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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Correction de l'exercice de spécialité  (Bac Liban mai 2017)}}\end{center}

\textbf{\textcolor{red}{Partie A}}


\begin{enumerate}
\item Graphe probabiliste

\begin{center}
\begin{psmatrix}[mnode=circle]
A &  &  & B 
\end{psmatrix}
\psset{arrows=->,shortput=nab}
\nccircle[angleA=90]{1,1}{0.7cm}^{0,88}
\ncarc[arcangle=15]{1,1}{1,4}^{0,12}
\nccircle[angleA=-90]{1,4}{0.7cm}^{0,86}
\ncarc[arcangle=15]{1,4}{1,1}^{0,14}
\end{center}

\bigskip

La matrice de transition $M$  vaut alors  $M=\begin{pmatrix}0,88&0,12\\ 0,14&0,86\end{pmatrix}$.

\item $P_0=\begin{pmatrix}a_0&b_0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3&0,7\end{pmatrix}$.

\item L’état probabiliste en 2018 est donné par la matrice ligne $P3 =\begin{pmatrix}a_3& b_3\end{pmatrix}$.\\
Or on sait que, pour tout entier $n$, on a : $P_{n+1}=P_n\times M$ et alors $P_n=P_0\times M^n$.\\
 La calculatrice nous donne : $M^3=\begin{pmatrix}0,725&0,275\\ 0,32&0.68\end{pmatrix}$.\\
Donc $P_3 =P_0\times M^3 \approx \begin{pmatrix}0,442&0,558\end{pmatrix}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : on peut calculer $P_3$ directement à la calculatrice, sans expliciter la valeur de $M^3$
\bigskip

Donc $a_3\approx0, 042$, ce qui signifie qu’en 2018, il y aura environ 44,2 \:\% des abonnés chez l’opérateur Alpha.

\item Les deux opérateurs voudraient connaître la répartition de l’ensemble des abonnés sur le long terme. 
\begin{enumerate}
\item On note $P =\begin{pmatrix} x&y\end{pmatrix}$ l’état stable de la répartition des abonnés. Alors par définition on a :
$P=P\times M$ et $x + y = 1$.

On en déduit : \\
$\begin{cases} x=0, 88x+0,14y\\y=0,12x+0,86y\\x+y=1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}0,12x-0,14y =0\\x+y=1\end{cases}$.\\
On en déduit : $\begin{cases}0,12x-0,14(1-x)=0\\y=1-x\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}0,26x=0,14\\y=1-x\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\dfrac{7}{13}\\y=\dfrac{6}{13}\end{cases}$.

\item L'état stable est donc $P=\begin{pmatrix}\dfrac{7}{13}&\dfrac{6}{13}\end{pmatrix}$ soit $P\approx \begin{pmatrix}0,538&0,462\end{pmatrix}$.\\
Au bout d’un grand nombre d’années, l’opérateur Alpha aura donc environ 53,8\:\% des parts de marché et l’opérateur Bravo aura environ 46,2\:\% des parts de marché.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textcolor{red}{Partie B}}

\bigskip

On utilise l'algorithme de Dijkstra :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
A&B&C&D&E&F&G&H&I&Poids&Choix\\
\hline
$\infty$&$\infty$&0&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&C&0\\%choix C
\hline
25 (C)&30 (C)&&20 (C)&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&$\infty$&D&20\\%choix D
\hline
25 (C)&30 (C)&&&40 (D)&$\infty$&$\infty$&$\infty$&35 (D)&A&25\\%choix A
\hline
&30 (A)&&&40 (D)&$\infty$&$\infty$&35 (A)&35 (D)&B&30\\%choix B
\hline
&&&&40 (D)&$\infty$&$\infty$&35 (A)&35 (D)&H&35\\%choix H
\hline
&&&&40 (D)&45 (H)&55 (H)&&35 (D)&I&35\\%choix I
\hline
&&&&40 (D)&45 (H)&55 (H)&&&E&40\\%choix E
\hline
&&&&&45 (H)&55 (H)&&&F&45\\%choix F
\hline
&&&&&&50 (H)&&&G&50\\%choix G
\hline
\end{tabularx}

Le tracé de fibre optique le moins cher à déployer, entre les stations C et G est :
\begin{center}
C - A - H - F - G
\end{center}
Et il coûte 50 milliers d'euros.

\label{fin}
\end{document}  


