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-1,4cm \voffset -3.7cm \oddsidemargin 0pt 
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\renewcommand{\thesubsubsection}{\textcolor{blue}{\Roman{subsection}}.\textcolor{blue}{\arabic{subsubsection}}} 
\pagestyle{empty}
% pour le pied de page central
\cfoot{Page \thepage/\pageref{fin}}

\begin{document}


\begin{center}\section*{\textcolor{red}{Feuille d'exercices de bac (1)}}\end{center}



\begin{multicols}{2}
\setlength{\columnseprule}{1pt}
\setlength{\columnsep}{2 cm}

\subsection{\textcolor{blue}{Amérique du Nord mai 2021}}
\textbf{Les questions 1. à 5. de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

On considère un cube ABCDEFGH. Le point I est le milieu du segment [EF], le point J est le milieu du segment [BC] et le point K est le milieu du segment [AE].


\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(6,7)
\pspolygon(0.5,0.4)(5.5,0)(5.5,5)(0.5,5.4)%ABFE
\uput[dl](0.5,0.4){A} \uput[dr](5.5,0){B} \uput[u](5.5,5){F} \uput[ul](0.5,5.4){E}
\psline(5.5,0)(8.5,1.4)(8.5,6.4)(5.5,5)%BCGF
\uput[r](8.5,1.4){C} \uput[ur](8.5,6.4){G} 
\psline(8.5,6.4)(3.5,6.8)(0.5,5.4)%GHE 
\uput[u](3.5,6.8){H} \uput[u](3,5.2){I}\uput[dr](7,0.7){J}\uput[l](0.5,2.9){K}
\psline[linewidth=1.6pt](0.5,0.4)(3,5.2)%AI
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](3,5.2)(7,0.7)%IJ
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.6pt](0.5,2.9)(3.5,6.8)%KH
\psline[linestyle=dashed](0.5,0.4)(3.5,1.8)(3.5,6.8)%ADH
\uput[ur](3.5,1.8){D}
%\psline[linestyle=dashed](3.5,1.8)(8.5,1.4)%DC
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[1)]
\item 
Les droites (AI) et (KH) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse,


Dans la suite, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;~ \overrightarrow{\text{AB}},~  \overrightarrow{\text{AD}},~  \overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner les coordonnées des points I et J.
		\item Montrer que les vecteurs $ \overrightarrow{\text{IJ}},~ \overrightarrow{\text{AE}}$ et $ \overrightarrow{\text{AC}}$ sont coplanaires.
	\end{enumerate}

	
On considère le plan $\mathcal P$ d'équation $x + 3y - 2z + 2 = 0$ ainsi que les droites $d_1$ et $d_2$ définies par les représentations paramétriques ci-dessous:

\[d_1  : \left\{\begin{array}{l c l}
x	&=&3 + t\\
y 	&=& 8 - 2t\\
z	&=& - 2 + 3t\\
\end{array}\right. , t \in \mathbb{R}\]
\[d_2  : \left\{\begin{array}{l c l}
x	&=&4 + t\\
y 	&=&1 + t\\
z	&=&8 + 2t\\
\end{array}\right. , t \in \mathbb{R}.\]


\item Les droites $d_1$ et $d_2$ sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.

\item Montrer que la droite $d_2$ est parallèle au plan $\mathcal P$.

\item Montrer que le point L(4~;~0~;~3) est le projeté orthogonal du point M(5~;~3~;~1) sur le plan $\mathcal P$.
\end{enumerate}

\subsection{\textcolor{blue}{Sujet 0 2020}}
On considère le cube ABCDEFGH de côté 1, le milieu I de [EF] et J le symétrique de E par rapport à F{}.
\begin{center}

\psset{xunit=4cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.1)(2,1.4)
%\psgrid
\psframe(0,0)(1,1)%ABFE
\psline(1,0)(1.35,0.35)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0.35,0.35)%AD
\psline[linestyle=dashed](0.35,0.35)(1.35,0.35)%DC
\psline[linestyle=dashed](0.35,0.35)(0.35,1.35)%DH
\psline(1.35,0.35)(1.35,1.35)%CG
\psline(0,1)(0.35,1.35)%EH
\psline(0.35,1.35)(1.35,1.35)%HG
\psline(1,1)(1.35,1.35)%FG
\uput[dl](0,0){A}\uput[dr](1,0){B}\uput[r](1.35,0.35){C}
\uput[l](0.35,0.35){D}\uput[l](0,1){E}\uput[ul](1.05,1){F}
\uput[ur](1.35,1.35){G}\uput[ul](0.35,1.35){H}
\uput[u](0.5,1){I}
%\psdots[dotstyle=Bar,dotscale =1.8](0.5,1)(2,1)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray] (1,1)(2,1)\rput(2.05,1){J}
\psdots(0,0)(1,1)(0,1)(1,0)(1.35,0.35)(0.35,0.35)(0.5,1)(2,1)(1.35,1.35)(0.35,1.35)%AFEBCDIJGH
\end{pspicture}

\end{center}

\medskip

Dans tout l'exercice, l'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner les coordonnées des points I et J.
		\item En déduire les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{DJ}}$ , $\overrightarrow{\text{BI}}$ et $\overrightarrow{\text{BG}}$.
		\item Montrer que $\overrightarrow{\text{DJ}}$ est un vecteur normal au plan (BGI).
		\item Montrer qu’une équation cartésienne du plan (BGI) est $2x - y + z - 2 = 0$.
	\end{enumerate}
\item On note $d$ la droite passant par F et orthogonale au plan (BGI).
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d$.
		\item On considère le point L de coordonnées $\left(\frac{2}{3}~;~\frac{1}{6}~;~\frac{5}{6}\right)$.

Montrer que L est le point d’intersection de la droite $d$ et du plan (BGI).
	\end{enumerate}
\item On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par la formule
\[V=\dfrac{1}{3}\times \mathcal{B}\times h\]
où $\mathcal{B}$ est l'aire d’une base et $h$ la hauteur associée à cette base.
\begin{enumerate}
\item Calculer le volume de la pyramide FBGI.
\item En déduire l'aire du triangle BGI.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\subsection{\textcolor{blue}{Antilles septembre 2020}}
Dans le cube ABCOEFGH ci-dessous , on a placé les points M et N milieux respectifs des segments [AB] et [BC].


\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-4.5,-2.2)(6.5,5.5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,4)(0,0)(-2,-1)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0)(4,0)
\pspolygon(2,3)(-2,3)(-2,-1)(2,-1)(4,0)(4,4)%GFBCDHG
\psline(4,4)(0,4)(-2,3)%HEF
\psline(2,-1)(2,3)%DG\psline{->}(-2,-1)(-3,-1.5)
\psline{->}(-2,-1)(-3,-1.5)\psline{->}(4,0)(6,0)\psline{->}(0,4)(0,5.5)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,-1)(-1,-0.5)
\uput[ul](0,0){A} \uput[d](-2,-1){B} \uput[d](2,-1){C} \uput[dr](4,0){D} 
\uput[ul](0,4){E} \uput[l](-2,3){F} \uput[ul](2,3){G} \uput[ur](4,4){H} 
\uput[ul](-1,-0.5){M} \uput[d](0,-1){N} 
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

On se place dans le repère $\left(\text{A}~;~\overrightarrow{\text{AB}},~\overrightarrow{\text{AD}},~\overrightarrow{\text{AE}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner sans justifier les coordonnées des points H, M et N.
\item  On admet que les droites (CD) et (MN) sont sécantes et on note K leur point d'intersection.
	\begin{enumerate}
		\item Donner une représentation paramétrique de la droite (MN).
		
On admet qu'une représentation paramétrique de la droite (CD) est

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& t\\
y&=&1\\
z&=&0
\end{array}\right., \:t \in \mathbb{R}.\]
 
		\item Déterminer les coordonnées du point K.
	\end{enumerate}
\item  On admet que les points H, M, N définissent un plan et que la droite (CG) et le plan
(HMN) sont sécants. On note L leur point d'intersection.
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}2\\- 2\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (HMN).
		\item Déterminer une équation cartésienne du plan (HMN).
		\item En déduire les coordonnées du point L.
	\end{enumerate}
\item  Construire les points K et L puis la section du cube ABCDEFGH par le plan (HMN).
\end{enumerate}


\end{multicols}


\label{fin}
\end{document}  