où $r=\dfrac{90}{15}=6$.\\
La raison de cette suite est $\boxed{\textcolor{red}{r=6}}$.

\subsection{}%Bac ES Liban mai 2013 (extrait)
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0} = 10$ et pour tout entier naturel $n,$

\[ u_{n+1} = 0,9u_{n} + 1,2.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $n$ :\\
		 $v_{n+1}= u_{n+1}-12 = 0,9u_n+1,2-12= 0,9u_n-10,8=0,9(u_n-12) = \boxed{\textcolor{red}{0,9v_n}}$
		
La suite $\left(v_n\right)$ est donc \textbf{\textcolor{red}{géométrique}} de raison $0,9$ et de premier terme 

$v_0=u_0-12=-2$
		\item En appliquant les formules sur les suites géométriques, on a : 
		
$v_n=v_0\times q^n=\boxed{\textcolor{red}{-2\times 0,9^n}}$

		\item On a  $v_{n} = u_{n} - 12$. soit $u_{n} = v_{n}+12$ et donc pour tout $n$, $\boxed{\textcolor{red}{u_{n} = 12 - 2 \times  0,9^n}}$.
		
	\end{enumerate} 
	
\item Comme la raison de la suite $\left(v_n\right)$ est comprise entre $0$ et $1$, la limite de la suite $(v_n)$ est donc nulle.

Par suite, $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n= \lim_{n\rightarrow +\infty}v_n+12=\boxed{\textcolor{red}{12}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}%Odyssée
La suite $\left(u_n\right)$ est définie sur $\mathbb{N}^*$ par : \\
$u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}}\leqslant u_n\leqslant \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$.
$u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\\
=\dfrac{\left[\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right]\left[\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right]}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\\
=\dfrac{(n+1)-n}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}}}$, \\
car $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.\\
Pour tout $n$, $n<n+1$ donc $\sqrt{n}<\sqrt{n+1}$ (croissance de la fonction $x\mapsto \sqrt{x}$).\\
On en déduit :\\
$\sqrt{n}+\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}$, c'est-à-dire $2\sqrt{n}<\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<\sqrt{n+1}$.\\
En appliquant la fonction inverse qui est décroissante sur $]0~;~+\infty[$, on en déduit : 
\[\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}}<u_n<\dfrac{1}{2\sqrt{n}}}}\]

\item %Quelle est la limite de $\left(u_n\right)$ ?
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{2\sqrt{n+1}}\right)=0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\right)=0$, donc, d'après e théorème des gendarmes, $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0}}$.
\end{enumerate}

\item La suite $\left(v_n\right)$ est définie par \\
$v_n=\dfrac{u_1+u_2+\cdots+u_n}{\sqrt{n}}$.\\
%Quelle est la limite de $\left(v_n\right)$ ?
Pour tout $n$, $u_1+u_+\cdots+u_n\\
=\left[\sqrt{2}-\sqrt{1}\right]+\left[\sqrt{3}-\sqrt{2}\right]+\cdots\\
+\left[\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right]+\left[\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right]=\sqrt{n+1}-1$, après simplification.

On en déduit que, pour tout $n>0$, \\
$\boxed{\textcolor{red}{v_n=\dfrac{\sqrt{n+1}-1}{\sqrt{n}}}}$.\\
On a $v_n=\dfrac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{\dfrac{n+1}{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n}}$\\
$\sqrt{\dfrac{n+1}{n}}=\sqrt{\dfrac{n\left(1+\frac1n\right)}{n}}=\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{\dfrac{n+1}{n}}=1$ car $\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)=1$.\\
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}\right)=0$.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}v_n=1}}$

\end{enumerate}


\subsection{}%Bac S Pondichéry avril 2017
On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$   :\:  $u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ; 
\item[$\bullet~~$] la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\bigskip 

\textbf{\textcolor{blue}{Partie A : Conjectures}}

\medskip 

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à  l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &A   			&B   	&C\\ \hline  
1 &rang $n$	&terme $u_n$&terme $v_n$\\ \hline    
2 &0   			&1    	&1 \\ \hline     
3 &1   			&5     	&2\\ \hline      
4 &2   			&12    	&4\\ \hline      
5 &3   			&25    	&8 \\ \hline     
6 &4   			&50    	&16\\ \hline 
\end{tabularx}     
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ? 

en B3, on tape : \og $=2B2 - A2 + 3$ \fg 

en C3, on tape : \og $ = 2\wedge (A3)$ \fg ~ ou ~ \og $=2\times C2$ \fg\\
Rappel : une formule de tableur commence toujours par =.

\newpage


\item Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textsc{}}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
12   &10   	&\np{3080}   &\np{1024}\\ \hline     
13   &11   	&\np{6153}   &\np{2048}\\ \hline     
14   &12   	&\np{12298}  &\np{4096}\\ \hline      
15   &l3    &\np{24587}  &\np{8192}\\ \hline      
\end{tabularx}     
\end{center}

%Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 


La limite de $\left(u_n\right)$ semble être $+\infty$ 

Celle de $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ \textbf{\textcolor{red}{semble être égale à 3}}.
%\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{blue}{\textbf{Partie B : Étude de la suite} \boldmath $\left(u_n\right)$\unboldmath}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Démontrons par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[u_n = 3 \times  2^n + n - 2.\] 


\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Initialisation}}: $u_0=1$ et $3 \times  2^0 + 0 - 2=1$~~~donc l'égalité est vérifiée au rang 0.

\item \textbf{\textcolor{blue}{Hérédité}}: Soit $n$ un naturel quelconque et supposons que : $ u_n = 3 \times  2^n + n - 2$

D'après la définition : \\
$u_{n+1} = 2u_n - n + 3 \\
= 2\left(3 \times  2^n + n - 2 \right) - n + 3 = 3 \times 2^{n+1} + 2n - 4 - n + 3 \\
= 3 \times 2^{n+1} + n - 1$ soit 

$u_{n+1} = 3 \times 2^{n+1} + n + 1 - 1 - 1 = \boxed{\textcolor{red}{3 \times 2^{n+1} + (n + 1)  - 2}}$.

La relation est vraie au rang $n+1$.

\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} : la relation est vraie au rang $0$, et si elle est vraie au rang $n$, elle est vraie au rang $n + 1$. D'après le principe de la récurrence on a donc démontré que pour tout naturel $n$,

$u_n = 3 \times  2^n + n - 2$.
%\end{solution}

\item Déterminons la limite de la suite $\left(u_n\right)$. 

%\begin{solution}
$\lim_{n\rightarrow +\infty}2^n=+\infty$ donc par somme, \[\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}.\]
%\end{solution}

\item Déterminons le rang du premier terme de la suite supérieur à  1 million. 

%\begin{solution}
$u_{18} = \np{786448} < \np{1000000}$ et \\
$u_{19} = \np{1572881} > \np{1000000}$.

19 est donc le rang du premier terme supérieur  à un million.
%\end{solution}

\end{enumerate}

\bigskip

\textcolor{blue}{\textbf{Partie C : Étude de la suite } \boldmath$\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ \unboldmath}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrons que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à  partir du rang 3. 

%\begin{solution}
$\forall n \in \mathbb{N}~,~\dfrac{u_n}{v_n}=3+\dfrac{n-2}{2^n}$

$\forall n \in \mathbb{N}~,~\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\dfrac{u_n}{v_n}\\
=\left( 3+\dfrac{n-1}{2^{n+1}}\right) -\left( 3+\dfrac{n-2}{2^n}\right)\\
=\dfrac{n-1-2(n-2)}{2^{n+1}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{-n+3}{2^{n+1}}}}$ \\
qui est du signe de $-n+3$

Donc $\dfrac{u_{n+1}}{v_{n+1}}-\dfrac{u_n}{v_n}<0$ si $n>3$ alors $\left( \dfrac{u_n}{v_n}\right) $ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}} à partir du rang 3
%\end{solution}

\item On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal  à  4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$. 

Déterminons la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 

%\begin{solution}
$\forall n\in\mathbb{N},~\dfrac{u_n}{v_n}=3+\dfrac{n-2}{2^n}=3+\dfrac{n}{2^n}-\dfrac{1}{2^{n-1}}$

d'après l'encadrement donné, on en déduit que pour $n\geqslant 4~,~3-\dfrac{1}{2^{n-1}}<\dfrac{u_n}{v_n}\leqslant 3+\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{2^{n-1}}$

Or $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{n}= 0$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{2^{n-1}}=0$ alors d'après le théorème des gendarmes on a : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}\dfrac{u_n}{v_n}=3 }}$.


\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  