\documentclass[11pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,cancel,siunitx}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\usepackage{paralist}
\usepackage{tabto}
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 26cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité Première : devoir sur feuille \no 4}}\end{center}

%https://physique-et-maths.fr/enseignement/premiere_generale/mathematiques/trigonometrie/trigonometrie_exercices.pdf



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}



%\subsection{}
%Placer sur le cercle trigonométrique ci-dessous  les points représentatifs des réels suivants :$\dfrac{2\pi}{3}$~;~$-\dfrac{3\pi}{4}$~;~$\dfrac{17\pi}{6}$ et $\dfrac{5\pi}{2}$. (Justifier !)
%\begin{center}
%\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
%\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0](-2,-2)(2,2)
%\pscircle[linewidth=2pt](0,0){2}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\subsection{}
%Déterminer la mesure principale des angles suivants puis les placer sur le cercle trigonométrique :
%
%\NumTabs{4}
%\begin{inparaenum}[a)]
%%\item $f(x)=0$
%%\tab\item $f(x)=\dfrac{9}{8}$
%%\tab\item $f(x)=(x-2)$
%\item $\dfrac{23\pi}{4}$
%\tab\item $-\dfrac{20\pi}{3}$
%\tab\item $\dfrac{37\pi}{8}$
%\tab\item $-\dfrac{41\pi}{8}$
%
%\end{inparaenum}

%\begin{enumerate}[a)]
%\item $\dfrac{23\pi}{4}$
%
%\item $-\dfrac{20\pi}{3}$
%
%\item $\dfrac{37\pi}{8}$
%
%\item $-\dfrac{41\pi}{8}$
%\end{enumerate}
%\begin{center}
%\psset{xunit=1,yunit=1,comma=true,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(2.5,2.5)
%\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2)
%\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0](-2,-2)(2,2)
%\pscircle[linewidth=2pt](0,0){2}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\subsection{}
En utilisant les angles associés, simplifier les expressions suivantes :

\begin{enumerate}[$A=$]
\item $\sin\left(\pi+x\right)+\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)+\sin x-\sin(-x)$

\item $\cos\dfrac{\pi}{7}+\cos\dfrac{9\pi}{14}+\cos\dfrac{8\pi}{7}+\cos\dfrac{23\pi}{14}$

\end{enumerate}

\subsection{}%http://isa.gache.free.fr/1S/1S_1213_exosup_trigo.pdf
Résoudre les équations et inéquations suivantes sur les intervalles considérés. On pourra s'aider d'un cercle trigonométrique.

\begin{enumerate}[1)]
\item $\cos x=\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)$ sur $[0~;~3\pi]$

\item $\sin x=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sur $]-\pi~;~\pi]$

\item $\cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\dfrac{\pi}{5}$ sur $[0~;~4\pi]$

%\item $\cos x\geqslant -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ sur $]-\pi~;~\pi]$
%
%\item $\sin x\geqslant -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ sur $]-\pi~;~2\pi]$
%
%\item $2\cos^2 x+\cos x-1=0$ sur $]-\pi~;~\pi]$
\end{enumerate}

\subsection{}

\begin{enumerate}[1)]
\item Sachant que $\cos\left(\dfrac{9\pi}{5}\right)=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$, calculer $\sin\left(\dfrac{9\pi}{5}\right)$.

\item En déduire les valeurs de $\cos\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$ et de $\sin\left(\dfrac{\pi}{5}\right)$.
\end{enumerate}

\subsection{}
Résoudre l’équation ci-dessous dans $[0~;~2\pi]$ :
\[2 \cos^2 x = 1 + \cos x\]

\subsection{}
On a tracé ci-dessous la courbe $\mathscr{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$.
$\mathscr{C}_f$ passe par les points A(0~;~1) et B(-1~;~0).\\
$T$ est la tangente à $\mathscr{C}_f$ en A et passe par le point C(1~;~3).\\
On sait également que, pour tout $x$ réel, \[f(x)=\left(ax^2+bx+c\right)\mathrm{e}^{-x}\] où $a$, $b$, $c$ sont des nombres réels.
\begin{center}
\psset{unit=0.6,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-5,-1)(5,6)
\psaxes[linewidth=2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-5,-1)(5,6)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0](-5,-1)(5,6)
\psplot[linecolor=red,linewidth=2pt]{-1.58}{5}{(2*x^2+3*x+1)*EXP(-x)}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=3](0,1)(-1,0)(1,3)
\uput[r](0,1){A}
\uput[ul](-1,0){B}
\uput[u](1,3){C}
\uput[u](4,1){$\mathscr{C}_f$}
\uput[ul](0.6,2){$T$}
\psplotTangent[linewidth=2pt,linecolor=blue]{0}{2.5}{(2*x^2+3*x+1)*EXP(-x)}
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}[1)]
\item  Déterminer, pour tout $x$ réel, $f'(x)$.

\item Déterminer alors les valeurs de $a$, $b$ et $c$,  en justifiant.

\end{enumerate}

\subsection{}%https://blog.partiprof.fr/ressources/Devoir-exponentielle-1ere-spe-maths-PP-JTellier.pdf
Soit la fonction $g$, définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = 1 - x + \mathrm{e}^{x}$.
.
\begin{enumerate}[1)]

\item Déterminer l'expression de $g'(x)$.

\item En déduire les variations de $g$.

\item Déterminer l’extremum local de $g$ puis en déduire le signe de $g(x)$ selon les valeurs de $x$.\\

On définit maintenant la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ par \[f(x) =x + 1 + \dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}.\]

\item Démontrer que pour tout réel $x$, on a : $f'(x) = \mathrm{e}^{-x}g(x)$.


\item En déduire les variations de $f$.

\item Donner l’équation de la tangente$T$ à $\mathscr{C}_f$ au point d’abscisse 0.

\item Étudier la position relative de $\mathscr{C}_f$ et $T$.
\end{enumerate}


\subsection{}%https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/math1spe/Ctrle_devoir_23_24/07_ctrle_23_05_2024.pdf
%Corrigé : https://www.lyceedadultes.fr/sitepedagogique/documents/math/math1spe/Ctrle_devoir_23_24/07_ctrle_23_05_2024_correction.pdf
On donne la figure suivante avec OA$=16$, $OB=12$ et $BC=6$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.4,yunit=0.4,comma=true,algebraic=true}
\begin{pspicture}(-1,-1)(17,19)
%\pstGeonode[PosAngle={180,0,180,180}](0,0){O}(16,0){A}(0,18){C}(0,12){B}
\pstTriangle(0,0){O}(16,0){A}(0,12){B}
\pstTriangle[PointName=none](16,0){A}(0,18){C}(0,12){B}
\pstGeonode(0,18){C}
\pstMarkAngle[LabelSep=3.5,linecolor=red, arrows=->,fillcolor=red!30,fillstyle=solid,MarkAngleRadius=2]{C}{A}{B}{$\theta$}
\end{pspicture}

\end{center}

\begin{enumerate}[1)]
\item Justifier que $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=OA^2+OB\times OC$.

\item Calculer les valeurs exactes des longueurs $AB$ et $AC$.

\item Calculer les valeurs exactes de $\cos \theta$ puis donner une valeur approchée de $\theta$ en degré au dixième près.


\end{enumerate}
\end{multicols}





\label{fin}
\end{document}  