<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{SpÃ©cialitÃ© mathÃ©matiques PremiÃ¨re : correction du devoir \no 1}}\end{center}

\textbf{\textcolor{red}{Rappels}}
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Il faut mettre les rÃ©sultats en Ã©vidence (le correcteur ne doit pas avoir Ã&nbsp; les chercher !)

\item Il faut sauter une ligne entre deux questions.

\item Quand vous barrez un rÃ©sultat, cela se fait en tirant un trait (un seul) oblique.
\end{enumerate}


\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{}%http://www.maths-mancini.fr/wp-content/uploads/2012/12/dm2-premiÃ¨re-as-2022-2023.pdf	

\begin{enumerate}
\item  %DÃ©terminer la forme canonique de l'expression :  $A(x) = -2x^2 + 8x â€“ 12$.
$A(x) = -2x^2 + 8x â€“ 12=ax^2+bx+c$ avec $a=-2$, $b=8$ et $c=-12$.\\
La forme canonique de $A(x)$ est  $A(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.\\
Donc $\alpha=\dfrac{-8}{-4}=2$ et $\beta=A(2)=-4$.\\
Par consÃ©quent : $\boxed{\textcolor{red}{A(x)=-2(x-2)^2-4}}$

\item 
\begin{enumerate}
\item %DÃ©terminer la forme canonique de l'expression : $B(x) = x^2 â€“ \sqrt{3} x â€“ 1$.
$B(x) = x^2 â€“ \sqrt{3} x â€“ 1=ax^2+bx+c$ avec $a=1$, $b=-\sqrt{3}$ et $c=-1$.\\
La forme canonique de $B(x)$ est $B(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$  avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.\\
$\alpha=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\beta=B(\alpha)=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{3}}{2}-1\\
=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{2}-1=-\dfrac{7}{4}$.\\
Par consÃ©quent : $\boxed{\textcolor{red}{B(x)=\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\dfrac{7}{4}}}$.

\item %En dÃ©duire que, pour tout rÃ©el $x$, \[x^2-\sqrt{3}x\geqslant -\dfrac{3}{4}.\]
$\forall x\in\mathbb{R}$, $\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\geqslant 0$ donc \\
$B(x)=\left(x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\dfrac{7}{4}\geqslant -\dfrac{7}{4}$.\\
Or $x^2-\sqrt{3}x=B(x)+1\geqslant -\dfrac{7}{4}+1=-\dfrac{3}{4}$ donc, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\boxed{\textcolor{red}{x^2-\sqrt{3}x\geqslant -\dfrac{3}{4}}}$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}%http://www.maths-mancini.fr/wp-content/uploads/2012/12/dm2-premiÃ¨re-as-2022-2023.pdf
%Pour se rendre d'une ville A Ã&nbsp; une ville B distantes de 195 \si{\kilo\metre}, deux cyclistes partent en mÃªme temps de la ville A.\\
%L'un des cyclistes, dont la vitesse moyenne sur ce parcours est supÃ©rieure de 4 \si{\kilo\metre\per\hour} Ã&nbsp; celle de l'autre, arrive 1 heure plus tÃ´t Ã&nbsp; la ville B.\\
%Quelle est la vitesse moyenne de chacun des deux cyclistes? \textbf{Justifier avec soin}. 
Notons $d$ la distance parcourue en $\si{\kilo\metre}$, $v$ la vitesse moyenne en \si{\kilo\metre\per\hour} du cycliste le plus lent et $t$ la durÃ©e de son parcours en heures.\\
L'autre cycliste a une vitesse Ã©gale Ã&nbsp; $(v+4)$ et la durÃ©e de son parcours est $t-1$.\\
On a : $\begin{cases}d=vt\\d=(v+4)(t-1)\end{cases}$.\\
La deuxiÃ¨me Ã©quation donne : $d=vt-v+4t-4\Leftrightarrow vt=vt-v+4t-4$ d'oÃ¹ $4t-v-4$.\\
Or $v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{195}{t}$.\\
On en dÃ©duit : $4t-\dfrac{195}{t}-4=0\Leftrightarrow 4t^2-4t-195=0$.\\
$\Delta=(-4)^2-4\times 4\times (-195)=16+\numprint{3120}=\numprint{3136}$.\\
Il y a deux solutions : $t_1=\dfrac{4-\sqrt{4136}}{8}=\dfrac{4-56}{8}\\
=-\dfrac{52}{8}-\dfrac{13}{2}&lt;0$ et $t_2=\dfrac{4+56}{8}=\dfrac{60}{8}=\dfrac{15}{2}=7,5&gt;0$.\\
$t_1$ est nÃ©gatif donc ne convient pas.\\
Le temps mis par le premier cycliste est $7,5$ h donc 7 h 30 min.\\
Sa vitesse est $v=\dfrac{195}{\frac{15}2}=26~\si{\kilo\metre\per\hour}$.\\
Le deuxiÃ¨me cycliste parcourt les 195 km Ã&nbsp; 30 km/h en 6 h 30.

\subsection{}%http://www.maths-mancini.fr/wp-content/uploads/2012/12/dm3-premiere-as-2022-2023.pdf
%RÃ©soudre dans $\mathbb{R}$ l'inÃ©quation $\dfrac{x}{x-1}\leqslant \dfrac{x+2}{2x}$
Soit l'inÃ©quation l'inÃ©quation $\dfrac{x}{x-1}\leqslant \dfrac{x+2}{2x}$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item L'ensemble de dÃ©finition est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{0~;~1\right\}}}$ car aucun des dÃ©nominateurs ne peut s'annuler.

\item On suppose que $x\in\mathscr{D}$.\\
$\dfrac{x}{x-1}\leqslant \dfrac{x+2}{2x}\\
\Leftrightarrow \dfrac{x}{x-1}- \dfrac{x+2}{2x}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{2x^2-(x+2)(x-1)}{2x(x-1)}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{2x^2-\left[x^2-x+2x-2\right]}{2x(x-1)}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{2x^2-x^2+x-2x+2}{2x(x-1)}\leqslant 0\\
\Leftrightarrow \dfrac{x^2-x+2}{2x(x-1)}\leqslant 0$

\item Signe de $x^2-x+2$ :\\
$\Delta=(-1)^2-4\times 1\times 2=-7&lt;0$.\\
$x^2-x+2$ est donc du signe du coefficient de $x^2$, 1, donc positif sur $\mathscr{D}$.

\item Signe de $2x(x-1)$.\\
Les deux racines sont 0 et 1 ; ce trinÃ´me du second degrÃ© est du signe de 2 (coefficient de $x^2$) Ã&nbsp; l'extÃ©rieur des racines et nÃ©gatif entre les racines.

\item RÃ©capitulons dans un tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;0&amp;&amp;1&amp;&amp;\pI\\
\hline
x^2-x+2&amp;&amp;+&amp;\bb&amp;+&amp;\bb&amp;+&amp;\\
\hline
2x(x-1)&amp;&amp;+&amp;\bb&amp;-&amp;\bb&amp;+&amp;\\
\hline
\dfrac{x^2-x+2}{2x(x-1)}&amp;&amp;+&amp;\bb&amp;-&amp;\bb&amp;+&amp;\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=]0~;~1[}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On veut rÃ©soudre l'Ã©quation $(E)~:~x^4-x^2-6=0$.

\begin{enumerate}[1)]
\item On pose $X=x^2$.\\
%Montrer que l'Ã©quation $E$ Ã©quivaut Ã&nbsp; $\begin{cases}X=x^2\\X^2-X-6=0\end{cases}$
$x^4-x^2-6=0\Leftrightarrow \left(x^2\right)^2-x^2-6=0$.\\
$(E)\Leftrightarrow \begin{cases}X=x^2\\X^2-X-6=0\end{cases}$.

\item %RÃ©soudre l'Ã©quation $X^2-X-6=0$. On appellera les solutions $X_1$ et $X_2$
RÃ©solvons l'Ã©quation $X^2-X-6=0$.\\
$\Delta=(-1)^2-4\times 1(-6)=1+24=25&gt;0$.\\
Il y a deux solutions :\\
$X_1=\dfrac{1-\sqrt{25}}{2}=-2$ et $X_2=\dfrac{1+5}{2}=3$.

\item %En dÃ©duire les solutions de l'Ã©quation $(E)$.
On a $X=x^2$.\\
On rÃ©sout :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $x^2=X_1=-2$ ; il n'y a pas de solution dans $\mathbb{R}$.

\item $x^2=X_2=3$ ; il y a deux solutions : $-\sqrt{3}$ et $\sqrt{3}$.
\end{enumerate}
L'ensemble des sokutions de $(E)$ est \\
$\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\sqrt{3}~;~\sqrt{3}\right\}}}$
\end{enumerate}



\subsection{}%http://www.maths-mancini.fr/wp-content/uploads/2012/12/dm4-premiere-as-2022-2023.pdf
Soit $\mathscr{P}$ la parabole d'Ã©quation $y=x^2-3x+2$ et A le point de coordonnÃ©es (-2~;~3).\\
Le point $B$ est un point de l'axe des ordonnÃ©es  ayant pour pour ordonnÃ©e $m$. 

\begin{enumerate}

\item %Montrer que l'Ã©quation de la droite $(AB)$ est $y=\dfrac{m-3}{2}x+m$.
Le coefficient directeur de $(AB)$ est \\
$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{m-3}{0-(-2)}=\dfrac{m-3}{2}$.\\
L'Ã©quation rÃ©duite de la droite $(AB)$ est \\
$y=\dfrac{m-3}{2}x+b$.\\
Cette droite passe par $B(0~;~m)$ donc l'ordonnÃ©e Ã&nbsp; l'origine de cette droite est $m$.\\
L'Ã©quation de la droite $(AB)$ est donc : $\boxed{\textcolor{red}{y=\dfrac{m-3}{2}x+m}}$.

\item %Montrer que l'abscisse $x$ d'un point d'intersection de $\mathscr{P}$ et de la droite $(AB)$ est solution de l'Ã©quation :
%\[2x^2 -(m+3)x+4-2m =0. \]
L'abscisse d'un point d'intersection de $\mathscr{P}$ et de $(AB)$ est solution de l'Ã©quation :\\
$x^2-3x+2=\dfrac{m-3}{2}x+m$.\\
Cette Ã©quation se tranforme Ã&nbsp; :\\
$x^2-3x+2-\left[\dfrac{m-3}{2}x+m\right]=0\\
\Leftrightarrow x^2-3x+2-\dfrac{m-3}{2}x-m=0\\
\Leftrightarrow x^2-\left(3+\dfrac{m-3}{2}\right)x+2-m=0\\
\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{2x^2-(m+3)x+4-2m=0}}$ en multipliant tou par 2.

\item %Montrer que le discriminant de cette Ã©quation est $m^2+22m -23$ et en dÃ©duire le nombre de points d'intersection entre $\mathscr{P}$ et $(AB)$ en fonction de $m$. 
Lz discriminant est $\Delta=\left[-(m+3)\right]^2-4\times 2\times (4-2m)=(m+3)^2-8(4-2m)=m^2+6m+9-32+16m=\boxed{\textcolor{red}{m^2+22m-23}}$.\\
Ã‰tudions le signe de $m^2+22m-23$.\\
Le discriminant est $\Delta'=22^2-4\times 1\times (-23)\\=484+92 =576&gt;0$.\\
Il y a deux racines :\\
$m_1=\dfrac{-22-\sqrt{576}}{2}=\dfrac{-22-24}{2}=-23$ et \\
$m_2=\dfrac{-22+24}{2}=1$\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $m^2+22m-23$ est strictement positif sur \\
$]-\infty~;~-23[ \cup ]1~;~+\infty[$

\item $m^2+22m-23=0$ pour $m=-23$ et $m=1$.

\item $m^2+22m-23$ est strictement nÃ©gatif sur \\
$]-23~;~1[$
\end{enumerate}
\textbf{\textcolor{blue}{Conclusion}} :\\
$\mathscr{P}$ et $(AB)$ ont deux points d'intersection si $m\in]-\infty~;~-23[ \cup ]1~;~+\infty[$, un seul point d'intersection si $m=-23$ ou $m=1$ ($(AB)$ est alors tangente Ã&nbsp; $\mathscr{P}$) et aucun point d'intersection si $m\in]-23~;~1[$ 

\end{enumerate}

%\subsection{}%http://www.maths-mancini.fr/wp-content/uploads/2012/12/dm2-premiÃ¨re-as-2022-2023.pdf
%$ABCD$ est un rectangle tel que: $AB=9~\si{\centi\metre}$ et $BC=5~\si{\centi\metre}$. \\
%$E$, $F$, et $G$ sont respectivement les points des segments $[CD]$, $[AD]$ et $[AB]$ tels que : $DF=DE=BG$.\\
%On pose $x = DF$. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.7,comma=true,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(-1,-1)(10,6)
%%\pstGeonode[PosAngle=270](1,5){E}
%%\pstGeonode[PosAngle=270](0,4){F}
%%\pstGeonode[PosAngle=-90](8,0){G}
%\pstGeonode[PosAngle={180,-90,90,90,180}, CurveType=polyline](0,0){A}(9,0){B}(9,5){C}(0,5){D}(0,0){A}
%\pstGeonode[PosAngle={90,180,90}, CurveType=polyline,fillstyle=solid,fillcolor=cyan!20](1,5){E}(0,4){F}(8,0){G}(1,5){E}
%\pstLineAB{D}{E}
%\pstLineAB{D}{F}
%\pstLineAB{B}{G}
%\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{D}{E}
%\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{D}{F}
%\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{B}{G}
%\end{pspicture}
%
%\end{center}
%\begin{enumerate}
%\item %PrÃ©ciser Ã&nbsp; quel intervalle appartient $x$, puis dÃ©montrer que l'aire du triangle $EFG$ est Ã©gale Ã&nbsp; $-x^2+7x$. 
%On a : $0\leqslant x\leqslant 5$.
%
%\bigskip
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item Aire du triangle $EDF$ : $\mathscr{A(EDF)}=\dfrac{x^2}{2}$ (aire d'un triangle rectangle)
%
%\item Aire du triangle $AFG$ : $\mathscr{A}(AFG)=\dfrac{(5-x)(9-x)}{2}$.
%
%\item Aire du trapÃ¨ze $ECBG$ : \\
%$\mathscr{A}(ECBG)=\dfrac{(EG+GB)\times BC}{2}=\dfrac{(9-x+x)\times 5}{2}\\
%=\dfrac{45}{2}$
%
%\item Aire du triangle $EFG$ : \\
%$\mathscr{A}(EFG)=\mathscr{A}(ABCD)-\left[\mathscr{A}(EDF)+\mathscr{A}(AFG)+\mathscr{A}(ECBG)\right]\\
%=45-\left[\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{(5-x)(9-x)}{2}+\dfrac{45}{2}\right]\\
%=45-\dfrac{x^2+45-5x-9x+x^2+45}{2}\\
%=45-\dfrac{2x^2+14x+90}{2}\\
%=\dfrac{90-2x^2+14x-90}{2}=\dfrac{-2x^2+14x}{2}=-x^2+7x$.\\
%\[\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{A}(EFG)=-x^2+7x}}.\]
%\end{enumerate}
%
%\item %DÃ©terminer la position du point $F$ pour que l'aire du triangle $EFG$ soit maximale, et prÃ©ciser cette valeur maximale. 
%Cherchons la forme canonique :\\
%$-x^2+7x=-\left(x^2-7x\right)=-\left[\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2\right]\\
%=\boxed{\textcolor{red}{-\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+\dfrac{49}{4}}}$.\\
%$\forall x\in\mathbb{R}$, $-\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2\leqslant 0$ donc \\
%$\mathscr{A}(EFG)=-\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^2+\dfrac{49}{4}\leqslant \dfrac{49}{4}$.\\
%L'aire du triangle $EFG$ est maximum et vaut $\dfrac{49}{4}$ pour $x=\dfrac{7}{2}$.
%\end{enumerate}

\subsection{}
Une feuille a une Ã©paisseur de 0,1 \si{\milli\metre}, que lâ€™on note $e_0$.\\
%Si on la plie en deux, on obtient une feuille dâ€™une Ã©paisseur de 0,2mm, que lâ€™on note $e_1$.\\
%Pour tout entier naturel $n$, on note $e_n$ lâ€™Ã©paisseur de la feuille (en \si{\milli\metre}) aprÃ¨s le $n\ieme$ pliage.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Quelle est la nature de la suite $\left(e_n\right)$ ?
Pour tout $n\geqslant 0$, $e_{n+1}=2e_n$ donc la suite $\left(e_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique, de raison $q=2$ et de premier terme $e-0=0,1$.

\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer  $e_n$ fonction de $n$.
Puisque la suite est gÃ©omÃ©trique, on a : $e_n=e_0\times q^n\\
=\boxed{\textcolor{red}{0,1\times 2^n}}$.

\item %Calculer $e_{20}$. Ce rÃ©sultat semble-t-il possible dans la rÃ©alitÃ© ?
On trouve $e_ {20}\approx 104857.6 \si{\milli\metre}\approx 104~\si{\metre}$.\\
C'est absurde !  On ne peut pas atteindre une telle hauteur !

\item %En admettant que l'on puisse le faire, quelle serait l'Ã©paisseur $e_{42}$ au bout de 42 pliages.\\
%Comparer avec la distance moyenne entre la Terre-Lune qui vaut \numprint{384400} \si{\kilo\metre}.
De mÃªme, on trouverait $e_{42}\approx~\numprint{439804651110}~\si{\milli\metre}\\
\approx \si{439804}\si{\kilo\metre}$.\\
Si on pouvait plier la feuille 42 fois, on trouverait une Ã©paisseur supÃ©rieure Ã&nbsp; la distance Terre-Lune !

\end{enumerate}



\subsection{}
Soit $N$ un entier naturel non nul.\\
On dÃ©finit la suite $\left(u_n\right)$ par : $u_0=N$ et pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}=\begin{cases}\dfrac{u_n}{2}\text{~si~}u_n\text{ est pair}\\3u_n+1\text{~si~}u_n\text{ est impair}\end{cases}$.
\begin{enumerate}
\item %On suppose que $N=1$ ; calculer les premiers termes ; que remarque-t-on ?
On obtient $u_0=1$~;~$u_1=4$~;~$u_2=2$~;~$u_3=1$ ; on obtient le cycle 1 ; 4 ; 2 qui se rÃ©pÃ¨te indÃ©finiment.

\item %On suppose que $N=3$ ; calculer $u_n$ pour $n$ allant de 1 Ã&nbsp; 12 ; que remarque-t-on ?
Pour $u_0=3$, on obtient successivement : 3~;~10~;~5~;~16~;~8~;~4~;~2~;~1 et le cycle 4~;~2~;~1 se rÃ©pÃ¨te.

\item %On suppose que $N=8$ ; calculer $u_n$ pour $n$ allant de 1 Ã&nbsp; 12 ; que remarque-t-on ?
Pour $u_0=8$, on trouve 8~;~4~;~2~;~1 (voir calculs prÃ©cÃ©dents), donc de nouveau le cycle 48~;~4~;~2~;~28~;~4~;~2~;~1.

\item %Que se passe-t-il si $N$ est une puissance de 2 ?
Si $u_0=N$ est une puissance de 2, on finit par obtenir 1 et alors on a le cycle 4~;~2~;~1

\item On suppose que $N=15$\\% ; calculer $u_n$ pour $n$ allant de 1 Ã&nbsp; 12 ; que remarque-t-on ?
On obtient la liste 15~;~46~;~23~;~70~;~35~;~106~;~53~;~160\\
80~;~40~;~20~;~10~;~5~;~16~;~8~;~4~;~ 2~;~1.\\
On retrouve le cycle 4~;~2~;~1
\end{enumerate}
Cette suite est cÃ©lÃ¨bre. Le fait que la suite des nombres se termine toujours par le cycle 4~;~2~;~1 est appelÃ© conjecture de Syracuse (universitÃ© aux Ã‰tats-Unis) ou conjecture de Collatz et n'est toujours pas dÃ©montrÃ©e !\\
Cliquer \href{https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Syracuse}{ici}

\subsection{}
Une entreprise dÃ©cide de verser Ã&nbsp; ses ingÃ©nieurs une prime annuelle de 500 \euro.\\
Pour tenir compte de l'inflation, il est prÃ©vu que, chaque annÃ©e, la prime augmente de 2\:\% par rapport Ã&nbsp; l'annÃ©e prÃ©cÃ©dente.\\
On note $\left(u_n\right)$ la suite des primes avec $u_1 = 500$.

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_2$ puis $u_3$ (c'est-Ã&nbsp;-dire la prime versÃ©e par l'entreprise la 2\ieme{} annÃ©e et la 3\ieme{} annÃ©e)
Le. Coefficient multiplicateur associÃ© Ã&nbsp; une augmentation de 2\:\% est $C=1,02$.\\
Donc : `
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_2=1,02u_1=1,02\times 500=\boxed{\textcolor{red}{510}}$

\item $u_2=1,02u_1=1,02\times 510=\boxed{\textcolor{red}{520,2}}$.
\end{enumerate}

\item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.\\
%En dÃ©duire la nature de la suite $\left(u_n\right)$.
Pour tout $n$, $u_{n+1}=1,02u_n$.\\
La suite $\left(u_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique de raison \\
$q=1,02$.

%\item %Un ingÃ©nieur compte rester 20 ans dans cette entreprise Ã&nbsp; partir du moment oÃ¹ est versÃ©e la prime.\\
%Calculer la prime qu'il touchera la 20\ieme{} annÃ©e, c'est-Ã&nbsp;-dire $u_{20}$.
$\left(u_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique donc $u_n=u_1\times q^{n-1}$.\\
Alors $u_{20}=u_0\times q^{20}=500\times 1,02^{19}\approx \boxed{\textcolor{red}{728,41~\text{\euro}}}$.

\item %Calculer la somme totale S des primes touchÃ©es sur les 20 annÃ©es, c'est-Ã&nbsp;-dire $S = u_1 + u_2 + u_3 +\cdots + u_{20}$
$S=u_1+\cdots+u_{20}=u_1\times \dfrac{q^{20}-1}{q-1}\\
=500\times \dfrac{1,02^{20}-1}{1,02-1}=\numprint{25000}\times \left(1,02^{20)-1}\right)\\
\approx \boxed{\textcolor{red}{\numprint{12148,68}~\text{\euro}}}$.

\end{enumerate}

\end{multicols}

\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>