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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité mathématiques Première : devoir \no 1}}\end{center}





\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%http://www.maths-mancini.fr/wp-content/uploads/2012/12/dm2-première-as-2022-2023.pdf	

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la forme canonique de l'expression :  $A(x) = -2x^2 + 8x – 12$.

\item 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la forme canonique de l'expression : $B(x) = x^2 – \sqrt{3} x – 1$.

\item En déduire que, pour tout réel $x$, \[x^2-\sqrt{3}x\geqslant -\dfrac{3}{4}.\]

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%http://www.maths-mancini.fr/wp-content/uploads/2012/12/dm2-première-as-2022-2023.pdf
Pour se rendre d'une ville A à une ville B distantes de 195 \si{\kilo\metre}, deux cyclistes partent en même temps de la ville A.\\
L'un des cyclistes, dont la vitesse moyenne sur ce parcours est supérieure de 4 km/h à celle de l'autre, arrive 1 heure plus tôt à la ville B.\\
Quelle est la vitesse moyenne de chacun des deux cyclistes? \textbf{Justifier avec soin}. 

\subsection{}%http://www.maths-mancini.fr/wp-content/uploads/2012/12/dm3-premiere-as-2022-2023.pdf
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\dfrac{x}{x-1}\leqslant \dfrac{x+2}{2x}$

\subsection{}
On veut résoudre l'équation $(E)~:~x^4-x^2-6=0$.

\begin{enumerate}[1)]
\item On pose $X=x^2$.\\
Montrer que l'équation $E$ équivaut à \[\begin{cases}X=x^2\\X^2-X-6=0\end{cases}.\]

\item Résoudre l'équation $X^2-X-6=0$. On appellera les solutions $X_1$ et $X_2$.

\item En déduire les solutions de l'équation $(E)$.
\end{enumerate}



\subsection{}%http://www.maths-mancini.fr/wp-content/uploads/2012/12/dm4-premiere-as-2022-2023.pdf
Soit $\mathscr{P}$ la parabole d'équation $y=x^2-3x+2$ et \\
$A$ le point de coordonnées $A(-2~;~3)$.\\
Le point $B$ est un point de l'axe des ordonnées  ayant pour pour ordonnée $m$. 

\begin{enumerate}

\item Montrer que l'équation de la droite $(AB)$ est \[y=\dfrac{m-3}{2}x+m.\]

\item Montrer que l'abscisse $x$ d'un point d'intersection de $\mathscr{P}$ et de la droite $(AB)$ est solution de l'équation :
\[2x^2 -(m+3)x+4-2m =0. \]

\item Montrer que le discriminant de cette équation est $m^2+22m -23$ et en déduire le nombre de points d'intersection entre $\mathscr{P}$ et $(AB)$ en fonction de $m$. 

\end{enumerate}

%\subsection{}%http://www.maths-mancini.fr/wp-content/uploads/2012/12/dm2-première-as-2022-2023.pdf
%\parbox{10cm}{$ABCD$ est un rectangle tel que: $AB=9~\si{\centi\metre}$ et $BC=5~\si{\centi\metre}$. \\
%$E$, $F$, et $G$ sont respectivement les points des segments $[CD]$, $[AD]$ et $[AB]$ tels que : $DF=DE=BG$.\\
%On pose $x = DF$. 
%
%\begin{enumerate}
%\item Préciser à quel intervalle appartient $x$, puis démontrer que l'aire du triangle $EFG$ est égale à $-x^2+7x$. 
%
%\item Déterminer la position du point $F$ pour que l'aire du triangle $EFG$ soit maximale, et préciser cette valeur maximale. 
%
%\end{enumerate}}\hfill
%\parbox{8cm}{\begin{center}
%\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(10,6)
%%\pstGeonode[PosAngle=270](1,5){E}
%%\pstGeonode[PosAngle=270](0,4){F}
%%\pstGeonode[PosAngle=-90](8,0){G}
%\pstGeonode[PosAngle={180,-90,90,90,180}, CurveType=polyline](0,0){A}(9,0){B}(9,5){C}(0,5){D}(0,0){A}
%\pstGeonode[PosAngle={90,180,90}, CurveType=polyline,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20](1,5){E}(0,4){F}(8,0){G}(1,5){E}
%\pstLineAB{D}{E}
%\pstLineAB{D}{F}
%\pstLineAB{B}{G}
%\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{D}{E}
%\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{D}{F}
%\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{B}{G}
%\end{pspicture}
%\end{center}}

\subsection{}
Une feuille a une épaisseur de 0,1 \si{\milli\metre}, que l’on note $e_0$.\\
Si on la plie en deux, on obtient une feuille d’une épaisseur de 0,2mm, que l’on note $e_1$.\\
Pour tout entier naturel $n$, on note $e_n$ l’épaisseur de la feuille (en \si{\milli\metre}) après le $n\ieme$ pliage.
\begin{enumerate}[1)]
\item Quelle est la nature de la suite $\left(e_n\right)$ ?

\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer  $e_n$ fonction de $n$.

\item Calculer $e_{20}$. Ce résultat semble-t-il possible dans la réalité ?

\item En admettant que l'on puisse le faire, quelle serait l'épaisseur $e_{42}$ au bout de 42 pliages.\\
Comparer avec la distance moyenne entre la Terre-Lune qui vaut \numprint{384400} \si{\kilo\metre}.

\end{enumerate}


%\subsection{}
%Une balle élastique de 3 \si{\centi\metre} de diamètre est lâchée d’une hauteur de 200 \si{\centi\metre}.\\
%On modélise ses rebonds sur le sol en considérant qu’après chaque rebond, la hauteur maximale de la balle est égale à 80\:\% de la hauteur
%maximale précédente.\\
%Pour tout entier naturel $n$, on note $h_n$ la hauteur maximale (en \si{\centi\metre}) de la balle au $n$-ième rebond.
%\begin{enumerate}[1)]
%\item Calculer $h_1$, $h_2$, $h_3$.
%
%\item Déterminer le sens de variation de $\left(h_n\right)$.
%
%\item Quelle est la hauteur maximale de la balle à son 6\ieme rebond ? On arrondira au millimètre.
%
%\item On considère que la balle est à l’arrêt quand sa hauteur maximale est inférieure à 3 \si{\centi\metre}.
%\begin{enumerate}
%\item  Compléter l’algorithme ci-dessous, de sorte que, après exécution, la variable $n$ stocke le nombre de rebonds de la balle avant arrêt.
%\begin{center}
%\fbox{\begin{minipage}{3cm}
%$h\leftarrow 200$\\
%$n \leftarrow0$\\
%Tant que \dots\dots\\
%$h\leftarrow\cdots$\\
%$n\leftarrow\cdots$
%\end{minipage}}
%
%\end{center}
%\item À l’aide de la calculatrice,  déterminer le nombre de rebonds avant arrêt.
%\end{enumerate}
%
%\end{enumerate}

\subsection{}
Soit $N$ un entier naturel non nul.\\
On définit la suite $\left(u_n\right)$ par : $u_0=N$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\begin{cases}\dfrac{u_n}{2}\text{~si~}n\text{ est pair}\\3u_n+1\text{~si~}n\text{ est impair}\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item On suppose que $N=1$ ; calculer les premiers termes ; que remarque-t-on ?

\item On suppose que $N=3$ ; calculer $u_n$ pour $n$ allant de 1 à 12 ; que remarque-t-on ?

\item On suppose que $N=8$ ; calculer $u_n$ pour $n$ allant de 1 à 12 ; que remarque-t-on ?

\item Que se passe-t-il si $N$ est une puissance de 2 ?

\item On suppose que $N=15$ ; calculer $u_n$ pour $n$ allant de 1 à 12 ; que remarque-t-on ?
\end{enumerate}

\subsection{}
Une entreprise décide de verser à ses ingénieurs une prime annuelle de 500 \euro.\\
Pour tenir compte de l'inflation, il est prévu que, chaque année, la prime augmente de 2\:\% par rapport à l'année précédente.\\
On note $\left(u_n\right)$ la suite des primes avec $u_1 = 500$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_2$ puis $u_3$ (c'est-à-dire la prime versée par l'entreprise la 2\ieme{} année et la 3\ieme{} année)

\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.\\
En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$.

\item Un ingénieur compte rester 20 ans dans cette entreprise à partir du moment où est versée la prime.\\
Calculer la prime qu'il touchera la 20\ieme{} année, c'est-à-dire $u_{20}$.

\item Calculer la somme totale S des primes touchées sur les 20 années, c'est-à-dire $S = u_1 + u_2 + u_3 +\cdots + u_{20}$

\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  