\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,colortbl}
\usepackage[np]{numprint}
%\usepackage[dvips]{color}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité mathématiques : DM4}}\end{center}

\emph{\og{}Arithmétique, algèbre, géométrie, trinité grandiose ! Triangle lumineux ! Celui qui ne vous a pas connues est un insensé ! Il mériterait l'épreuve des plus grands supplices.\fg{}, d'après le Comte de Lautréamont (1846 - 1870))}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%Métropole 2018
\emph{Dans cet exercice, on munit le plan d'un repère orthonormé.}

On a représenté ci-dessous la courbe d'équation:
\[y = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x + \text{e}^{-x} - 2\right).\]


Cette courbe est appelée une \og chaînette \fg. 

On s'intéresse ici aux \og arcs de chaînette\fg délimités par deux points de cette courbe
symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.

On définit la \og largeur \fg et la \og hauteur \fg de l'arc de chaînette délimité par les points $M$ et $M'$ comme indiqué sur le graphique.

\begin{center}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(2,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,0)(2,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.8}{1.8}{2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add 2 sub 0.5 mul}
\psline[linestyle=dashed](1.4,0)(1.4,1.1509)(-1.4,1.1509)(-1.4,0)
\uput[d](1.4,0){$x$} \uput[d](-1.4,0){$- x$}
\psline{<->}(-1.4,-0.5)(1.4,-0.5)
\uput[d](0,-0.5){largeur}
\psline{<->}(-1.6,0)(-1.6,1.1509)
\uput[l](-1.6,0.56){hauteur}
\uput[r](1.4,1.){$M\left(x~;~\frac{1}{2}\left(\text{e}^x + \text{e}^{- x} - 2\right)\right)$}
\uput[ur](-1.4,1.1){$M'$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Le but de l'exercice est d'étudier les positions possibles sur la courbe du point $M$ d'abscisse $x$ strictement positive afin que la largeur de l'arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement
positives de l'équation 

\[(E) : \text{e}^x + \text{e}^{- x} - 4x - 2 = 0.\]

\item  On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par :

\[f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{- x} - 4x - 2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout $x > 0$, \[f(x) = x \left(\dfrac{\text{e}^x}{x}- 4\right) + \text{e}^{- x} - 2\].
		
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$, où $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
		\item Montrer que l'équation $f'(x) = 0$ équivaut à l'équation : $\left(\text{e}^x\right)^2 - 4\text{e}^x - 1 = 0$.
		\item En posant $X = \text{e}^x$, montrer que l'équation $f'(x) = 0$ admet pour unique solution réelle le nombre $\ln \left(2 + \sqrt{5}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée $f'$ de $f$ :
	
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,1.5)
\psframe(7,1.5)\psline(0,0.75)(7,0.75)\psline(1,0)(1,1.5)
\uput[u](0.5,0.75){$x$}\uput[u](1.1,0.75){$0$}
\uput[u](4,0.75){$\ln \left(2 + \sqrt{5} \right)$}\uput[u](6.5,0.75){$+ \infty$}
\rput(0.5,0.375){$f'(x)$}\rput(2,0.375){$-$}
\rput(4,0.375){$0$}\rput(5,0.375){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive que l'on notera $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant où les variables $a$, $b$ et $m$ sont des nombres réels :

\begin{center}
\begin{tabularx}{1\linewidth}{|X|}\hline
Tant que $b - a > 0,1$ faire:\\
\hspace{1cm}$m \gets \dfrac{a+b}{2}$\\
\hspace{1cm}Si $\text{e}^m + \text{e}^{-m} - 4m - 2 > 0$, alors:\\
\hspace{2cm}$b \gets m$\\
\hspace{1cm}Sinon :\\
\hspace{2cm}$a\gets m$\\
\hspace{1cm}Fin Si\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Avant l'exécution de cet algorithme, les variables $a$ et $b$
contiennent respectivement les valeurs $2$ et $3$.

Que contiennent-elles à la fin de l'exécution de l'algorithme ?

On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-contre avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme.
\item Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d'algorithme à la question
précédente ?
\end{enumerate}
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$m$ 	&$a$ &$b$ &$b - a$\\ \hline
		&2& 3 &1\\ \hline
2,5		&&&\\ \hline
\ldots	&\ldots&\ldots&\\ \hline
 ~		&&&\\ \hline
\end{tabularx}
 
\item La Gateway Arch, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l'allure ci-dessous.
 
Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à  la hauteur.

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-2,-1)(2,2)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-2,0)(2,2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.8}{1.8}{2.71828 x exp 2.71828 x neg exp add 2 sub 0.5 mul neg 1.5 add}
\psline{<->}(-1.8,-0.6)(1.8,-0.6)
\uput[d](0,-0.6){largeur}
\psline{<->}(0,-0.6)(0,1.5)
\uput[r](0,0.45){hauteur}
\end{pspicture}
\end{center}

 
La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement
positive de l'équation : 
 
\[\left(E'\right) : \text{e}^{\frac{t}{39}} + \text{e}^{-\frac{t}{39}} - 4\frac{t}{39} - 2 = 0.\]
 
Donner un encadrement de la hauteur de la Gateway Arch.

\end{enumerate}

\subsection{}%Sujet 0 2020
Pour préparer l’examen du permis de conduire, on distingue deux types de formation :

\begin{itemize}
\item la formation avec \emph{conduite accompagnée} ;
\item la formation \emph{traditionnelle}.
\end{itemize}

On considère un groupe de 300 personnes venant de réussir l’examen du permis de conduire. Dans ce groupe :

\begin{itemize}
\item 75 personnes ont suivi une formation avec \emph{conduite accompagnée} ; parmi elles, 50 ont réussi l’examen à leur première présentation et les autres ont réussi à leur deuxième présentation.
\item  225 personnes se sont présentées à l’examen suite à une formation \emph{traditionnelle} ; parmi elles, 100 ont réussi l’examen à la première présentation, 75 à la deuxième et 50 à la troisième présentation.
\end{itemize}

On interroge au hasard une personne du groupe considéré.

On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item [] $A$ : \og la personne a suivi une formation avec \emph{conduite accompagnée} \fg{} ;
\item [] $R_1$ : \og la personne a réussi l’examen à la première présentation \fg{} ;
\item []$R_2$ : \og la personne a réussi l’examen à la deuxième présentation \fg{} ;
\item []$R_3$ : \og la personne a réussi l’examen à la troisième présentation \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Modéliser la situation par un arbre pondéré.



\emph{Dans les questions suivantes, les probabilités demandées seront données sous forme d’une fraction irréductible.}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que la personne interrogée ait suivi une formation avec \emph{conduite accompagnée} et réussi l’examen à sa deuxième présentation.
		\item Montrer que la probabilité que la personne interrogée ait réussi l’examen à sa deuxième présentation est égale à $\frac{1}{3}$.
		\item La personne interrogée a réussi l’examen à sa deuxième présentation. Quelle est la probabilité qu’elle ait suivi une formation avec \emph{conduite accompagnée}?
	\end{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute personne choisie au hasard dans le groupe, associe le nombre de fois où elle s’est présentée à l’examen jusqu’à sa réussite.

Ainsi, ${X=1}$ correspond à l’évènement $R_1$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l’espérance de cette variable aléatoire. Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\item On choisit, successivement et de façon indépendante, $n$ personnes parmi les 300 du groupe étudié, où $n$ est un entier naturel non nul. On assimile ce choix à un tirage avec remise de $n$ personnes parmi les 300 personnes du groupe.

On admet que la probabilité de l’évènement $R_3$ est égale à $\frac{1}{6}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Dans le contexte de cette question, préciser un évènement dont la probabilité est égale à $1-\left(\frac{5}{6}\right)^n$.

On considère la fonction Python \textbf{seuil} ci-dessous, où $p$ est un nombre réel appartenant à l’intervalle ]0;1[.
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
\textbf{def seuil}(p):\\
\hspace{2em}n = 1\\
\hspace{2em}\textbf{while} 1$-$(5/6)**n $\Leftarrow$ p:\\
\hspace{4.5em}n = n+1\\
\hspace{2em}\textbf{return} n\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Quelle est la valeur renvoyée par la commande \textbf{seuil}(0,9) ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l’exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}




\subsection{}% Sujet 0 année 2020
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :
\begin{itemize}
\item la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ ;
\item la tangente $T_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A de coordonnées $\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}~;~\mathrm{e}\right)$ ;
\item la tangente $T_B$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B de coordonnées (1~;~2).
\end{itemize}
La droite $T_A$ est parallèle à l’axe des abscisses. La droite $T_B$ coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (3~;~0) et l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0~;~3).


\bigskip

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Partie} I}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer graphiquement les valeurs de $f'\left(\dfrac{1}{\mathrm{e}}\right)$ et de $f'(1)$.
\item En déduire une équation de la droite $T_B$.
\end{enumerate}



\textcolor{red}{\textbf{\textsc{Partie} II}}

\medskip

On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) =\dfrac{2+\ln(x)}{x}.\]

\begin{enumerate}
\item Par le calcul, montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points A et B et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera.
\item Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs supérieures, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
\item Montrer que, pour tout $x\in]0~;~\infty[$,

\[f'(x)=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2} .\]

\item Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$
On admet que, pour tout $x\in]0~;~+\infty[$ 

\[f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3} .\]

Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.
\end{enumerate}

\end{multicols}
\begin{center}

\psset{xunit=1.8cm,yunit=1.8cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true,labelsep=0.1pt}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.7)(8,3.7)
\multido{\n=-0.0+0.5}{16}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-0.5)(\n,3.5)}
%\multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)}
\multido{\n=-0.5+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(7.50,\n) }
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,-0.5)(7.6,3.6)
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,-0.5)(7.6,3.6)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0.127}{7.50}{x ln 2 add x div}
\psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{-0.1}{7.50}{2.71828}
\psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{-0.1}{3.50}{x neg 3 add}
\psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.1](0.367879,2.71828)(1,2)
\uput[ur](0.468,2.81828){A}\uput[ur](1.1,2.1){B}
\uput[u](6.5,2.5){\cyan $T_A$}
\uput[r](2.2,0.5){\cyan $T_B$}
\uput[r](5,0.5) {\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}



\subsection{}%Antilles-Guyane septembre 2018
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$, et pour tout entier naturel $n$,\index{suite}

\[u_{n+1} = \text{e} \times \sqrt{u_n}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,\index{récurrence}

\[1 \leqslant u_n \leqslant  \text{e}^2.\]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.
		\item En déduire la convergence de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on pose
	
\[v_n = \ln \left(u_n\right) - 2.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\frac{1}{2}$.\index{suite géométrique}
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

\[v_n = - \dfrac{1}{2^{n-1}}.\]
		
		\item En déduire une expression de $u_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.\index{limite de suite}
 	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on s'interroge sur le comportement de la suite $\left(u_n\right)$ si l'on choisit d'autres valeurs que 1 pour $u_0$.
	
Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer si elle est vraie ou fausse en
justifiant.\index{vrai-faux}
	
\medskip
	
\textbf{Affirmation 1} : \og Si $u_0 = \np{2018}$, alors la suite $\left(u_n\right)$ est croissante. \fg
	
\textbf{Affirmation 2} : \og Si $u_0 = 2$, alors pour tout entier naturel $n$,\: $1 \leqslant u_n \leqslant \text{e}^2$. \fg
	
\textbf{Affirmation 3} : \og La suite $\left(u_n\right)$ est constante si et seulement si 
$u_0 = 0$. \fg
\end{enumerate}




\label{fin}
\end{document}  