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% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Exercices de baccalauréat}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Exercice sujet 1 Bac 2021}}


La suite $\left(u_n\right)$ est définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, 

\[u_{n+1} = \dfrac{3}{4}u_n + \dfrac{1}{4}n + 1.\]


\smallskip

\begin{enumerate}
\item Calculer, en détaillant les calculs, $u_1$ et $u_2$ sous forme de fraction irréductible.


\medskip

L'extrait, reproduit ci-dessous, d'une feuille de calcul réalisée avec un tableur présente les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$.

\begin{minipage}{8cm}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
\cellcolor{lightgray}{} 	& \cellcolor{lightgray}A&\cellcolor{lightgray}B \\ \hline
\cellcolor{lightgray}1	&$n$&$u_n$\\ \hline
\cellcolor{lightgray}2 	&0	&1\\ \hline
\cellcolor{lightgray}3 	&1	&1,75\\ \hline
\cellcolor{lightgray}4 	&2	&\np{2,5625}\\ \hline
\cellcolor{lightgray}5 	&3	&\np{3,421875}\\ \hline
\cellcolor{lightgray}6 	&4	&\np{4,31640625}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{minipage}

\medskip



\item
	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule, étirée ensuite vers le bas, peut-on écrire dans la cellule B3 de la feuille de calcul pour obtenir les termes successifs de $\left(u_n\right)$ dans la colonne B ?
		\item Conjecturer le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $n \leqslant u_n \leqslant n + 1$.
		\item En déduire, en justifiant la réponse, le sens de variation et la limite de la suite 
		$\left(u_n\right)$.
		\item Démontrer que :
		
\[\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n}{n} = 1.\]

	\end{enumerate}
\item  On désigne par $\left(v_n\right)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par \\
\[v_n = u_n - n\]
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{3}{4}$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,on a : \[u_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n + n.\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\subsection{\textcolor{blue}{Exercice Bac Asie juin 2025}}

Un patient doit prendre toutes les heures une dose de $2$~\si{\milli\litre} d'un médicament.

On introduit la suite $\left(u_n\right)$
telle que le terme $u_n$ représente la quantité de médicament, exprimée en ml présente dans l'organisme immédiatement après $n$ prises de médicament.

On a $u_1 = 2$ et pour tout entier naturel $n$ strictement positif : $u_{n+1} = 2 + 0,8u_n$.

\subsection*{\textcolor{blue}{Partie A}}

En utilisant ce modèle, un médecin cherche à savoir à partir de combien de prises du médicament la quantité présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à 9 \si{\milli\litre}.

\begin{enumerate}
\item Calculer la valeur $u_2$.
\item Montrer par récurrence que :
\[u_n = 10 - 8 \times 0,8^{n-1}\text{ pour tout }n>0.\]

\item Déterminer $\lim\limits_{n \to +\infty} u_n$ et et donner une interprétation de ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Soit $N$ un entier naturel strictement positif, l'inéquation $u_N \geqslant 10$ admet-elle des solutions? 

Interpréter le résultat de cette question dans le contexte de l'exercice.
\item Déterminer à partir de combien de prises de médicament la quantité de médicament présente dans l'organisme du patient est strictement supérieure à $9$~\si{\milli\litre}. Justifier votre démarche.
\end{enumerate}

\subsection*{\textcolor{blue}{Partie B}}

En utilisant la même modélisation, le médecin s'intéresse à la quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du malade au cours du temps.

On définit pour cela la suite $\left(S_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ strictement positif par

\[S_n = \frac{u_1 + u_2 + \dots + u_n}{n}.\]

On admet que la suite $\left(S_n\right)$ est croissante.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $S_2$.
\item Montrer que pour tout entier naturel $n$ strictement positif,
\[u_1 + u_2 + \dots + u_n = 10n - 40 + 40 \times 0{,}8^n.\]

\item Calculer $\lim\limits_{n \to +\infty} S_n$.
\item On donne la fonction mystere suivante, écrite en langage Python :

\begin{center}
\begin{tabular}{c|l|}\cline{2-2}
1&def mystere(k):\\
2&\quad n = 1\\
3&\quad s = 2\\
4&\quad while s < k:\\
5&\quad\qquad n = n + 1\\
6&\quad\qquad s = 10 - 40/n + (40*0.8**n)/n\\
7&\quad return n\\ \cline{2-2}
\end{tabular}
\end{center}

Dans le contexte de l'énoncé, que représente la valeur renvoyée par la saisie \texttt{mystere(9)} ? 
\item Justifier que cette valeur est strictement supérieure à $10$.
\end{enumerate}


\end{multicols}
\label{fin}
\end{document}