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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Continuité d'une fonction}}\end{center}
\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Activité A page 192}}



\subsection{\textcolor{red}{Fonctions continues}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Définition de la continuité :}}
\begin{minipage}{16cm}\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{\textcolor{red}{Définition}}}
Soit $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et soit $a$ est un réel de $I$.\\
$f$ est continue en $a$ signifie que $f$ admet une limite en $a$ égale à $f(a)$.\\
$f$ est continue sur l'intervalle $I$ signifie que $f$ est continue en chaque point $a$ de $I$.
\end{bclogo}

\bigskip


\end{minipage}

\noindent \textcolor{red}{Exemples :} 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $I=]1;+\infty[$ par : $f(x) =\frac{1}{x-1}$.\\
La fonction $f$ est continue en $2$ car : $f(2) = 1$ et $\lim_{x\rightarrow 2}f(x) = 1$.\\
Plus généralement, cette fonction est continue sur $I$.

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\begin{cases}1\text{ si }x<0\\\mathrm{e}^{x}\text{ si }x\geqslant 0\end{cases}$.\\
$f$ est continue en 0, car  :\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f(0)=\mathrm{e}^{0}=1$.

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}f(x)=\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x<0}}1=1=f(0)$.

\item $\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}f(x)=\lim_{\substack{x\rightarrow 0\\x>0}}\mathrm{e}^{x}=1=f(0)$.\\
On en déduit que $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\subsubsection {\textcolor{blue}{Illustration graphique :}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcsmbh]{}
De manière intuitive, on reconnaît graphiquement qu'une fonction est continue lorsque sa courbe peut être tracée sans lever le crayon. (attention, cela ne constitue pas une preuve !)
\end{bclogo}

\bigskip



\textcolor{red}{Exemple :} la fonction carré est continue :\\
En effet, pour tout $a\in\mathbb{R}$, $\lim_{x\rightarrow a}x^2=a^2$ ;  on peut donc tracer la parabole sans lever le crayon.\\\\
\textbf{\textcolor{red}{Existe-t-il des fonctions non continues ?}} Oui, il suffit de tracer une courbe avec une rupture dans le tracé ; la fonction associée n'est alors pas continue.




\subsubsection{\textcolor{blue}{ Exemple d'une fonction explicite non continue : la fonction \og Partie entière \fg}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!20, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{\textcolor{red}{Définition}}}
Soit $x$ un réel. Il existe alors un entier relatif $n$ unique tel que : $n\leq x < n + 1$. On définit alors la fonction partie entière, notée $E$, par : $E(x) = n$.
\end{bclogo}

\bigskip



\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}} $E(2,3) = 2$ ;$ E(3) = 3 $; $E(-4, 12) =-5$ (\textbf{\textcolor{blue}{attention aux nombres négatifs}}).\\

\textbf{\textcolor{red}{Remarque :}}Cette fonction est constante sur chaque intervalle de la forme $[n; n + 1[$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Représentation graphique :}}\\

\begin{center}
\psset{unit=1}
\begin{pspicture}(-3,-3)(5,5)
\psaxes[xunit=1cm , yunit=1cm , linewidth=0.2mm,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(5,5)
\psline(-2,-2)(-1,-2)
\psline(-1,-1)(0,-1)
\psline(0,0)(1,0)
\psline(1,1)(2,1)
\psline(2,2)(3,2)
\psline(3,3)(4,3)
\psline(4,4)(5,4)
\psline(5,5)(6,5)
%\psarc(-1.7,-3){0.3}{150}{210}
\psarc(-0.7,-2){0.3}{150}{210}
\psarc(0.3,-1){0.3}{150}{210}
\psarc(1.3,0){0.3}{150}{210}
\psarc(2.3,1){0.3}{150}{210}
\psarc(3.3,2){0.3}{150}{210}
\psarc(4.3,3){0.3}{150}{210}
\psarc(5.3,4){0.3}{150}{210}
\psarc(6.3,5){0.3}{150}{210}
\end{pspicture}
\end{center}
Sur $[n~;~n+1[$, $E(x)=x$.\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow n\\x>n}}E(x)=n$ puisque $E(x)=n$ sur $[n~;~n+1[$\\
$\lim_{\substack{x\rightarrow n\\x<n}}E(x)=n-1$ puisque $E(x)=n-1$ sur $[n-1~;~n[$\\
$E(n)=n$.\\
On n'a donc pas $\lim_{x\rightarrow n}E(x)=E(n)$ : $E$ n'est pas continue en $n$ pour tout $n\in\mathbb{Z}$.\\

\noindent En fait, $E$ est continue \textbf{\textcolor{red}{à droite}}, mais pas à gauche.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcsmbh]{\textbf{\textcolor{red}{Exemple de fonction discontinue partout (hors-programme !)}}}
La fonction $f$ définie par : $\left\{\begin{array}{l}f(x)=0\text{ si }x\in\mathbb{Q}\\ f((x)=1\text{ si }x\notin \mathbb{Q}\end{array}\right.$ est discontinue en tout réel $a$ de $\mathbb{R}$.\\
Cela vient de la structure des réels. Pour chaque nombre rationnel (pouvant d'écrire comme quotient d'entiers), on peut toujours trouver un irrationnel aussi proche que l'on veut de ce rationnel et on peut approcher aussi près que l'on veut un irrationnel par un rationnel
\end{bclogo}

\bigskip




\subsection{\textcolor{red}{Continuité des fonctions usuelles :}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{}\textcolor{red}{Théorème}}
Les fonctions polynômes, la fonction sinus, la fonction cosinus sont continues sur $\mathbb{R}$. La fonction racine carrée est continue sur $[0;+\infty[$.\\
La somme, le produit, le quotient et la composée de deux fonctions continues est une fonction continue sur leur ensemble de définition.
\end{bclogo}

\bigskip


\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}} Cela vient des propriétés sur les calculs de limites (voir chapitre sur les limites)\\

\textbf{\textcolor{blue}{Exercice :}}
$f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x si x\leq  0$, $f(x) = x^2$ si $0 < x < 1$, $f(x) = m$ si $x\geq  1$.\\
\begin{enumerate}
\item $m = 2$. La fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$?
\item Pour quelle valeur de $m$ la fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$?
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{red}{Le théorème des valeurs intermédiaires :}}

\subsubsection{\textcolor{blue}{Approche}}

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3; 3]$. Soit $k$ un nombre compris entre $f(-3)$ et $f(3)$.\\
Existe-t-il un nombre $x$ tel que $f(x)=k$ ?\\

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item \textbf{\textcolor{blue}{Cas d'une fonction non continue.}}\\
Par exemple, prenons la fonction définie par $f(x)=\begin{cases}x\text{ si }x<0\\\mathrm{e}^{x}\text{ si }x\geqslant 0\end{cases}$.
\begin{center}
\psset{xunit=1,yunit=0.5,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-3,-3)(2,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1,linewidth=2pt]{->}(0,0)(-3,-3)(2,10)
\psplot{-3}{0}{x}
\psplot{0}{2}{EXP(x)}
\end{pspicture}

\end{center}
Considérons l'équation $f(x)=0,5$.\\
Il est clair graphiquement que l'équation  n'a pas de solution.



\item \textbf{\textcolor{blue}{Cas d'une fonction continue.}}\\
Comme la courbe se trace sans lever le crayon, il semble intuitivement que l'équation $f(x)=k$ ait au moins une solution
\end{enumerate}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{}\textcolor{red}{Théorème des valeurs intermédiaires (admis)}}
$f$ est une fonction \textbf{\textcolor{red}{continue}} définie sur un intervalle $I$.\\
Soient $a$ et $b$ deux réels de $I$.\\
Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe \textbf{au moins} un réel $c$ compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c) = k$.
\end{bclogo}

\bigskip



\noindent \textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} c'est un \textbf{\textcolor{red}{théorème d'existence}} ; il ne donne pas la valeur d'un solution. D'ailleurs, la plupart du temps, on se sert de ce théorème pour montrer l'existence d'une solution qu'on ne sait pas trouver de fa\c con explicite.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcfleur]{\textbf{\textcolor{red}{Interprétation graphique :}}}
Si $(\mathcal{C})$ est la courbe représentative de $f$ continue sur $[a ;b]$, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, la droite d'équation $y = k$ coupe au moins une fois la courbe $(\mathcal{C})$ en un point d'abscisse $c$ comprise entre $a$ et $b$.
\end{bclogo}

\bigskip



\noindent \textbf{\textcolor{red}{Interprétation en terme d'équation :}}\\
$f$ est une fonction continue sur un intervalle $I$ comprenant $a$ et $b$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet \textbf{au moins} une solution $c$ comprise entre $a$ et $b$.\\

%\textbf{\textcolor{blue}{Exercice :}}
%Soit $(E)$ l'équation : $\cos(2x) = 2\sin x -2$.\\
%Démontrer que $(E)$ admet au moins une solution dans l'intervalle $\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}\right]$.\\
%
%\textbf{\textcolor{red}{Solution :}} L'équation s'écrit : $f(x) = -2$ avec $f(x) = \cos(2x) - 2\sin(x)$.
%$f$ est continue.  -2 est compris entre $f\left(-\frac{\pi}{6}\right)$ et $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$.\\


\newpage







\subsubsection{\textcolor{blue}{Cas des fonctions continues strictement monotones :}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textbf{\textcolor{red}{Théorème}}}
Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $[a ;b]$, alors, pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une solution \textcolor{red}{unique}.
\end{bclogo}

\bigskip


\textbf{\textcolor{blue}{Démonstration :}}\\
L'existence d'une solution vient du théorème des valeurs intermédiaires.\\
L'unicité vient de la stricte monotonie.\\


\textbf{\textcolor{blue}{Remarque :}} Tableaux de variations :\\
Par convention, les  flèches obliques d'un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré.

\subsection{\textcolor{red}{Exercices d'application}}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Exercice 1}}

Démontrer que l'équation $x^3 + 4x^2 + 4x + 2 = 0$ admet au moins une solution comprise entre -3 et -2.

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Solution}}\\
On pose $f(x)=x^3 + 4x^2 + 4x + 2$ .\\
$f'(x)=3x^2+8x+4$ ; $\Delta=64-48=16>0$.\\
$f'(x)$ a deux racines : $x_1=-2$ et $x_2=-\dfrac{2}{3}$.\\
$f'(x)>0$ à l'extérieur de ses racines (trinôme du second degré)\\
$f(-2)=-2$ et $f\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{22}{27}$\\
Pour $x\neq 0$, $f(x)=x^3\left(x+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{2}{x^3}\right)$ d'où : \\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation}} :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-2&&\-\dfrac{2}{3}&&\pI\\
\hline
f'(x)&&+&\z&-&\z&+&\\
\hline
\m{f(x)}&\mI&\c&\h{2}&\d&\dfrac{22}{7}&\c&\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

Sur $]-\infty~;~-2]$ : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f$ est continue

\item $f(-3)=-1<0$

\item $f(-2)=2>0$
\end{enumerate}
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation. $f(x)=0$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]-3~;~-2]$.\\
Comme $f$ est croissante sur cet intervalle, cette solution est unique ; on la note $\alpha$.\\
Sur $[-2~;~+\infty[$, $f(x)>0$ donc cette équation n'a pas de solution.\\
On détermine $\alpha$ à la calculatrice : on trouve $\alpha\approx -2,84$



\subsubsection*{\textcolor{blue}{Exercice 2}}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. $a$ et $b$ sont des réels de $I$ tels que $f(a)f(b)<0$. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution comprise entre $a$ et $b$.\\

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Solution}} : puisque $f(a)f(b)<0$, $f(a)$ et $f(b)$ ont des signes contraires ; $f$ est continue.\\
D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution comprise entre $a$ et $b$.



\subsubsection*{\textcolor{blue}{Exercice 3}}

Montrer qu'un polynôme de degré impair a au moins une racine réelle.

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Solution}}\\
$f(x)=ax^3+bx^+cx+d$.\\
Pour $x\neq 0$, $f(x)=x^3\left(a+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x^2}+\dfrac{d}{x^3}\right)$.\\
$\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\left(a+\dfrac{b}{x}+\dfrac{c}{x^2}+\dfrac{d}{x^3}\right)=a$\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow =\infty}x^3=+\infty$.\\
On en déduit que si $a>0$, $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.\\
Si $a<0$, c'est le contraire.\\
Comme $f$ est continue et que $f$ change de signe, $f(x)$ s'annule au moins une fois sur $\mathbb{R}$.

\subsubsection*{\textcolor{blue}{Exercice 4}}

Un randonneur parcourt 10 km en deux heures exactement. Montrer qu'il y a un intervalle de temps de durée une heure exactement durant lequel il parcourt exactement 5 km.\\
On note $d(t)$ le temps parcouru au bout de $t$ heures $(0\leqslant t\leqslant 2)$ et on considère la fonction $u~:~t\mapsto d(t+1)-d(t)$.\\

\textbf{\textcolor{red}{Solution :}}\\
$u(0)=d(1)$ et $u(1)=d(2)-d(1)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $u(1)=5$, l'intervalle $[0~;~1]$ convient.

\item Si $u(1)<5$, alors $u(0)>5$ et $u(1)<5$ ; comme $u$ est continue, l'équation $u(t)=5$ a une solution.

\item Si $u(1)>5$, alors $u(0)<5$ et $u(1)>5$ ; comme $u$ est continue, l'équation $u(t)=5$ a une solution.
\end{enumerate}


\subsubsection{\textcolor{blue}{Approximation des solutions d'une équation du type $f(x)=k$}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item méthode du balayage
\item dichotomie : on coupe l'intervalle en deux à chaque étape.
\item utilisation de la fonction Solve de la calculatrice
\end{enumerate}

\newpage

\subsection{\textcolor{red}{Suites définies par récurrence}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!50, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{Théorème}}
Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue, alors $f(\ell)=\ell$.
\end{bclogo}

\bigskip



\textbf{\textcolor{red}{Démonstration :}}\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\ell$ donc $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n+1}=\ell$, c'est-à-dire $\lim_{n\rightarrow +\infty}f\left(u_{n}\right)=\ell$.

\item Comme $f$ est continue, puisque $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_{n}=\ell$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}f\left(u_{n}\right)=f\left(\ell\right)$.

\item La limite d'une suite est unique, donc $\ell=f\left(\ell\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} :
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $\begin{cases}u_0=3\\u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}\end{cases}$.

\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite est décroissante.

\item montrer qu'elle est minorée.

\item En déduire qu'elle est convergente.

\item Quelle est sa limite ?
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Solution}}

\begin{enumerate}
\item Montrons par récurrence que $u_n+1<u_n$ pour tout $n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=\sqrt{1+u_0}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2<u_1$ donc la rporiété est vraie au rang $n=0$.

\item On suppose la propriété vraie pour un tang $n$ quelconque, donc $u_n+1<u_n$.\\
Alors : $u_{n+2}-u_{n+1}=\sqrt{1+u_{n+1}}-\sqrt{1+u_n}\\
=\dfrac{\left[\sqrt{1+u_{n+1}}-\sqrt{1+u_n}\right]\times \left[\sqrt{1+u_{n+1}}+\sqrt{1+u_n}\right]}{\left[\sqrt{1+u_{n+1}}+\sqrt{1+u_n}\right]}=\dfrac{1+u_{n+1}-1-u_n}{\sqrt{1+u_{n+1}}+\sqrt{1+u_n}}\\
=\dfrac{u_{n+1}-u_n}{\sqrt{1+u_{n+1}}+\sqrt{1+u_n}}$ qui est du signe de $u_{n+1}-u_n$ donc négatif.\\
On en déduit que $u_{n+2}<u_{n+1}$.\\
La propriété est héréditaire.\\
Elle est donc vraie pour tout $n$ : la suite est décroissante.

\item pour tout $n$, $u_n>0$ (se démontrerait de façon évidente par récurrence) et on a même $u_n>1$.

\item $\left(u_n\right)$ est décroissante minorée donc convergente (théorème de la convergence monotone)

\item $\left(u_n\right)$ est définie par récurrence sous la forme $u_{n+1}=f\left(u_n\right)$ avec $f(x)=\sqrt{1+x}$.\\
 La limite $\ell$ est solution de l'équation $f(x)=x$ donc $\sqrt{1+x}=x$.\\
 $x=\sqrt{1+x}\Leftrightarrow \begin{cases}x\geqslant 0\\x^2=1+x\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x\geqslant 0\\x^2-x-1=0\end{cases}$.\\
 La solution positive de cette équation est $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$.\\
 On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\ell=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}}$ (nombre d'or).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}  