<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{SpÃ©cialitÃ© : correction du contrÃ´le sur les probabilitÃ©s }}\end{center}




\subsection{\textcolor{blue}{(1,5 points)}}
$A$ et $B$ sont deux Ã©vÃ©nements liÃ©s Ã&nbsp; une expÃ©rience alÃ©atoire.\\
On sait que $p_A(B)=0,2$ et $p(A)=0,3$.\\
%Calculer $p(A \cap B)$.
$p(A \cap B)=p_A(B)\times p(A)=0,2\times 0,3=\boxed{\textcolor{red}{0,06}}$

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
$A$ et $B$ sont deux Ã©vÃ©nements d'une mÃªme expÃ©rience alÃ©atoire tels que $p(A)=0,3$, $p(B)=0,7$ et \\
$p(A \cap B)=0,2$
\begin{enumerate}
\item %$A$ et $B$ sont-ils indÃ©pendants ?
$p(A)\times p(B)=0,3\times 0,7=0,21\neq 0,2$ donc $p(A)\times p(B)\neq p(A \cap B)$ : $A$ et $B$ ne sont pas indÃ©pendants.

\item %Calculer $p_A(B)$.
$p_A(B)=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)}=\dfrac{0,2}{0,3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{2}{3}}}$
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(2 points)}}
Soient $A$ et $B$ deux Ã©vÃ©nements tels que \\
p(A) = 0,15, $p(B) = 0,6$ et $p(A \cup B)= 0,66$.
\begin{enumerate}[1)]
\item %Calculer $p(A \cap B)$.\\
$p(A \cap B)=p(A)+p(B)-p(A \cup B)=0,15+0,6-0,66=0,09$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p(A \cap B)=0,09}}.$

\item 
%En dÃ©duire que que $A$ et $B$ sont indÃ©pendants.
$p(A)\times p(B)=0,15\times 0,6=0,09$.\\
Donc $p(A \cap B)=p(A)\times p(B)$.\\
$A$ et $B$ \textbf{\textcolor{red}{sont indÃ©pendants}}.
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
$A$ et $B$ sont deux Ã©vÃ¨nements d'une mÃªme expÃ©rience alÃ©atoire.\\
Dans chacun des cas suivants, calculer $p(A)$.\\
On rappelle que $A=(A \cap B) \cup \left(A \cap \overline{B}\right)$.

\begin{enumerate}
\item %$p(A \cap B)=\dfrac{1}{3}$ et $p\left(A \cap \overline{B}\right) =\dfrac{1}{4}$.
$p(A)=p(A \cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4+3}{12}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{7}{12}}}$

\item $p_B(A)=\dfrac{1}{2}$, $p_{\overline{B}}(A)= \dfrac{1}{6}$ et $p(B)=\dfrac{2}{5}$.\\
%\textbf{\textcolor{red}{Indication}} : on commencera par calculer \\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(A \cap B)=p_B(A)\times p(B)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{2}{5}=\dfrac{1}{5}$ : $\boxed{\textcolor{red}{p(A \cap B)=\dfrac{1}{5}}}$

\item $p\left(A \cap \overline{B}\right)=p_{\overline{B}}(A)\times p\left(\overline{B}\right)=\dfrac{1}{6}\times \left(1-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{1}{6}\times \dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{10}$ donc $p(A \cap \overline{B})=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{10}}}$

\item Alors : $p(A)=p(A \cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{10}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{10}}}$
\end{enumerate}

\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(3 points)}}
Un circuit Ã©lectronique est composÃ© de deux composants identiques numÃ©rotÃ©s 1 et 2.
On note $D_1$ l'Ã©vÃ¨nement \og le composant 1 est dÃ©faillant avant un an \fg{} et on note $D_2$ l'Ã©vÃ¨nement \og le composant 2 est dÃ©faillant avant un an \fg.

On suppose que les deux Ã©vÃ¨nements $D_1$ et $D_2$ sont indÃ©pendants et que $P\left(D_1\right) = P\left(D_2\right) = 0,39$.

Deux montages possibles sont envisagÃ©s, prÃ©sentÃ©s ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(10,3.4)
%\psgrid
\psline(0,2)(1,2)(1,2.75)(1.5,2.75)\psframe(1.5,2.25)(3,3.25)\psline(3,2.75)(3.5,2.75)(3.5,2)(4.5,2)
\psline(0,2)(1,2)(1,1.25)(1.5,1.25)\psframe(1.5,0.75)(3,1.75)\psline(3,1.25)(3.5,1.25)(3.5,2)
\rput(2.25,2.75){1} \rput(2.25,1.25){2}
\rput(2.5,0.2){Circuit en parallÃ¨le A} \rput(7.5,0.2){ Circuit en sÃ©rie B}
\psline(5,2)(6,2)\psframe(6,1.5)(7.5,2.5)\psline(7.5,2)(8.5,2)\psframe(8.5,1.5)(10,2.5)
\rput(6.75,2){1}\rput(9.25,2){2}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Lorsque les deux composants sont montÃ©s \og en parallÃ¨le \fg, le circuit A est dÃ©faillant
%uniquement si les deux composants sont dÃ©faillants en mÃªme temps. Calculer la probabilitÃ©
%que le circuit A soit dÃ©faillant avant un an.
Les Ã©vÃ¨nements $D_1$ et $D_2$ sont indÃ©pendants, donc :

$P\left(\text{\og{}A dÃ©faillant\fg{}}\right)=P\left(D_1 \cap D_2 \right) = P\left(D_1\right) \times P\left(D_2 \right)  = 0,39 \times 0,39 = \boxed{\textcolor{red}{\np{0,1521}}}$.

\item %Lorsque les deux composants sont montÃ©s \og en sÃ©rie \fg, le circuit B est dÃ©faillant dÃ¨s que l'unau moins des deux composants est dÃ©faillant. Calculer la probabilitÃ© que le circuit B soit
%dÃ©faillant avant un an.
Ici la probabilitÃ© est Ã©gale Ã&nbsp; :

$P\left(\text{\og{}A dÃ©faillant\fg{}}\right)=P\left(D_1 \cup D_2 \right) =  P\left(D_1\right) + P\left(D_2\right) - P\left(D_1 \cap D_2 \right) = 0,39 + 0,39 - \np{0,1521} = \boxed{\textcolor{red}{\np{0,6279}}}$.

\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{(3,5 points)}}
Une entreprise dispose de deux machines, appelÃ©es machine A et machine B pour fabriquer le mÃªme type de piÃ¨ces.\\
Certaines des piÃ¨ces produites sont dÃ©fectueuses.\\
Pour la machine $A$, la probabilitÃ© d'obtenir une piÃ¨ce sans dÃ©faut est 0,9.\\
Pour la machine $B$, cette probabilitÃ© 0,95.\\
La machine a fourni les deux tiers de la production, la machine B le tiers restant.\\
On choisit une piÃ¨ce au hasard, et on considÃ¨re les Ã©vÃ¨nements :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item  $A$ : \og{}la piÃ¨ce provient de la machine $A$\fg{}.

\item $B$ : \og{}la piÃ¨ce provient de la machine $B$\fg{}.

\item $S$ : \og{}La piÃ¨ce est sans dÃ©faut\fg{}.

\end{enumerate}

\begin{enumerate}[1)]
\item Arbre :%Construire un arbre de probabilitÃ©0pour reprÃ©senter cette expÃ©rience alÃ©atoire.
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=15mm}
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A$}\taput{$\dfrac{2}{3}$}}
	  { 
		  \TR{$S$}\taput{0,9}
		  \TR{$\overline{S}$}\tbput{0,1}	   
	  }
	\pstree{\TR{$B$}\tbput{$\dfrac{1}{3}$}}
	  {
		  \TR{$S$}\taput{0,95}
		  \TR{$\overline{S}$}\tbput{0,05}		  
	  }
}
\end{center}


\item %Calculer $p(S \cap A)$ et $p(S \cap B)$.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(S \cap A)=p_A(S)\times p(A)=0,9\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{9}{10}\times \dfrac{2}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{3}{5}}}$

\item $p(S \cap B)=p_B(S)\times p(B)=0,95\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{95}{100}\times \dfrac{1}{3}=\dfrac{19}{20}\times \dfrac{1}{3}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{19}{60}}}$
\end{enumerate}

%En dÃ©duire la probabilitÃ© que la piÃ¨ce soit sans dÃ©faut. (Donner la valeur exacte.)
La probabilitÃ© que la piÃ¨ce soit sans dÃ©faut est : \\
$p(S)=p\left(A \cap S\right)+p(B \cap S)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{19}{60}=\dfrac{36+19}{60}=\dfrac{55}{60}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{11}{12}}}$

\item %Calculer la probabilitÃ© que la piÃ¨ce provienne de la machine A sachant qu'elle est sans dÃ©faut.
La probabilitÃ© que la piÃ¨ce provienne de la machine A sachant qu'elle est sans dÃ©faut est :\\
$p_S(A)=\dfrac{p(A \cap S)}{p(S)}=\dfrac{\frac35}{\frac{11}{12}}=\dfrac{3}{5}\times \dfrac{12}{11}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{36}{55}}}$

\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{(5 points)}}
Un gardien de but doit faire face, lors d'une dÃ©monstration, Ã&nbsp; un certain nombre de tirs directs.\\
Les expÃ©riences prÃ©cÃ©dentes conduisent Ã&nbsp; penser que :
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item S'il a arrtÃªtÃ© le $n$-iÃ¨me tir, la probabilitÃ© pour qu'il arrÃªte le suivant, c'est-Ã&nbsp;-dire le $(n+1)$-iÃ¨me est 0,8.

\item S'il a  laissÃ© passer le $n$-iÃ¨me tir, la probabilitÃ© qu'il arrÃªte le suivant  est 0,6.

\item La probabilitÃ© pour qu'il arrÃªte le premier titre 0,7.
\end{enumerate}
$A_n$ est l'Ã©vÃ¨nement :  \og{}Le gardien de but arrÃªte le $n$-iÃ¨me tir\fg{}.\\
On a donc $p\left(A_1\right)=0,7$.



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\begin{enumerate}[1)]
\item 
\begin{enumerate}
\item %Donner pour $n\geqslant 1$ les valeurs de $p_{A_n}\left(A_ {n+1}\right)$ et $p_{\overline{A_n}}\left(A_ {n+1}\right)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p_{A_n}\left(A_ {n+1}\right)=0,8$

\item $p_{\overline{A_n}}\left(A_ {n+1}\right)=0,6$
\end{enumerate}

\item ComplÃ©ter l'arbre de probabilitÃ©s ci-dessous :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=25mm,treesep=10mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$A_{n}$}\taput{$p_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$A_{n+1}$}\taput{0,8}
		  \TR{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{0,2}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{A_{n}}$}\tbput{$1-p_n$}}
	  {
		  \TR{$A_{n+1}$}\taput{0,6}
		  \TR{$\overline{A_{n+1}}$}\tbput{0,4}}}
\end{center}

\item %Exprimer $p\left(A_ {n+1} \cap A_n\right)$ et $p\left(A_ {n+1} \cap \overline{A_n}\right)$ en fonction de $p\left(A_n\right)$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p\left(A_ {n+1} \cap A_n\right)=0,8p_n$

\item $p\left(A_ {n+1} \cap \overline{A_n}\right)=0,6\left(1-p_n\right)$
\end{enumerate}

\item On note $p_n=p\left(A_n\right)$.\\
%En dÃ©duire que pour tout  $n\geqslant 1$, \\
%$p_{n+1}=0,3p_n+0,6$.

\columnbreak
Pour tout $n$, $p_{n+1}=p\left(A_{n+1}\right)\\
=0,8p_n+0,6\left(1-p_n\right)=\boxed{\textcolor{red}{0,2p_n+0,6}}$
\end{enumerate}

\item On pose $p_n=p\left(A_n\right)$ et $u_n=p_n-0,75$.\\

\begin{enumerate}
\item %DÃ©montrer que $\left(u_n\right)$ est une suite gÃ©omÃ©trique de raison 0,2.
Pour tout $n$ : $u_{n+1}=p_{n+1}-0,75\\
=0,2p_n+0,6-0,75=0,2p_n-0,15\\
=0,2\left(p_n-0,75\right)=\boxed{\textcolor{red}{0,2u_n}}$.\\
$u_{n+1}=0,2u_n$.\\
La suite $\left(u_n\right)$ est gÃ©omÃ©trique, de raison $q=0,2$ et de premier terme \\
$u_1=p_1-0,75=0,7-0,75=-0,05$.

\item %En dÃ©duire une expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.
Pour tout $n$ : $u_n=u_1\times q^{n-1}=-0,05\times 0,2^{n-1}$.\\
Alors : $p_n=u_n+0,75$ donc \[\boxed{\textcolor{red}{p_n=0,75-0,05\times 0,2^{n-1}}}.\]

\item %Conjecturer la limite de $p_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
On conjecture que $\lim_{n\rightarrow +\infty}0,5^{n-1}=0$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=0,75}}$.

\item %InterprÃ©ter cette conjecture dans le cadre de l'exercice.
Sur une longue sÃ©rie de tirs directs, la probabilitÃ© qu'il arrÃªte un tir se stabilise Ã&nbsp; 0,75, soit $75\:\%$.


\end{enumerate}

\end{enumerate}



\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}  </pre></body></html>