<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}

\begin{center}
\subsection*{\textcolor{red}{Fonction dÃ©rivÃ©e, dÃ©rivÃ©e globale}}
\end{center}

\tableofcontents

\subsection{\textcolor{red}{Taux de variation}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}

Soient $f$ une fonction dÃ©finie sur un intervalle $I$, et $a$ et $b$ deux nombres rÃ©els distincts appartenant Ã&nbsp; $1$.\\ 
On appelle taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$, le nombre $\dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}$.\\
Graphiquement, dans un repÃ¨re $(O~;~I~;~J)$,  si $A$ est le point de la courbe  reprÃ©sentative de $f$ d'abscisse $a$ et $B$ le point d'abscisse $b$, la droite (AB) sÃ©cante Ã&nbsp; la courbe reprÃ©sentative de $f$ a pour pente (ou coefficient  directeur) le taux de variation $\dfrac{f(b) - f(a)}{b-a}$.
\end{bclogo}

\bigskip

\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : $f(x)=x^3$.\\
Le taux de variation de $f$ entre 1 et 3 est $\dfrac{f(3)-f(1)}{3-1}=\dfrac{27-1}{2}=\boxed{\textcolor{red}{13}}$.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}
Si $f(x)=mx+p$ (fonction affine), la taux de variation de $f$ entre deux nombres distincts est $m$ (coefficient directeur)..
\end{bclogo}

\bigskip

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©}}

Soient $f$ une fonction dÃ©finie sur un intervalle $I$, et $a$ et $b$ deux nombres rÃ©els distincts appartenant Ã&nbsp; $1$. 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $f$ est croissante sur $I$, alors le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est positif.

\item Si $f$ est dÃ©croissante sur $I$, alors le taux de variation de $f$ entre $a$ et $b$ est nÃ©gatif. 
\end{enumerate}
\end{bclogo}


\textbf{Remarque} : les rÃ©ciproques sont fausses.

\subsection{\textcolor{red}{Nombre dÃ©rivÃ© d'une fonction en un point}}
\textbf{\textcolor{blue}{Exemple}} : \\
Soit $f$ la fonction carrÃ© : $f : x\mapsto x^2$.\\
Soit $A$ le point de $\mathscr{C}_f$ et $M$ le point de coordonnÃ©e $a+h$.\\
Le taux e variation de $f$ entre $A$ et $M$ est $\tau(h):\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}=\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}$.\\
$\tau(h)=\dfrac{a^2+2ah+h^2-a^2}{h}=\dfrac{2ah+h^2}{h}=\dfrac{\cancel{h}(2a)+h}{\cancel{h}}=2a+h$.\\
Lorsque $h$ tend vers 0, $2a+h$ tend vers $2a$.\\
On Ã©crit $\lim_{h\rightarrow 0}\tau(h)=\boxed{\textcolor{red}{2a}}$.\\
La tangente en $A(a)$ a pour coefficient directeur $2a$	.

Dans la suite du chapitre, $f$ est une fonction dÃ©finie sur un intervalle ouvert $D_{f}$ contenant $a$ et $\mathscr{C}_{f}$ est la courbe reprÃ©sentative de $f$ dans un repÃ¨re orthogonal.

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
$f$ est dÃ©rivable en $a$ lorsque, pour tout $h\neq 0$, le nombre $\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite finie $\ell$ quand $h$ tend vers 0.\\
$\ell$ est appelÃ© \textcolor{red}{\textbf{nombre dÃ©rivÃ© de $\mathbf{f}$ en $\mathbf{a}$}} ; on le note $f'(a)$.\\
On Ã©crit alors : $f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ ou $f'(a)=\lim_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ en posant $x=a+h$.\\
$f'(a)$ est alors le coefficient directeur de la tangente Ã&nbsp; $\mathscr{C}_{f}$ en $a$.
\end{bclogo}



\subsection{\textcolor{red}{Fonction dÃ©rivÃ©e}}

\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Soit $I$ un intervalle inclus dans $\mathscr{D}_{f}$.\\
On dit que la fonction $f$ est dÃ©rivable sur $I$ lorsqu'elle est dÃ©rivable en tout $a$ de $I$\\
Si $f$ est dÃ©rivable sur $I$, on appelle \textbf{\textcolor{red}{fonction dÃ©rivÃ©e}} de $f$ la fonction, notÃ©e $f'$, dÃ©finie sur $I$ par : \[f':x\mapsto f'(x).\]
\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : $f'$ associe Ã&nbsp; chaque valeur de $x$ le coefficient directeur de la tangente Ã&nbsp; la courbe au point d'abscisses $x$.

\end{bclogo}

\newpage


\subsection{\textcolor{red}{DÃ©rivÃ©e de fonctions usuelles}}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{longtable}{|*4{l|}}
\hline
\rowcolor{red!30}\textbf{Fonction f}&amp;\textbf{dÃ©finie sur}&amp;\textbf{Fonction dÃ©rivÃ©e f'}&amp;\text{\textbf{dÃ©rivable sur}}\endfirsthead
\hline
\rowcolor{red!30}\textbf{Fonction f}&amp;\textbf{dÃ©finie sur}&amp;\textbf{Fonction dÃ©rivÃ©e f'}&amp;\text{\textbf{dÃ©rivable sur}}\endhead
\hline

$f(x)=k$&amp;dÃ©finie sur$\mathbb{R}$&amp;$f'(x)=0$&amp;sur $\mathbb{R}$\\
\hline
$f(x)=ax+b$&amp;dÃ©finie sur $\mathbb{R}$&amp;$f'(x)=a$&amp;sur $\mathbb{R}$\\
\hline
$f(x)=x^n$&amp;dÃ©finie sur $\mathbb{R}$~;~$n\in\mathbb{N}$($n&gt;1$)&amp;$f'(x)=nx^{n-1}$&amp;sur $\mathbb{R}$\\
\hline
$f(x)=\sqrt{x}$&amp;dÃ©finie sur $[0~;~+\infty[$&amp;$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$&amp;sur $]0~;~+\infty[$\\
\hline
$f(x)=\dfrac{1}{x}$&amp;dÃ©finie sur $\mathbb{R}^*$&amp;$f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$&amp; sur $\mathbb{R}^*$\\
\hline
$f(x)=\dfrac{1}{x^n}$&amp;dÃ©finie sur $\mathbb{R}^*$~;~$n\in\mathbb{N}$~;~$n&gt;1$&amp;$f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$&amp;sur $\mathbb{R}^{*}$\\
\hline
$f(x)=\cos(x)$&amp;dÃ©finie sur $\mathbb{R}$&amp;$f'(x)=-\sin(x)$&amp;sur $\mathbb{R}$\\
\hline
$f(x)=\sin(x)$&amp;dÃ©finie sur $\mathbb{R}$&amp;$f'(x)=\cos(x)$&amp;sur $\mathbb{R}$\\
\hline
\end{longtable}
\end{center}

\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=5$ ; $f(x)=k$ avec $k=5$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=0}}$ sur $\mathbb{R}$.

\item $f(x)=3x+5$ ; $f(x)=ax+b$ avec $\begin{cases}a=3\\b=5\end{cases}$ donc $f'(x)=a$ d'oÃ¹ $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=3}}$ sur $\mathbb{R}$

\item $f(x)=x^8$ ; $f(x)=x^n$ avec $n=8$ donc $f'(x)=nx^{n-1}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=8x^7}}$.

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^9}$ ; $f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ avec $n=9$ donc $f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$ d'oÃ¹ $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=-\dfrac{9}{x^{10}}}}$ sur $\mathbb{R}^*$
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{red}{OpÃ©rations algÃ©briques sur les fonctions dÃ©rivÃ©es :}}
$u$ et $v$ sont des fonctions dÃ©rivables sur un mÃªme intervalle $I$. Alors : 

\begin{minipage}{15cm}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{PropriÃ©tÃ©s}}
\begin{enumerate}
\item Pour $k$ rÃ©el, $ku$ est dÃ©rivable et : $(ku)'=ku'$~;~$(ku)'(x)=ku'(x)$.

\item $u+v$ est dÃ©rivable sur $I$ et : $(u+v)'=u'+v'$~;~$(u+v)'(x)=u'(x)+v'(x)$.

\item $uv$ est dÃ©rivable et $(uv)'=u'v+uv'$~;~$(uv)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

\item $\left(\dfrac{1}{v}\right)$ est dÃ©rivable ; $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^2}$ ; $\left(\dfrac{1}{v}\right)'(x)=-\dfrac{1}{v^2(x)}$

\item $\dfrac{u}{v}$ est dÃ©rivable et $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\end{minipage}

\newpage


\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstrations (hors programme) :}}\\

\begin{enumerate}
\item $\dfrac{(ku)(a+h)-(ku)(a)}{h}=\dfrac{ku(a+h)-ku(a)}{h}=k\times \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}$.\\
Comme $u$ est dÃ©rivable en $a$, $\lim_{h\rightarrow 0}\left(\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\right)=u'(a)$ d'oÃ¹ $\lim_{h\rightarrow 0}\left(\dfrac{(ku)(a+h)-(ku)(a)}{h}\right)=k\times u'(a)$.

\item Soit $a$ un rÃ©el fixÃ© dans $I$. $u$ et $v$ sont dÃ©rivables en $a$.\\
Il faut Ã©tudier la limite quand $h$ tend vers 0 de la quantitÃ© : $\dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}$.\\
$\dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)+v(a+h)-u(a)-v(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}+\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}$.\\
La premiÃ¨re fraction tend vers $u'(a)$ et la seconde vers $v'(a)$ donc par somme :\\
$\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{(u+v)(a+h)-(u+v)(a)}{h}=u'(a)+v'(a)$.




\item Il s'agit d'Ã©tudier $\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}$.\\
\textbf{\textcolor{red}{On utilise une astuce de calcul}} : \\
$(uv)(a+h)-(uv)(a)=u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)\\
=u(a+h)v(a+h)-\textcolor{red}{u(a)v(a+h)}+\textcolor{red}{u(a)v(a+h)}+u(a)v(a)$.

\bigskip

On en dÃ©duit : \\
$\dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}=\dfrac{u(a+h)v(a+h)-\textcolor{red}{u(a)v(a+h)}+\textcolor{red}{u(a)v(a+h)}+u(a)v(a)}{h}\\
=\dfrac{[u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)]+[u(a)v(a+h)+u(a)v(a)]}{h}\\
=\dfrac{[u(a+h)-u(a)]v(a+h)+u(a)[v(a+h)-v(a)]}{h}\\
=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}\times v(a+h)+u(a)\times \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}$.\\
On admet que  $\lim_{h\rightarrow 0}v(a+h)=v(a)$.\\
Puisque $u$ est dÃ©rivable en $a$, $\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$.\\
Puisque $v$ est dÃ©rivable en $a$, $\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}=v'(a)$.\\
D'oÃ¹ : $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{(uv)(a+h)-(uv)(a)}{h}=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)}}$.

\item Montrons que $\dfrac{1}{v}$ est dÃ©rivable en $a$ :\\
$\dfrac{\left(\dfrac{1}{v}\right)(a+h)-\left(\dfrac{1}{v}\right)(a)}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{v(a+h)}-\dfrac{1}{v(a)}}{h}=\dfrac{\dfrac{v(a)-v(a+h)}{v(a)v(a+h)}}{h}=\dfrac{v(a)-v(a+h)}{hv(a)v(a+h)}\\
=-\dfrac{1}{v(a)v(a+h)}\times \dfrac{v(a+h)-v(a)}{h}$ d'oÃ¹ : $\boxed{\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\left(\dfrac{1}{v}\right)(a+h)-\left(\dfrac{1}{v}\right)(a)}{h}=-\dfrac{v'(a)}{v^2(a)}}$

\item Pour montrer que $\dfrac{u}{v}$ est dÃ©rivable, on Ã©crit $\dfrac{u}{v}=u\times \dfrac{1}{v}$ ; on a vu que $\dfrac{1}{v}$ Ã©tait dÃ©rivable et que le produit de deux fonctions dÃ©rivables l'est Ã©galement.\\
On utilise alors la formule donnant la dÃ©rivÃ©e du produit.
\end{enumerate}

\newpage


\textbf{\textcolor{red}{Exemples :}}

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=3x^7$ ; $f=ku$ avec $k=3$ et $u(x)=x^n$ avec $n=7$.\\
$f'=(ku)'=ku'$ avec $u'(x)=7x^6$ donc $f'(x)=3\times 7x^6=\boxed{\textcolor{red}{21x^6}}$.

\item $f(x)=x^2+x$ ; $f=u+v$ avec $u(x)=x^2$ et $v(x)=x$.\\
$f'=u'+v'$ avec $u'(x)=2x$ et $v'(x)=1$ donc $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=2x+1}}$

\item $f(x)=\dfrac{1}{x^2+x+1}$ sur $\mathbb{R}$ ; $f=\dfrac{1}{u}$ avec $u(x)=x^2+x+1$.\\
$f'=\left(\dfrac{1}{u}\right)'=-\dfrac{u'}{u^2}$ avec $u'(x)=2x+1$.\\
On en dÃ©duit : $\boxed{\textcolor{red}{f'(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+x+1}}}$.

\item $f(x)=(2x+3)\sqrt{x}$ sur $]0~;~+\infty[$.\\
$f=uv$ avec $\begin{cases}u(x)=2x+3\\v(x)=\sqrt{x}\end{cases}$.\\
$f'=u'v+uv'$ avec $\begin{cases}u'(x)=2\\v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\end{cases}$.\\
Donc $f'(x)=2\sqrt{x}+(2x+3)\times \dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{2\sqrt{x}\times 2\sqrt{x}+(2x+3)}{2\sqrt{x}}=\dfrac{4x+2x+3}{2\sqrt{x}}=\dfrac{6x+3}{2\sqrt{x}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3(2x+1)}{2\sqrt{x}}}}$

\item $f(x)=\dfrac{2x+3}{5x+7}$ sur $\mathscr{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac{7}{5}\right\}$.\\
$f=\dfrac{u}{v}$ avec $\begin{cases}u(x)=2x+3\\v(x)=5x+7\end{cases}$.\\
$f=\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ avec $\begin{cases}u'(x)2\\v'(x)=5\end{cases}$.\\
Alors : $f'(x)\dfrac{2(5x+7)-5(2x+3)}{(5x+7)^2}=\dfrac{10x+14-10x-15}{(5x+7)^2}=\boxed{\textcolor{red}{-\dfrac{1}{(5x+7)^2}}}$
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{red}{DÃ©rivÃ©e de la fonction $gx\mapsto f(ax+b) $ :}}

\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me admis}}
Soit $f$ une fonction dÃ©rivable et soit $a\in\mathbb{R}$.
Alors : $g$ est dÃ©rivable  : $\boxed{\textcolor{red}{g'(x)=a\times f'(ax+b)}}$.
\end{bclogo}
\vspace{1cm}
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples} :}
\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=\sin(2x+3)=\sin(ax+b)$ avec $a=2$ et $b=3$.\\
Onen dÃ©duit : $f'(x)=a \sin'(ax+b)$ d'oÃ¹ $f'(x)=2\cos(2x+3)$.

\newpage


\item Calculer $f'(x)$ avec $f(x)=\sqrt{5x+7}$ pour $x&gt;-\dfrac{7}{5}$.\\
$f(x)=\sqrt{ax+b}$ avec $a=5$ et $b=7$.\\
$f'(x)=5\times \dfrac{1}{2\sqrt{5x+7}}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{2\sqrt{5x+7}}}}$

\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{red}{Ã‰tude des variations d'une fonction}}
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me}}
Soit $f$ une fonction dÃ©rivable sur un intervalle $I$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $f$ est croissante sur $I$, alors $f'(x)\geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$.

\item Si $f$ est dÃ©croissante sur $I$, alors $f'(x)\leqslant  0$ pour tout $x$ de $I$.

\item Si $f$ est constante sur $I$, alors $f'(x)= 0$ pour tout $x$ de $I$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{red}{DÃ©monstration}} :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Soit $f$dÃ©rivable et croissante sur $I$. Soit $x_{0}\in I$.\\
Par hypothÃ¨se, pour tous $a$ et $b$ tels que $a&lt;b$, alors $f(a)&lt;f(b)$ donc $f(a)-f(b)&lt;0$.\\
Soit $h\neq 0$ tel que $x_{0}+h\in I$.\\
$\tau_{x_{0}}(h)=\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$ ; or ce nombre est positif et on sait qu'il a une limite quand $h$ tend vers 0 : \\
$\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=f'(x_{0})$ ; par consÃ©quent, $f'(x_{0})\geqslant 0$.

\item Les deux autres cas se dÃ©montrent de la mÃªme fa\c con.
\end{enumerate}




\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me admis}}
Il s'agit de la rÃ©ciproque du thÃ©orÃ¨me prÃ©cÃ©dent : \\
Soit $f$ une fonction dÃ©rivable sur un intervalle ouvert $I$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $f'$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.

\item Si $f'$ est strictement positive sur $I$, sauf Ã©ventuellement en quelques points isolÃ©s oÃ¹ elle s'annule ;\\
$f$ est croissante sur $I$.

\item Si $f'$ est strictement nÃ©gative sur $I$, sauf Ã©ventuellement en quelques points isolÃ©s oÃ¹ elle s'annule ;\\
$f$ est dÃ©croissante sur $I$.
\end{enumerate}
\end{bclogo}
\textbf{\textcolor{blue}{Exemples :}}\\

\begin{enumerate}[a)]
\item $f(x)=ax+b$ ; $f'(x)=a$ donc $f$ est croissante si, et seulement si,  $a&gt;0$ et $f$ est dÃ©croissante si, et seulement si, $a&lt;0$

\item $f(x)=ax^2+bx+x$ ($a\neq 0)$.\\
$f'(x)=2ax+b$.\\
$f'(x)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{b}{2a}$.
On a deux cas :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $a&gt;0$ ; $f'(x)&lt;0\Leftrightarrow x&lt;-\dfrac{b}{2a}$.

\newpage


\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;-\dfrac{b}{2a}&amp;&amp;\pI\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\\
\hline
\m{f(x)}&amp;\h{\pI}&amp;\d&amp;f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)&amp;\c&amp;\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}


\item $a&lt;0$ ; $f'(x)&lt;0\Leftrightarrow x&gt;-\dfrac{b}{2a}$.\\
\textbf{\textcolor{blue}{Tableau de variation :}}
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;-\dfrac{b}{2a}&amp;&amp;\pI\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;\\
\hline
\m{f(x)}&amp;\mI&amp;\c&amp;\h{f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)}&amp;\d&amp;\mI\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}

\item $f(x)=x^3$\\
$f(x)=3x^2\geqslant 0$ sur $\mathbb{R}$ donc $f$ est croissante.

\item $f(x)=2x^3-12x^2-126x$.\\
$f'(x)=6x^2-24x-126=6\left(x^2-4x-21\right)$.\\
$f'(x)$ est du signe de $x^2-4x-21$.\\
$\Delta=(-4)^2-4\times 1\times (-21)=16+84=100&gt;0$.\\
Il y a deux racines : $x_1=\dfrac{4-10}{2}=-3$ et $x_2=\dfrac{4+10}{2}=7$.\\
$x^2-4x-21$ est su signe du coefficient de $x^2$, 1, positif, Ã&nbsp; l'extÃ©rieur de l'intervalle formÃ© par les racines (et nÃ©gatif entre les racines).
Tableau de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;\mI&amp;&amp;-3&amp;&amp;8&amp;&amp;\pI\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\\
\hline
\m{f(x)}&amp;\mI&amp;\c&amp;\h{216}&amp;\d&amp;-784&amp;\c&amp;\h{\pI}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item Soit $f$ la fonction dÃ©finie sur $[-3~;~3]$ par $f(x)=\dfrac{2}{3}x^3-\dfrac{3}{2}x^2-2x+1$.\\
Ã‰tudions les variations de $f$ :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $f'(x)=\dfrac{2}{3}\times 3x^2-\dfrac{3}{2}\times 2x-2=\boxed{\textcolor{red}{2x^2-3x-2}}$.

\item Signe de $f'(x)$ :\\
$f'(x)$ est un trinÃ´me du second degrÃ©.\\
$\Delta=(-3)^2-4\times 2\times (-2)=9+16=25&gt;0$.\\
Il y a donc deux racines :\\
$x_1=\dfrac{3-\sqrt{25}}{2\times 2}=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac{1}{2}$ et $x_2=\dfrac{3+5}{4}=2$.

\item $f'(x)$ est du signe du coefficient de $x^2$, 2, positif, Ã&nbsp; l'extÃ©rieur de l'intervalle formÃ© par les racines est nÃ©gatif entre les racines.

\item Tableau de signes et de variation :
\begin{center}
\begin{variations}
x&amp;-3&amp;&amp;-\dfrac{1}{2}&amp;&amp;2&amp;&amp;3\\
\hline
f'(x)&amp;&amp;+&amp;\z&amp;-&amp;\z&amp;+&amp;\\
\hline
\m{f(x)}&amp;-\dfrac{49}{2}&amp;\c&amp;\h{\dfrac{37}{24}}&amp;\d&amp;-\dfrac{11}{3}&amp;\c&amp;\h{-\dfrac{1}{2}}\\
\hline
\end{variations}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{red}{Extremum local d'une fonction :}}
\begin{bclogo}[couleur = yellow!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{DÃ©finition}}
Soit $f$ une fonction dÃ©finie sur un intervalle $I$ et soit $x_{0}\in I$.\\
$f$ admet un maximum local (respectivement minimum) $M$ en $x_{0}$ s'il existe un intervalle $J$ inclus dans $I$ contenant $x_{0}$ tel que $M$ soit le maximum (respectivement minimum) de $f$.
\end{bclogo}

\bigskip
\begin{bclogo}[couleur = cyan!30, arrondi = 0.1,logo=\bcbook]{\textcolor{red}{ThÃ©orÃ¨me (admis)}}
Soit $f$ une fonction dÃ©rivable sur $I$ et soit $x_{0}\in I$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Si $f$ admet un extremum local en $x_{0}$, alors $f'(x_{0})=0$.

\item Si $f'(x_{0})=0$ \textbf{en changeant de signe}, alors $f$ admet un extremum local en $x_{0}$
\end{enumerate}
\end{bclogo}

\textbf{\textcolor{blue}{Remarque}} : la condition $f'(x_{0})=0$ ne suffit pas : exemple : $f(x)=x^3$ en 0.

\subsection{\textcolor{red}{Plan d'Ã©tude d'une fonction $f$}}

\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item On cherche l'ensemble de dÃ©finition de $f$.

\item On dÃ©termine l'ensemble sur lequel $f$ est dÃ©rivable.

\item On rÃ©sout l'Ã©quation $f'(x)=0$.

\item On Ã©tudie soigneusement le signe de $f'(x)$.

\item On consigne les rÃ©sultats dans un tableau regroupant le signe de $f'(x)$ et les variations de $f$.
\end{enumerate}

\label{fin}
\end{document}
</pre></body></html>