<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{SpÃ©cialitÃ© : contrÃ´le sur les probabilitÃ©s }}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
$A$ et $B$ sont deux Ã©vÃ©nements liÃ©s Ã&nbsp; une expÃ©rience alÃ©atoire.\\
On sait que $p_A(B)=0,2$ et $p(A)=0,3$.\\
Calculer $p(A \cap B)$.

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
$A$ et $B$ sont deux Ã©vÃ©nements d'une mÃªme expÃ©rience alÃ©atoire tels que $p(A)=0,3$, $p(B)=0,7$ et \\
$p(A \cap B)=0,2$

\begin{enumerate}[1)]
\item $A$ et $B$ sont-ils indÃ©pendants ?

\item Calculer $p_A(B)$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soient $A$ et $B$ deux Ã©vÃ©nements tels que \\
p(A) = 0,15, $p(B) = 0,6$ et $p(A \cup B)= 0,66$.
\begin{enumerate}[1)]
\item Calculer $p(A \cap B)$.

\item En dÃ©duire que que $A$ et $B$ sont indÃ©pendants.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
$A$ et $B$ sont deux Ã©vÃ¨nements d'une mÃªme expÃ©rience alÃ©atoire.\\
Dans chacun des cas suivants, calculer $p(A)$.\\
On rappelle que $A=(A \cap B) \cup \left(A \cap \overline{B}\right)$.

\begin{enumerate}
\item $p(A \cap B)=\dfrac{1}{3}$ et $p\left(A \cap \overline{B}\right) =\dfrac{1}{4}$.

\item $p_B(A)=\dfrac{1}{2}$, $p_{\overline{B}}(A)= \dfrac{1}{6}$ et $p(B)=\dfrac{2}{5}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{Indication}} : on commencera par calculer \\
$p(A \cap B)$ .

%\item $p_A (B) = 0,3$ ,$p_B(A) =0,1$ et $p(B) = 0,6$.\\
%\textbf{\textcolor{red}{Indication}} : on commencera par calculer $p(A \cap B)$ .

\end{enumerate}


%\subsection{}
%Dans un lycÃ©e, 55\:\% des Ã©lÃ¨ves sont des filles, 22\:\% d'entre elles Ã©tudient l'allemand.\\
%On choisit au hasard un Ã©lÃ¨ve du lycÃ©e et on considÃ¨re les Ã©vÃ¨nements : 
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item $F$ : \og{}l'Ã©lÃ¨ve est une fille\fg{}
%
%\item A :  \og{}l'Ã©lÃ¨ve Ã©tudiÃ© l'allemand\fg{}.
%
%\end{enumerate}
%
%\begin{enumerate}[1)]
%\item Traduire l'aide des Ã©vÃ¨nements $A$ et $F$ les donnÃ©es de Ã©noncÃ© en terme de probabilitÃ©.
%
%\item Calculer la probabilitÃ© que l'Ã©lÃ¨ve choisi soit une fille qui Ã©tudie l'allemand
%
%\end{enumerate}

%\subsection{}
%Dans une population, on Ã©tudie deux caractÃ¨res gÃ©nÃ©tiques notÃ© $A$ et $B$.\\
%55\:\% des individus possÃ¨dent le caractÃ¨re $A$,  42\:\% possÃ¨dent le caractÃ¨re $B$ et 27\:\% des individus ne possÃ¨dent ni le caractÃ¨re, ni le caractÃ¨re B.\\
%On rappelle que $(\overline{A} \cap \overline{B})=\overline{A \cup B}$.
%
%On choisit un individu au hasard dans la population.
%
%\begin{enumerate}[1)]
%
%\item Traduire les hypothÃ¨ses en terme de probabilitÃ©s.
%\item Calculer la probabilitÃ© qu'il possÃ¨de le caractÃ¨re $A$ sachant qu'il possÃ¨de dÃ©jÃ&nbsp; le caractÃ¨re $B$.
%
%\item Calculer la probabilitÃ© qu'il possÃ¨de le caractÃ¨re $B$ sachant qu'il possÃ¨de dÃ©jÃ&nbsp; le caractÃ¨re $A$.
%
%\end{enumerate}

%\subsection{}
%La roue avant d'une bicyclette peut Ãªtre assujetti Ã&nbsp; deux dÃ©fauts : le voilage de la jante  (dans 1\:\% des cas) ou un simple dÃ©faut du pneu (dans 6\:\% des cas).\\
%On note :
%\begin{enumerate}[$\bullet$]
%\item $J$ : l'Ã©vÃ¨nement \og{}la jante est voilÃ©e\fg{}.
%
%\item $D$ ;  l'Ã©vÃ¨nement \og{}le pneu prÃ©sente un dÃ©faut\fg{}.
%
%\end{enumerate}
%
%Ces Ã©vÃ¨nements sont supposÃ©s indÃ©pendants.
%
%Calculer la probabilitÃ© que la roue avant d'une bicyclette choisie au hasard :
%\begin{enumerate}[a)]
%\item possÃ¨de les deux dÃ©fauts.
%
%\item n'ait aucun dÃ©faut.
%
%\item possÃ¨de au moins l'un des deux dÃ©fauts.
%
%\item possÃ¨de un seul dÃ©faut.
%
%\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Un circuit Ã©lectronique est composÃ© de deux composants identiques numÃ©rotÃ©s 1 et 2.
On note $D_1$ l'Ã©vÃ¨nement \og le composant 1 est dÃ©faillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'Ã©vÃ¨nement \og le composant 2 est dÃ©faillant avant un an \fg.

On suppose que les deux Ã©vÃ¨nements $D_1$ et $D_2$ sont indÃ©pendants et que $P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.

\columnbreak
Deux montages possibles sont envisagÃ©s, prÃ©sentÃ©s ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(10,3.4)
%\psgrid
\psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2)
\psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2)
\rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2}
\rput(2.5,0.2){Circuit en parallÃ¨le A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en sÃ©rie B}
\psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5)
\rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque les deux composants sont montÃ©s \og en parallÃ¨le \fg, le circuit A est dÃ©faillant
uniquement si les deux composants sont dÃ©faillants en mÃªme temps. Calculer la probabilitÃ©
que le circuit A soit dÃ©faillant avant un an.

\item Lorsque les deux composants sont montÃ©s \og en sÃ©rie \fg, le circuit B est dÃ©faillant dÃ¨s que l'un
au moins des deux composants est dÃ©faillant. Calculer la probabilitÃ© que le circuit B soit
dÃ©faillant avant un an.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Une entreprise dispose de deux machines, appelÃ©es machine A et machine B pour fabriquer le mÃªme type de piÃ¨ces.\\
Certaines des piÃ¨ces produites sont dÃ©fectueuses.\\
Pour la machine $A$, la probabilitÃ© d'obtenir une piÃ¨ce sans dÃ©faut est 0,9.\\
Pour la machine $B$, cette probabilitÃ© 0,95.\\
La machine A a fourni les deux tiers de la production, la machine B le tiers restant.\\
On choisit une piÃ¨ce au hasard, et on considÃ¨re les Ã©vÃ¨nements :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $A$ : \og{}la piÃ¨ce provient de la machine $A$\fg{}.

\item $B$ : \og{}la piÃ¨ce provient de la machine $B$\fg{}.

\item $S$ : \og{}La piÃ¨ce est sans dÃ©faut\fg{}.

\end{enumerate}

\begin{enumerate}[1)]
\item Construire un arbre de probabilitÃ© pour reprÃ©senter cette expÃ©rience alÃ©atoire.

\item Calculer $p(S \cap A)$ et $p(S \cap B)$.\\
En dÃ©duire la probabilitÃ© que la piÃ¨ce soit sans dÃ©faut. (Donner la valeur exacte.)

\item Calculer la probabilitÃ© que la piÃ¨ce provienne de la machine A sachant qu'elle est sans dÃ©faut.

\end{enumerate}


\end{multicols}
%\subsection{}
%Des piÃ¨ces mÃ©caniques sont fabriquÃ©es en grande sÃ©rie sur une chaÃ®ne ; en estime que 99\:\% des piÃ¨ces sont bonnes.\\
%Sur chaque piÃ¨ce, on effectue un test de qualitÃ©.\\
%Lorsque la piÃ¨ce est bonne, le test, le confirme avec une probabilitÃ© de 0,995 et dÃ©clare donc qu'elle est mauvaise avec une probabilitÃ© de 0,005.\\
%Lorsque la piÃ¨ce est mauvaise, le test, le confirme avec une probabilitÃ© de 0,99 et dÃ©clare donc qu'elle est bonne avec une probabilitÃ© de 0,01.\\
%$T$ est l'Ã©vÃ¨nement \og{}le test indique que la piÃ¨ce est bonne\fg{}.
%
%\begin{enumerate}[1)]
%\item 
%
%\begin{enumerate}
%\item Calculer la probabilitÃ© de $T$.
%
%\item En dÃ©duire celle de l'Ã©vÃ¨nement $\overline{T}$.
%
%\end{enumerate}
%
%\item On dÃ©cide d'Ã©carter de la vente toute piÃ¨ce dont le test indique qu'elle est mauvaise.\\
%DÃ©terminer la probabilitÃ© pour qu'une piÃ¨ce Ã©cartÃ©e de la vente soit bonne.
%
%\item Calculer la probabilitÃ© pour qu'une piÃ¨ce mise Ã&nbsp; la vente, soit mauvaise.
%
%\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Un gardien de but doit faire face, lors d'une dÃ©monstration, Ã&nbsp; un certain nombre de tirs directs.\\
Les expÃ©riences prÃ©cÃ©dentes conduisent Ã&nbsp; penser que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item S'il a arrtÃªtÃ© le $n$-iÃ¨me tir, la probabilitÃ© pour qu'il arrÃªte le suivant, c'est-Ã&nbsp;-dire le $(n+1)$-iÃ¨me est 0,8.

\item S'il a  laissÃ© passer le $n$-iÃ¨me tir, la probabilitÃ© qu'il arrÃªte le suivant  est 0,6.

\item La probabilitÃ© pour qu'il arrÃªte le premier tir 0,7.
\end{enumerate}
$A_n$ est l'Ã©vÃ¨nement :  \og{}Le gardien de but arrÃªte le $n$-iÃ¨me tir\fg{}.\\
On a donc $p\left(A_1\right)=0,7$.

\begin{enumerate}[1)]
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner pour $n\geqslant 1$ les valeurs de $p_{A_n}\left(A_ {n+1}\right)$ et $p_{\overline{A_n}}\left(A_ {n+1}\right)$.

\item ComplÃ©ter l'arbre de probabilitÃ©s ci-dessous :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$A_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A_{n}}$}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{$A_{n+1}$}\taput{\ldots}
		  \TR{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{\ldots}}}
\end{center}

\item Exprimer $p\left(A_ {n+1} \cap A_n\right)$ et $p\left(A_ {n+1} \cap \overline{A_n}\right)$ en fonction de $p\left(A_n\right)$.

\item On note $p_n=p\left(A_n\right)$.\\
En dÃ©duire que pour tout  $n\geqslant 1$, \\
$p_{n+1}=0,2p_n+0,6$.
\end{enumerate}

\item On pose $p_n=p\left(A_n\right)$ et $u_n=p_n-0,75$.\\

\begin{enumerate}[a)]
\item DÃ©montrer quea$\left(u_n\right)$ est une suite gÃ©omÃ©trique de raison 0,2.

\item En dÃ©duire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.

\item Conjecturer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

\item InterprÃ©ter cette conjecture dans le cadre de l'exercice.


\end{enumerate}

\end{enumerate}


\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>