\documentclass[10pt] {article} \usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath,amssymb,graphicx,multicol,mathrsfs, fancyhdr,enumerate,fourier,eurosym,enumerate,tabularx,variations,numprint}
\usepackage[dvips]{color}
\usepackage[tikz]{bclogo}
\usepackage{pst-plot,pst-tree,pstricks,pst-node,pstricks-add,pst-math,pst-xkey,pst-eucl}
\usepackage[francais]{babel} 
\everymath{\displaystyle}
%\usepackage[colorlinks=true,pdfstartview=FitV,linkcolor=blue,citecolor=blue,urlcolor=blue]{hyperref}
\textwidth 19cm \textheight 25cm \hoffset 
-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
\renewcommand{\thesubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}} 
\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{fancy}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}
%\tableofcontents

\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Spécialité :  correction du devoir sur feuille \no 1\\(à rendre sur copie double)}}\end{center}

%\emph{\og{}Si les gens ne croient pas que les mathématiques sont simples, c'est uniquement parce qu'ils ne réalisent pas à quel point la vie est compliquée.\fg (Von Neumann)}



\subsection{}
%Simplifier, sans utiliser la calculatrice et en expliquant : \[A=\dfrac{8\times 10^{15}\times 15\times 10^{-5}}{20\times \left(10^2\right)^5}.\]
$A=\dfrac{8\times 10^{15}\times 15\times 10^{-5}}{20\times \left(10^2\right)^5}=\dfrac{2^3\times (2\times 5)^{15}\times3\times 5\times  (2\times 5)^{-5}}{2^2\times 5\times\left( (2\times 5)^2\right)^5}=\dfrac{2^3\times 2^{15}\times 5^{15}\times 3\times 5\times 2^{-5}\times 5^{-5}}{2^2\times 5\times 2 ^ {10}\times 5^{10}}\\
=2^{3+15-5-2-10}\times 3\times 5^{15+1-5-1-10}=2^1\times 3\times 5^0=2\times 3\times 1=\boxed{\textcolor{red}{6}}$


\subsection{}
$x$ et $y$ étant des réels quelconques ($x$ non nul)%, donner l’expression algébrique :

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Le produit de la somme de $x$ et de $y$ par leur différence est $\boxed{\textcolor{red}{(x+y)(x-y)}}$

\item Le carré du produit de $x$ et de $y$ est $(xy)^2$.

\item La différence des carrés de $x$ et $y$ est $\boxed{\textcolor{red}{x^2-y^2}}$.

\item Le produit des carrés de $x$ et de $y$ est $x^2y^2$.

\item Le carré de l’inverse de $x$ est $\left(\dfrac{1}{x}\right)^2$.

\item L’inverse du carré de $x$ est $\dfrac{1}{x^2}$.
\end{enumerate}

\item %Certaines de ces expressions sont-elles égales, quelles que soient les valeurs de $x$ et $y$ ?\\
%Expliquer.\\
On a : 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $(x+y)(x-y)=x^2-y^2$ (identité remarquable).

\item $(xy)^2=x^2y^2$

\item $\left(\dfrac{1}{x}\right)^2=\dfrac{1}{x^2}$\\
Les expressions a) et c) sont égales, de même que b) et d), ainsi que e) et f).
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
%Démontrer que, pour tout réel $x$ non nul et différent de -1, on a l’égalité : \[\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{x^2+x}.\]
Pour tout $x$ non nul et différent de -1 : \[\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{x+1}{x(x+1)}-\dfrac{x}{x(x+1)}=\dfrac{x+1-x}{x(x+1)}=\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{1}{x^2+x}}}\]

\subsection{}
On donne l’expression $A(x) = (2x-3)^2-1$.
\begin{enumerate}
\item %Développer et réduire $A(x)$.
$A(x)=(2x)^2-2\times 2x\times 3+3^2-1=4x^2-12x+9-1=\boxed{\textcolor{red}{4x^2-12x+8}}$

\item %Factoriser $A(x)$.
Factorisons $A(x)$ :\\
$A(x) = (2x-3)^2-1=(2x-3)^2-1^2=[(2x-3)-1][(2x-3)+1]=\boxed{\textcolor{red}{(2x-4)(2x-2)}}$.\\
Remarque : $A(x)=2(x-2)\times 2(x-1)=\boxed{\textcolor{red}{4(x-2)(x-1)}}$

\item Résoudre dans l’ensemble des réels $\mathbb{R}$ :
\begin{enumerate}
\item $A(x) = 0\Leftrightarrow 4(x-2)(x-1)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
On en déduit $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{1~;~2\}}}$ (\og{}évident\fg{})

\item $A(x) = 8\Leftrightarrow 4x^2-12x+8=8\Leftrightarrow 4x^2-12x=0\Leftrightarrow 4x(x-3)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
On en déduit : $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\{0~;~3\}}}$

\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère l'expression algébrique \[A(x)=(2x+1)(-3x+7).\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $A(x)=0$.\\
Un produit de facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul.\\
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2x+1=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{2}$

\item $-3x+7=0\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{3}$
\end{enumerate}
L'ensemble des solutions est $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left\{-\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{7}{3}\right\}}}$.

\item %Étudier le signe de $A(x)$ en dressant le tableau de signes de cette expression.
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item $2x+1>0\Leftrightarrow x>-\dfrac{1}{2}$

\item $-3x+7>0\Leftrightarrow x<\dfrac{3}{7}$ (on divide des deux côtes par -3, donc l'inégalité change de sens)
\end{enumerate}
On en déduit le tableau de signes :
\begin{center}
\begin{variations}
x&\mI&&-\dfrac{1}{2}&&\dfrac{7}{3}&&\pI\\
\hline
2x+1&&-&\z&+&\l&+&\\
\hline
-3x+7&&+&\l&+&\z&-&\\
\hline
A(x)=(2x+1)(-3x+7)&&-&\z&+&\z&-&\\
\hline
\end{variations}
\end{center}

\item On en déduit que les solutions de l'inéquation $A(x)\leqslant 0$ sont $\boxed{\textcolor{red}{\mathscr{S}=\left]-\infty~;~-\dfrac{1}{2}\right] \cup \left[\dfrac{3}{7}~;~+\infty\right[}}$.
\end{enumerate}

\subsection{}
On considère un carré $ABCD$ de côté 10 cm et $E$ un point \textbf{variable} sur le côté $[AB]$.\\
On construit le polygone EBFGDH, noté $\mathscr{P}$, inscrit dans le carré tel que $AE = BF = CG = DH$ et colorié ci-dessous.\\
On pose $AE = x$.
\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Exprimer $EB$ en fonction de $x$.
$\boxed{\textcolor{red}{EB=10-x}}$

\item %Exprimer l’aire $\mathscr{A}(x)$ du polygone $\mathscr{P}$ en fonction de $x$.
L'aire $\mathscr{A}(x)$ du polygone $\mathscr{P}$ est l'aire du carré $ABCD$ moins l'aire des deux triangles rectangles $AHE$ et $FCG$ (qui sont identiques).\\
$\mathscr{A}(AHE)=\dfrac{x(10-x)}{2}$.\\
On en déduit que : $\mathscr{A}(x)=100-2\times \dfrac{x(10-x)}{2}=\boxed{\textcolor{red}{100-x(10-x)}}$
\end{enumerate}

\item %Résoudre l’équation $A(x) = 75$. \\
$A(x)=75\Leftrightarrow 100-x(10-x)=75\Leftrightarrow 100-10x+x^2=75\Leftrightarrow 25-10x+x^2=0\Leftrightarrow (5-x)^2=0\Leftrightarrow \boxed{\textcolor{red}{x=5}}$.\\

\bigskip

%Pour quelle(s) position(s) du point $E$ sur le côté $[AB]$ l’aire $\mathscr{A}(x)$ est-elle égale aux trois quarts de l’aire du carré $ABCD$ ?
$\dfrac{3}{4}\times 100=75$.\\
l’aire $\mathscr{A}(x)$ est égale aux trois quarts de l’aire du carré $ABCD$ si $\mathscr{A}(x)=75$ qui est l'équation résolue à la question. Précédente.\\
Il faut que $E$ est le milieu de $[AB]$.
\end{enumerate}

%\begin{center}
%\psset{xunit=5,yunit=5,comma=true,algebraic=true}
%\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1.2,1.2)
%\psframe[fillcolor=blue!20,fillstyle=solid](0,0)(1,1)
%\psline(0,0.8)(0.8,1)
%\psline(0.2,0)(1,0.2)
%\pspolygon[fillcolor=white,fillstyle=solid](0,1)(0.8,1)(0,0.8)
%\pspolygon[fillcolor=white,fillstyle=solid](0.2,0)(1,0)(1,0.2)
%\uput[l](0,1){$A$}
%\uput[r](1,1){$B$}\uput[r](1,0){$C$}\uput[l](0,0){$D$}
%\uput[d](0.8,1){E}
%\uput[r](1,0.2){F}
%\uput[d](0.2,0){G}
%\uput[l](0,0.8){H}
%\uput[u](0.4,1.1){$x$}
%\psline{<->}(0,1.1)(0.8,1.1)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%

\label{fin}
\end{document}  
