\documentclass[12pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
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\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{Exercice \Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{ Spécialité première : correction du devoir sur feuille \no 3}}\end{center}


\subsection{}%http://cm.maths-lfb.fr/index.php?page=1s-ds-19-20
%Une société produit des bactéries pour l'industrie.\par
%En laboratoire, il a été mesuré que, dans un milieu nutritif approprié, la masse de ces bactéries,
%mesurée en grammes, augmente de 20\,\% en un jour.\\
%La société met en place le dispositif industriel suivant : dans une cuve de milieu nutritif, on introduit initialement
%1~\si{\kilo\gram} de bactéries. Ensuite, chaque jour, à  heure fixe, on remplace le milieu nutritif contenu dans la cuve. 
%Durant cette opération, 100~\si{\gram} de bactéries sont perdus.\\
%L'entreprise se fixe pour objectif de produire 30~\si{\kilo\gram} de bactéries.\\
%
%On modélise l'évolution de la population de bactéries dans la cuve par la suite $(u_n)$ définie ainsi :\\
%$u_0=\np{1000}$ et, pour tout entier naturel $n$,\\
%$u_{n+1}=1,2 u_n - 100$.


\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
      \item %Expliquer en quoi ce modèle correspond à  la situation de l'énoncé.\\
%	    On précisera en particulier ce que représente $u_n$.
Pratiquer une augmentation de 20\:\% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur $C=1+\dfrac{20}{100}=1,2$\\
Chaque jour, on perd 100 \si{\gram} donc $\boxed{\textcolor{red}{u_ {n+1}1,2u_n-100}}$

\item %Calculer $u_1$ et $u_2$ : la suite est-elle arithmétique ? géométrique ?
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $u_1=1,2\times \numprint{1000}-100=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1100}}}$

\item $u_2=1,2u_1-100=\boxed{\textcolor{red}{\numprint{1220}}}$

\item $u_1-u_0=100$ et $u_2-u_1=120\neq u°_1-u_0$ donc $\left(u_n\right)$ n'est pas arithmétique.

\item $\dfrac{u_2}{u_1}=\dfrac{61}{55}$ et $\dfrac{u_1}{u_0}=\dfrac{\numprint{1100}}{\numprint{1000}}=\dfrac{11}{10}\neq \dfrac{u_2}{u_1}$ donc $\left(u_n\right)$ n'est pas géométrique.
\end{enumerate}
\vspace{0.2cm}

      \item %L'entreprise souhaite savoir au bout de combien de jours la masse de bactéries dépassera 30~kg.\\
%	    \`A l'aide de la calculatrice, donner la réponse à  ce problème.
À la calculatrice, on trouve $u_ {22}<\numprint{30000}$ et $u_ {23}>\numprint{30000}$.\\
La masse dépassera 30 \si{\kilo\gram} au bout de 23 jours.

      \item Compléter l'algorithme suivant pour qu'il réponde au problème posé dans la question précédente.

\footnotesize
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
\textbf{Variables} & $u$ et $n$ sont des nombres\\
\hline
 & \\[-5pt]
 & $u$ prend la valeur \np{1000}\\
 & $n$ prend la valeur 0\\
\textbf{Traitement \hspace*{0.3cm}} & Tant que $\textcolor{red}{u<\numprint{30000}}$ faire\\
 & \hspace*{0.3cm} $u$ prend la valeur $\textcolor{red}{1,2u-100}$  \hspace*{0.3cm}\\
 & \hspace*{0.3cm} $n$ prend la valeur $n+1$\\
 & Fin Tant que\\
 & \\[-5pt]
\hline
\textbf{Sortie} & Afficher ..........\\
\hline 
\end{tabular}
\end{center}
      \end{enumerate}
      
\item On définit la suite $(v_n)$ par: pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-500$.

	\begin{enumerate}
\item %Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,2.
Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-500=\left(1,2u_n-100\right)-500=1,2u_n-600=1,2\left(u_n-500\right)=\boxed{\textcolor{red}{1,2v_n}}$.\\
La suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=1,2}}$.\\
Son premier terme est $v_0=u_0-500=\numprint{1000}-500=\boxed{\textcolor{red}{500}}$.

\item %Exprimer $v_n$, puis $u_n$, en fonction de $n$.
On en déduit : $v_n=v_0q^n=500\times 1,2^n$ ; $\boxed{\textcolor{red}{v_n=500\times 1,2^n}}$.\\
D'où $u_n=v_n+500=500\times 1,2^n+500=\boxed{\textcolor{red}{500\left(1+1,2^n\right)}}$.

\item %
À la calculatrice, il semble que $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty}}$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{}%Bordas \no 82 suites
%Le format d’une feuille de papier est tel que le rapport entre la longueur et la largeur soit constant.\\
%La surface du format $A_0$ est de 1 \si{\square\meter}. Pour le format $A_1$, la longueur est divisée par deux et devient la nouvelle largeur.\\
%On recommence ainsi pour chaque format en divisant la longueur du format précédent par deux et en conservant le même rapport entre la longueur et la largeur. (Voir figure ci-dessous)
\begin{center}
%\newrgbcolor{ududff}{0.30196078431372547 0.30196078431372547 1}
%\newrgbcolor{zzttqq}{0.6 0.2 0}
\psset{unit=0.5}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(10,12.2)
\pspolygon[linewidth=1pt](0,0)(8.41,0)(8.41,11.89)(0,11.89)
\psline[linewidth=1pt](0,0)(8.41,0)
\psline[linewidth=1pt](8.41,0)(8.41,11.89)
\psline[linewidth=1pt](8.41,11.89)(0,11.89)
\psline[linewidth=1pt](0,11.89)(0,0)
\psline[linewidth=1pt](0,5.945)(8.41,5.945)
\psline[linewidth=1pt](4.205,11.89)(4.205,5.945)
\psline[linewidth=1pt](0,8.9175)(4.205,8.9175)
\uput[r](8.3,5.5){$A_0$}
\rput[tl](4.053686615110054,4.043112908982751){$A_1$}
\rput[tl](5.97678762641285,9.589447709696614){$A_2$}
\rput[tl](2.102714574657942,8.084412135633556){$A_3$}
\psline[linewidth=1pt](2.1025,11.89)(2.1025,8.9175)
\rput[tl](2.9388454491374185,11.17809637120762){$A_4$}
\rput[tl](2.9388454491374185,11.17809637120762){$A_4$}
\psline[linewidth=1pt](0,10.40375)(2.1025,10.40375)
\rput[tl](0.6812920880428311,10.1){$A_5$}
\psline[linewidth=1pt](1.05125,11.89)(1.05125,10.40375)
\rput[tl](1.1,11.5){$A_6$}

\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item On souhaite que le rapport des longueurs aux largeurs soit toujours le même. 
\begin{enumerate}
\item %À partir de l’égalité $\dfrac{L_1}{\ell_1}=\dfrac{L_0}{\ell_0}$, montrer que $\dfrac{L_0}{\ell_0}=\sqrt{2}$.
Le rapport $\dfrac{\text{Longueur}}{\text{largeur}}$ est constant donc $\dfrac{L_1}{\ell_1}=\dfrac{L_0}{\ell_0}$.\\
Or $L_1=\ell_0$ et $\ell_1=\dfrac{L_0}{2}$ donc $\dfrac{\ell_0}{\frac{L_0}2}=\dfrac{L_0}{\ell_0}$.\\
On en déduit : $\ell_0^2=\dfrac{L_0^2}{2}$ donc $L_0^2=2\ell_0^2$ d'où $2=\left(\dfrac{L_0}{\ell_0}\right)^2$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{L_0}{\ell_0}=\sqrt{2}}}$

\item %Sachant que la feuille au format $A_0$ a une aire de 1 \si{\square\meter}, en déduire les valeurs $L_0$ et $\ell_0$.\\
%On montrera que $L_0=\sqrt{\sqrt{2}}$ qu'on peut écrire $\sqrt[4]{2}$ (racine quatrième de 2).
L'aire du rectangle initiale vaut 1 donc $L_0\ell_0=1$ donc $\ell_0=\dfrac{1}{L_0}$.\\
Alors : $\dfrac{L_0}{\ell_0}=\sqrt{2}\Leftrightarrow \dfrac{L_0}{\frac1{L_0}}=\sqrt{2}\Leftrightarrow L_0^2=\sqrt{2}\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{L_0=\sqrt[4]{2}}}$.\\
$L_0\ell_0=1\Leftrightarrow \ell_0=\dfrac{1}{L_0}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{\ell_0=\dfrac{1}{\sqrt[4]{2}}}}$.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Prouver que la suite $\left(L_n\right)$ des longueurs des feuilles $A_n$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Par définition et d'après 1., pour tout $n$ : $\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{L_n}{\ell_n}=\sqrt{2}}}$.\\
On sait, par définition, que $\ell_n=\dfrac{L_n}{2}$.\\
On en déduit : $\dfrac{L_{n+1}}{\frac{L_n}2}=\sqrt{2}$ donc $\dfrac{2L_ {n+1}}{L_n}=\sqrt{2}$ d'où $\dfrac{L_{n+1}}{L_n}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.\\
La suite $\left(L_n\right)$ est donc géométrique, de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}}$.\\
$\boxed{\textcolor{red}{L_0=\dfrac{1}{\ell_0}=\sqrt[4]{2}}}$

\item %Quel est son sens de variation ?
$0<q=\dfrac{\sqrt{2}}{2}<1$ donc la suite $\left(L_n\right)$ est \textbf{\textcolor{red}{décroissante}}.

\item %Donner une expression du terme général $L_n$ en fonction de $n\in\mathbb{N}$.
La suite $\left(L_n\right)$ est géométrique donc, pour tout $n\in\mathbb{N}$ : $L_n=L_0q^n$ donc \[L_n=\sqrt[4]{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^n\]
\end{enumerate}

\item %Quelle est la nature de la suite $\left(\ell_n\right)$ des largeurs ?\\
%Quel est son sens de variation ?
Pour tout $n$ : $\dfrac{L_ {n+1}}{\ell_ {n+1}}=\dfrac{L_n}{\ell _n}\Leftrightarrow \dfrac{L_{n+1}}{L_n}=\dfrac{\ell_ {n+1}}{\ell_n}$ donc $\dfrac{\ell _{n+1}}{\ell_n}=\dfrac{1}{\frac{L_{n+1}}L_n}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.\\
$\left(\ell_n\right)$ est une suite géométrique, de raison $q'=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.

\item %Retrouver alors les dimensions d’une feuille $A_4$ (valeurs exactes, puis approchées).
D'après ce qui précède, $L_4=\sqrt[4]{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^4\approx 0,297~\si{\meter}\approx \boxed{\textcolor{red}{29,7\si{\centi\meter}}}$.\\
$\ell_4=\dfrac{L_4}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt[4]{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^4}{\sqrt{2}}\approx 0,21\si{\meter}=\boxed{\textcolor{red}{21\si{\centi\meter}}}$.\\
On retrouve bien le format $A_4$ communément appelé $21\times 29,7$

\end{enumerate}




\subsection{\textcolor{blue}{Inversion d'un arbre de probabilités}}
Une société effectue auprès de \numprint{10000} personnes une étude de marché concernant un nouveau produit. Dans cet échantillon, 40\:\% sont des jeunes (moins de 20 ans) et 20\:\% de ceux-ci se déclarent intéressés par le produit.\\
En revanche, 10\:\% seulement des personnes de plus de 20 ans se déclarent intéressées par le produit.\\
On choisit une personne au hasard dans l'échantillon. On note $J$ l'événement \og{} La personne est jeune\fg{}  et $I$ \og{} La personne est intéressée\fg.
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=8mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$J$}\taput{ $0,4$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{ $0,2$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,8$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{J}$}\tbput{ $0,6$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$I$}\taput{ $0,1$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,9$}}}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $p(I\cap J)$, $p(I\cap\overline{J})$, $p(\overline{I}\cap J)$ et $p(\overline{I}\cap \overline{J})$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $p(I \cap J)=p_J(I)\times p(J)=0,2\times 0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,08}}$

\item $p\left(I \cap \overline{J}\right)=0,1\times 0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,06}}$

\item $p\left(\overline{I} \cap J\right)=0,8\times 0,4=\boxed{\textcolor{red}{0,32}}$

\item $p\left(\overline{I} \cap \overline{J}\right)=0,9\times 0,6=\boxed{\textcolor{red}{0,54}}$
\end{enumerate}

\item %Calculer $p(I)$.
D'après la formule des probabilités totales :\\
$p(I)=p_J(I)\times p(J)+p_{\overline{J}}(I)\times p\left(\overline{J}\right)=0,08+0,06=\boxed{\textcolor{red}{0,14}}$
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item %Calculer la probabilité que la personne ait moins de 20 ans sachant que la personne est intéressée par le produit.
La probabilité que la personne ait moins de 20 ans sachant que la personne est intéressée par le produit est :\\
$p_I(J)=\dfrac{o(I \cap J)}{p(I)}=\dfrac{0,08}{0,14}=\dfrac{8}{14}=\dfrac{4}{7}$ ; $\boxed{\textcolor{red}{p_I(J)=\dfrac{4}{7}}}$

\item %Compléter l'arbre ci-dessous.
Pour compléter l'arbre ci-dessous, on doit calculer :\\
$p_{\overline{I}}(J)=\dfrac{p\left(\overline{I} \cap J\right)}{p\left(\overline{I}\right)}=\dfrac{0,32}{0,86}=\dfrac{32}{86}=\dfrac{16}{43}$
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=20mm,treesep=12mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$I$}\taput{ $0,14$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{ $\dfrac{4}{7}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{J}$}\tbput{ $\dfrac{3}{7}$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{I}$}\tbput{ $0,86$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{$J$}\taput{ $\dfrac{16}{43}$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{J}$}\tbput{ $\dfrac{27}{43}$}}}
\end{center}

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage


\subsection{}%https://www.annales2maths.com/1ere-exercices-corriges-probabilites-et-suites/

\begin{enumerate}

\item On obtient l’arbre pondéré suivant :
\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=35mm,treesep=10mm}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{$R_{n}$}\taput{$r_{n}$}}
	  { 
		  \TR{$R_{n+1}$}\taput{0,95}
		  \TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{0,05}	   
	  }
	\pstree{\TR{$\overline{R_{n}}$}\tbput{$1-r_n$}}
	  {
		  \TR{$R_{n+1}$}\taput{0,2}
		  \TR{$\overline{R_{n+1}}$}\tbput{0,8}}}
\end{center}


\item %Justifier que pour tout entier naturel  non nul $n$, $r_{n+1}=0,75r_n+0,2$.
D'après la formule des probabilités totales : \\
$r_{n+1}=p\left(R_ {n+1}\right)=p\left(R_{n+1} \cap R_n\right)+p\left(R_ {n+1} \cap \overline{R_n}\right)\\
=p_{R_n}\left(R_{n+1}\right)\times p\left(R_n\right)+p_{\overline{R_n}}\left(R_{n+1}\right)\times p\left(\overline{}R_n\right)\\
=0,95r_n+0,2\left(1-r_n\right)=0,95r_n+0,2-0,19r_n=0,75r_n+0,2	$.\\
Donc $\boxed{\textcolor{red}{r_{n+1}=0,75r_n+0,2}}$

\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la suite $\left(v_n\right)$  définie par $v_n=r_n-0,8$.\\
%Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$  est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Pour tout $n\geqslant 1$ :\\
$v_{n+1}=r_{n+1}-0,8\\
0,75r_n+0,2-0,8\\
=0,75r_n-0,6=0,75\left(r_n-\dfrac{0,6}{0,75}\right)=0,75\left(r_n-\dfrac{60}{75}\right)=0,75\left(r_n-\dfrac{4}{5}\right)=0,75\left(r_n-0,8\right)=\boxed{\textcolor{red}{0,75v_n}}$.\\
Par conséquent : $\boxed{\textcolor{red}{v_{n+1}=0,75v_n}}$.\\
La suite $\left(v_n\right)$  est donc géométrique de raison $\boxed{\textcolor{red}{q=0,75}}$  et de premier terme $v_1=p_1-0,8=0,9-0,8=\boxed{\textcolor{red}{0,1}}$.

\item %Déterminer, pour tout entier naturel  non nul $n$, l’expression de $v_n$  en fonction de $n$ puis de $r_n$.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item Puisque $\left(v_n\right)$ est géométrique, on a : $v_n=v_1q^{n-1}$ donc $\boxed{\textcolor{red}{v_n=0,1\times 0,75^{n-1}}}$.

\item $v_n=r_n-0,8$ donc $r_n=0,8+v_n$ donc $\boxed{\textcolor{red}{r_n=0,8+0,1\times 0,75^{n-1}}}$
\end{enumerate}

\item %Conjecturer la limite de la suite $\left(r_n\right)$  quand $n$ tend vers $+\infty$.\\
À la calculatrice, on constate que $r_n$ se rapproche de plus en plus de 0,8 ; $\boxed{\textcolor{red}{\lim_{n\rightarrow +\infty}r_n=0,8}}$.\\
%Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
Cela signifie qu'à  long terme, 80\:\% des bouteilles sont rapportées.
\end{enumerate}



\label{fin}
\end{document}  